数学分析试题及答案000217.pdf
欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！数 学 分 析 试 题 及 答 案 4(总 8 页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！2（十四）数学分析考试题 一 填空（共 15 分，每题 5 分）：1 设ERxxxEsup,|则 1,Einf 0 ;2 设5)5()(lim,2)5(5xfxffx则54；3 设0,)1ln(,0,sin)(xbxxaxxf在ax处可导，则0 1 ，b 0 。二 计算下列极限：（共 20 分，每题 5 分）1 nnn1)131211(lim;解:由于，nnnn11)131211(1又，1limnnn 故。1)131211(lim1nnn 2 3)(21limnnn；解:由 stolz 定理,3)(21limnnn33)1()(limnnnn)1)1()(1(limnnnnnnnn)1)1(2)(1()1(limnnnnnnnnn.32)1)11(2111lim2nnnn 3 axaxaxsinsinlim；欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！3 解:axaxaxsinsinlimaxaxaxax2sin2cos2lim.cos22sin2coslimaaxaxaxax 4 xxx10)21(lim。解:xxx10)21(lim.)21(lim22210exxx 三 计算导数（共 15 分，每题 5 分）：1 );(),1ln(1)(22xfxxxxf求 解:。1111111221122)(222222xxxxxxxxxxxxf 2 解:3 设。求)100(2,2sin)23(yxxy 解:由 Leibniz公式)23()2(sin)23()2(sin)23()2(sin2)98(21002)99(11002)100(0100)100(xxCxxCxxCy 6)2sin(26)2sin(2100)23)(2sin(2298982991002999922100100 xxxxx xxxxx2sin2297002cos26002sin)23(298992100。2cos12002sin)22970812(2298xxxx 四（12 分）设0a，nx满足：;sincos33表示的函数的二阶导数求由方程taytax,tansincos3cossin3)cos()sin(2233tttattatatadxdy。ttattatdxydsincos3sec)cos(sec223222欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！4,00 x,2,1,0),(211nxaxxnnn 证明：nx收敛，并求。nnxlim 解:（1）证明：易见，),2,1,0(,0nxnaxxnxann1),2,1,0(n 从而有：),2,1(02)(2121nxxaxxaxxxnnnnnnn，故nx单调减少，且有下界。所以nx收敛。（2）求nnxlim：设nxl，由（1）知：0axln。在)(211nnnxaxx两边同时取极限得 1limnnxl),(21)(lim21lalxaxnnn 解之得al，即axnnlim。五（10 分）求椭圆),(1002222yxbyax过其上点 处的切线方程。解:在方程12222byax两边对x求导数得：,02222byyax 故,22yxaby从而002200yxabyyyxx，所以椭圆),(00yx在点处的切线方程为)(000220 xxyxabyy，即12020byyaxx 六（10 分）利用 Cauchy 收敛原理证明：单调有界数列必收敛。证明：设nx单调有界，不妨设nx单调增加。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！5 假定nx不收敛，则由 Cauchy 收敛原理，存在常数Nnm,00),(nm 0nmxx，于是 令,1N存在1,11nm),(11nm 011nmxx，再令,1nN 存在122,nnm),(22nm 022nmxx，一般地令,1KnN存在1,kkknnm),(kknm 0kknmxx，这样得到nx的一个子列：,2211kknmnmnmxxxxxx 满足：0kknmxx。从而有0kkmnxx，0kkmnxx),3,2(k，由此式递推可知：,)1(0000121kxxxxnnnnkkk 因而nx无界，与条件矛盾，故nx收敛。七（8 分）设满足：上在)0(),)(aaxf|)()(|),yxKyfxfayx 为常数）。证明：0(K 1 上有界；在),)(axxf 2 上一致连续。在),)(axxf 证明：1.由条件知，|)()(|),axKafxfax，故：|)(|)(|)()(|)(|afaxKafafxfxf，aafKxafxaxKxafxaxKxxf|)(|)(|)(|)(，可见上有界。在),)(axxf 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！6 2.),21axx 21212222122121122211|)()()()(|)()(|)()(xxxfxxfxxfxxfxxxxfxxfxxxfxxf 2112221212|)(|)()(|xxxxxfxxxfxfx|,|)(|2|)|)(|(1|2122121xxaafaKxxaafKaxxaK,0)(2aafaK取),21axx,|21时当 xx 2211)()(xxfxxf,故上一致连续。在),)(axxf 八（10 分）设naaa,21为实常数，证明：nxaxaxaxfncos2coscos)(21 内必有零点。在),0(证明：令,sin2sinsin)(12211nxaxaxaxFnn 则),()(0)(xfxFxF上可导，在,0)()0(FF故由 Rolle 中值定理，,0)(),0(F使即,0)(f 故)(xf内必有零点。