第四章不定积分(1).ppt
4.1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质4.2 不定积分的换元积分法不定积分的换元积分法4.3 不定积分的分部积分法不定积分的分部积分法4.4 积分表的用法积分表的用法第第4章章 不定积分不定积分结束前页前页结束结束后页后页 又如又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以所以sec x是是sec x tan x的原函数的原函数.定义定义 设设f(x)在某在某区间上区间上有有定义定义，如果对该区间的任意，如果对该区间的任意点点x都有都有 F(x)=f(x)或或 dF(x)=f(x)dx则称则称F(x)为为 f(x)在在该区间上的一个原函数该区间上的一个原函数.4.1.1 原函数的概念原函数的概念 例如例如:，是函数是函数 在在 上的原函数上的原函数.,sin x是是cos x在在 上的原函数上的原函数.4.1 4.1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质前页前页结束结束后页后页 (2)(2)如如果果f(x)在在某某区区间间上上存存在在原原函函数数，那那么么原原函函数数不是唯一的不是唯一的,且有无穷多个且有无穷多个注注:(1):(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存在具体理由将在下一章给出在具体理由将在下一章给出 例如例如而而在在 上上 是是 的原函数的原函数也是它的原函数也是它的原函数即即 加任意常数都是加任意常数都是 的原函数的原函数.(3)若函数若函数 f(x)在区间在区间 I 上存在原函数，则其上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项任意两个原函数只差一个常数项.此结论由此结论由Lagrange定理推论可证定理推论可证前页前页结束结束后页后页定义定义2 2 如果函数如果函数F(x)是是f(x)在在区间区间 I 上上的一个原函数，那的一个原函数，那么么f(x)的全体的全体原函数原函数F(x)C(C为任意常数为任意常数)称为称为f(x)在在区间区间 I 上上的不定积分的不定积分.记作记作其中记号其中记号 称为积分号称为积分号，f(x)称为被积函数，称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，称为被积表达式，x称为积分变量，称为积分变量，C为积分常数为积分常数.即2.不定积分的概念不定积分的概念前页前页结束结束后页后页例例2 求求解解例例1 求求解解前页前页结束结束后页后页例例3 求求解解前页前页结束结束后页后页3 3 不定积分与微分的关系不定积分与微分的关系微分运算与积分运算互为逆运算微分运算与积分运算互为逆运算.特别地，有特别地，有前页前页结束结束后页后页4.1.24.1.2不定积分的基本积分公式不定积分的基本积分公式前页前页结束结束后页后页前页前页结束结束后页后页例例4 计算下列积分计算下列积分解解前页前页结束结束后页后页例例5 计算下列积分计算下列积分解解 (1)(2)前页前页结束结束后页后页4.1.3 不定积分的性质不定积分的性质性质性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面号的前面.性质性质2可以推广到有限多个函数的情形，即可以推广到有限多个函数的情形，即性质性质2 两个函数的和两个函数的和(或差或差)的不定积分等于各函数的不定积分等于各函数不定积分的和不定积分的和(或差或差)，即，即 前页前页结束结束后页后页例例6 求求解解 注注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只要写出一个任意常数即可要写出一个任意常数即可 前页前页结束结束后页后页例例7 求求解解例例8 求求解解前页前页结束结束后页后页例例9 求求解解例例10 求求解解前页前页结束结束后页后页解解例例11 求求前页前页结束结束后页后页例例12 求求解解 有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数的积分后，便可逐项积分求得结果如例的积分后，便可逐项积分求得结果如例9 91212。前页前页结束结束后页后页 函数函数f(x)的原函数图形称为的原函数图形称为f(x)的积分曲线的积分曲线,不定积分表示的不是一个不定积分表示的不是一个原函数原函数,而是无穷多个而是无穷多个(全部全部)原函数原函数,通通常说成一族函数常说成一族函数,反映在几何上则是一反映在几何上则是一族曲线族曲线,这族曲线称为这族曲线称为f(x)的的积分曲线积分曲线族族.4.1.4.4.1.4.不定积分的几何意义不定积分的几何意义 在相同的横坐标处在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为所有积分曲线的斜率均为k,因此因此,在每一条积分曲线上在每一条积分曲线上,以以x为横坐标的点处的为横坐标的点处的切线彼此平行（如图）切线彼此平行（如图）.f(x)为积分曲线在为积分曲线在(x,f(x)处的切线斜率处的切线斜率.