在),0(（十五）数学分析2 考试题 一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题 2 分，共 20 分）1、函数)(xf在 a,b 上可积，那么（）A)(xf在a,b上有界 B)(xf在a,b上连续 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！7 C)(xf在a,b上单调 D)(xf在a,b上只有一个间断点 2、函数)(xf在 a,b 上连续，则在a,b上有（）A)()(xfdxxfdxdba B)()(xfdttfdxdxa C)()(xfdttfdxdbx D)()(xfdttfdxdbx 3、在a，+上恒有)()(xgxf，则（）Aadxxf)(收敛adxxg)(也收敛 Badxxg)(发散adxxf)(也发散 Cadxxf)(和adxxg)(同敛散 D 无法判断 4、级数1nna收敛是（）对p=1,2，0)(lim21pnnnnaaa A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、若级数111nn收敛，则必有（）A0 B0 C0 D0 6、)()(1xaxfnn在a，b一致收敛，且an(x)可导（n=1,2），那么（）A f（x）在a，b可导，且1)()(nnxaxf B f（x）在a，b可导，但)(xf不一定等于1)(nnxa C1)(nnxa点点收敛，但不一定一致收敛 D1)(nnxa不一定点点收敛 7、下列命题正确的是（）A)(1xann在a，b绝对收敛必一致收敛 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！8 B)(1xann在a，b 一致收敛必绝对收敛 C)(1xann在a，b 条件收敛必收敛 D 若0|)(|limxann，则)(1xann在a，b必绝对收敛 8、1)11()1(nnnxn的收敛域为（）A(-1,1)B(-1,1 C-1,1 D-1,1）9、下列命题正确的是（）A 重极限存在，累次极限也存在并相等 B 累次极限存在，重极限也存在但不一定相等 C 重极限不存在，累次极限也不存在 D 重极限存在，累次极限也可能不存在 10、函数f(x,y)在（x0,y0）可偏导，则（）A f(x,y)在（x0,y0）可微 B f(x,y)在（x0,y0）连续 C f(x,y)在（x0,y0）在任何方向的方向导数均存在 D 以上全不对 二、计算题：（每小题 6 分，共 30 分）1、)0(21lim1pnnppppn 2、计算由曲线2xy 和2yx 围成的面积 3、求极限)1sin11(lim2222)0,0(),(xyyxyxyx 4、已知),(yxxfz，求yzxz,欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！9 5、计算nnnnxn112)1(的收敛半径和收敛域 三、讨论判断题（每小题 10 分，共 30 分）1、讨论dxxxqpp01|1|的敛散性 2、判断122)11(nnn的敛散性 3、判断121sin)1(nnnnx的一致收敛性 四、证明题（每小题10 分，共20 分）1、设f(x)是以T为周期的函数，且在 0，T上可积，证明TTaadxxfdxxf0)()(2、设级数10nnnx收敛，则当0时，级数1nnnx也收敛 参考答案 一、1、A 2、B3、D4、A5、D6、D7、C8、A9、D10、D 二、1、由于px在0，1可积，由定积分的定义知（2 分）121limppppnnn11)21(1lim10pdxxnnnnnpppppppn（4 分）2、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2 分）所求的面积为：31)(102dxxx（4 分）3、解：由于x1sin有界，01sinlim)0,0(),(xyyx（2 分）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！10)1sin11(lim2222)0,0(),(xyyxyxyx=)11)(11()11)(lim22222222)0,0(),(yxyxyxyxyx（3 分）=111lim22)0,0(),(yxyx=2（1 分）4、解：xz=yff121（3 分）yz=22yxf（3 分）5、解：212)1(lim1nnnnn，r=2（3 分）由于x=-2，x=2 时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3 分）三、1、解、因为被积函数可能在x=0 和x=1 处无界，所以将其分为 dxxxqpp01|1|=dxxxpqp101|1|1+dxxxqpp11|1|（2 分）考虑奇点x=0 应要求 p-11；奇点x=1 应要求 p+q1 时积分收敛（2 分）所以反常积分满足p2 且 2(1-p)q1-p收敛，其余发散（2 分）2、解：由于nnnnn1112112222（6 分），又11nn发散（2 分）所以原级数发散（2 分）3、解：2211sin)1(nnnxn（6 分），由 weierstrass判别法原级数一致收敛性（4 分）四、证明题（每小题 10 分，共 20 分）1、证明：TaTTaTaadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()(00（1）（4 分）aaTaTdttfTtdTtftTxdxxf00)()()()(（2）（4 分）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！11 将式（2）代入（1）得证（2 分）2、证明：11)1)(00nnnnnnxnx（4 分）01n单调下降有界（3 分）由Abel 定理知原级数收敛（3 分）