前页前页结束结束后页后页 例例13 设曲线通过点设曲线通过点(2,3),(2,3),且其上任一点的切线且其上任一点的切线斜率等斜率等于这点的横坐标，求此曲线方程于这点的横坐标，求此曲线方程.解解 设所求的曲线方程为设所求的曲线方程为 ,依题意依题意可知可知因此所求曲线的方程为因此所求曲线的方程为前页前页结束结束后页后页4.2.1 4.2.1 第一类换元法第一类换元法例例1 原因在于被积函数原因在于被积函数cos 2x与公式与公式 中的被积函中的被积函数不一样数不一样.如果令如果令u=2x，则，则cos2x=cos u，d u=2dx，从而从而所以有所以有？分析分析4.2 4.2 换元积分法换元积分法前页前页结束结束后页后页综合上述分析，此题的正确解法如下：综合上述分析，此题的正确解法如下：前页前页结束结束后页后页解解前页前页结束结束后页后页定理定理1证证依题意有依题意有即有即有又由复合函数微分法可得又由复合函数微分法可得前页前页结束结束后页后页根据不定积分的定义，则有根据不定积分的定义，则有 公式公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法积分法.也称也称“凑微分凑微分”法法 应用定理应用定理1 1求不定积分的步骤为求不定积分的步骤为 前页前页结束结束后页后页例例2 求求解解解解例例3 求求前页前页结束结束后页后页例例4 4 求求解解例例5 求求类似地，有类似地，有解解前页前页结束结束后页后页(1)(1)=(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)此外还可以得到一组积分公式：此外还可以得到一组积分公式：前页前页结束结束后页后页4.2.2 第二类换元积分法第二类换元积分法例例6 求求解解 作变量代换作变量代换,令令 ,可将无理函可将无理函数化为数化为 有理函数的积分有理函数的积分,所以有所以有前页前页结束结束后页后页 一般的说，若积分一般的说，若积分 不易计算可以作适当的不易计算可以作适当的 变量代换变量代换 ，把原积分化为，把原积分化为 的形的形式而可能使其容易积分式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后，当然在求出原函数后，还要还要将将 代回代回.还原成还原成x的函数，这就是第二换元的函数，这就是第二换元积分法计算不定积分的基本思想积分法计算不定积分的基本思想.前页前页结束结束后页后页设设 是单调可导的函数，是单调可导的函数，且且定理定理2那么那么应用第二类换元法求不定积分的步骤为应用第二类换元法求不定积分的步骤为 前页前页结束结束后页后页例例7 求求解解前页前页结束结束后页后页例例8 求求解解前页前页结束结束后页后页axt前页前页结束结束后页后页例例9 求求解解前页前页结束结束后页后页axt前页前页结束结束后页后页例例10 求求解解前页前页结束结束后页后页axt前页前页结束结束后页后页 例例8例例10中的解题方法称为三角代换法或三角中的解题方法称为三角代换法或三角换元法换元法.一般的说，应用三角换元法作积分时适用于如一般的说，应用三角换元法作积分时适用于如下情形：下情形：前页前页结束结束后页后页补充的积分公式：补充的积分公式：前页前页结束结束后页后页前页前页结束结束后页后页由函数乘积的微分公式由函数乘积的微分公式移项得移项得对上式两端同时积分，得对上式两端同时积分，得公式公式(1)或公式或公式(2)称为分部积分公式称为分部积分公式.或或4.34.3 分部积分法分部积分法前页前页结束结束后页后页注意：注意：使用分部积分公式的目的是在于化难为使用分部积分公式的目的是在于化难为易，解题的关键在于恰当的选择易，解题的关键在于恰当的选择u和和v.选选u的法则是的法则是:指多弦多只选多指多弦多只选多 反多对多不选多反多对多不选多 指弦同在可任选指弦同在可任选 一旦选中要固定一旦选中要固定前页前页结束结束后页后页即一般情况下，即一般情况下，u与与dv按以下规律选择按以下规律选择前页前页结束结束后页后页例例1 求求解解前页前页结束结束后页后页例例2 求求解解前页前页结束结束后页后页例例3 求求解解前页前页结束结束后页后页例例4 求求解解例例5 求求解解前页前页结束结束后页后页例例6 求求解解前页前页结束结束后页后页例例7 求求解解前页前页结束结束后页后页例例8 求求解解 在计算积分时在计算积分时,有时需要同时使用换元积有时需要同时使用换元积分法与分部积分法分法与分部积分法.前页前页结束结束后页后页 把常用的积分公式汇集成表，这种表把常用的积分公式汇集成表，这种表叫做积分表叫做积分表.积分表是按照被积函数的类积分表是按照被积函数的类型来排列的型来排列的.求积分时，可根据被积函数求积分时，可根据被积函数的类型直接地或经过简单的变形后，在的类型直接地或经过简单的变形后，在表内查得所需的结果表内查得所需的结果.4.4 4.4 积分表的使用积分表的使用前页前页结束结束后页后页现在现在a=3，b=2,于是于是例例1 求求被积函数为有理函数被积函数为有理函数，属于积分表中的类型属于积分表中的类型(1)解解前页前页结束结束后页后页例例2 求求解解 被积函数为无理函数被积函数为无理函数，属于积分表中的类型属于积分表中的类型(2)现令现令a=2,得得前页前页结束结束后页后页例例3 求求再令再令a=1，由公式由公式12得得解解再把再把u=3x代回还原，得代回还原，得
