第3章 刚体力学.ppt

茹可夫斯基凳茹可夫斯基凳第第3 3章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动本章内容本章内容3.1刚体运动学刚体运动学3.2力矩力矩刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律3.4刚体刚体绕定轴转动的动能和动能定理绕定轴转动的动能和动能定理3.3角动量角动量角动量矩守恒定律角动量矩守恒定律刚体刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体物体.（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）刚体的运动形式：平动、转动刚体的运动形式：平动、转动.1平动平动：若刚体中所有：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线初始位置间的连线.3.1 刚体运动学刚体运动学3.1.1刚体的平动和转动刚体的平动和转动 刚体是理想模型。刚体是理想模型。说明：说明：刚体模型是为简化问题引进的。刚体模型是为简化问题引进的。r平动的特点平动的特点:刚体的平动可归结为质点运动刚体的平动可归结为质点运动xyzOABM刚体中各质点的运动情况相同刚体中各质点的运动情况相同定轴转动演示定轴转动演示定点转动演示定点转动演示O转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动动.转动又分转动又分定轴定轴转动和转动和非定轴非定轴转动转动.2 刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动定轴转动定轴转动刚体内各点都绕同一直线刚体内各点都绕同一直线(转轴转轴)作圆周运动作圆周运动_刚体刚体转动转动（用角量描述）（用角量描述）转转轴轴固定不动固定不动 定轴转动定轴转动刚体的一般运动可看作：刚体的一般运动可看作：随质心的平动随质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+的合成的合成刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动zMIIIII P角坐标角坐标角速度角速度角加速度角加速度描述描述刚体绕定轴转动的刚体绕定轴转动的角量角量3.1.2角角速速度度矢矢量量和和角角加加速速度度矢量矢量1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；2）任一质点运动任一质点运动均相同，但均相同，但不同；不同；3）运动描述仅需一个坐标运动描述仅需一个坐标.定轴转动的定轴转动的特点特点3.1.2角角速速度度矢矢量量和和角角加加速速度度矢量矢量大小：大小：1 角速度矢量角速度矢量方向：方向：(a)(b)2 角加速度矢量角加速度矢量定轴定轴转动：设转轴与转动：设转轴与z轴重合，则有轴重合，则有 1 角速度矢量角速度矢量 大小：大小：方向：方向：(a)3角量与线量的关系角量与线量的关系*匀变速转动公式匀变速转动公式 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动匀变速转动.刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比例例1半半径径为为30cm的的飞飞轮轮，从从静静止止开开始始以以0.5rads-2的的匀匀角角加加速速度度转转动动。求求飞飞轮轮边边缘缘上上一一点点 P，在在飞飞轮轮转转过过240时的角速度、速度和加速度。时的角速度、速度和加速度。解：解：解：解：设设转转轴轴z垂垂直直于于纸纸面面指指向向读读者者，且且 t=0时时 刻刻，点点 P的的 角角 位位 置置 ，角速度，角速度 。则则t时时刻刻，P运运动动到到P点点的的角角位位置为置为由由 得得点点P在在t 时刻的时刻的角速度的大小角速度的大小为为 速度的大小速度的大小为为 切向加速度和法向加速度分别为切向加速度和法向加速度分别为 加速度加速度为为加速度的大小加速度的大小为为 方向方向为为 为为 与与 的夹角的夹角3.2力矩力矩刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律一一.力矩力矩力力改变刚体的转动状态改变刚体的转动状态刚体获得角加速度刚体获得角加速度力力F 对对Z轴的力矩轴的力矩力矩取决于力的大小、方力矩取决于力的大小、方向和作用点向和作用点在刚体的定轴转动中，力矩在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向只有两个指向质点获得加速度质点获得加速度改变质点的运动状态改变质点的运动状态hA P*O:力臂力臂刚体绕刚体绕OZ轴旋转轴旋转,力力作用在刚体上点作用在刚体上点P,且且在在转动平面内转动平面内,为由点为由点O 到力的作用点到力的作用点P 的径矢的径矢.对转轴对转轴Z的力矩的力矩一一力矩力矩3.2力矩力矩刚体绕定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动的转动定律单位：单位：牛顿米牛顿米力矩取决于力的大小、方向和作用点力矩取决于力的大小、方向和作用点在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向讨论讨论2）若力若力 不在转动平面不在转动平面内，把力分解为平行和垂内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量直于转轴方向的两个分量 其中其中 对转轴的力矩为零，对转轴的力矩为零，故故 对转轴的力矩对转轴的力矩hA 1)1)力对点的力矩力对点的力矩O.力对转轴的力矩力对转轴的力矩 只是力对参考点只是力对参考点O O的力矩在转轴方向上的分量。的力矩在转轴方向上的分量。4）刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消O3 3）合合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和一一对对内力内力对对参考参考点点O O的的合力矩为零合力矩为零。刚体的转动定律刚体的转动定律作用在刚体上所有的外力对作用在刚体上所有的外力对定轴定轴 z z 轴的力矩的代数和轴的力矩的代数和刚体对刚体对 z z 轴轴的转动惯量的转动惯量(2)力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同实验证明实验证明当当M为零时，则刚体保持静止或匀速转动为零时，则刚体保持静止或匀速转动(3)与牛顿定律比较：与牛顿定律比较：讨论讨论在国际单位中在国际单位中k=13.2.2刚体刚体对对定轴定轴的的转动定律转动定律当存在当存在M 时，时，与与M 成正比，而与成正比，而与J 成反比成反比(1)M 正比于正比于 ，力矩越大力矩越大，刚体的刚体的 越大越大刚刚体体的的定定轴轴转转动动定定律律理理论论推推证证O对质元 ：对刚体上所有质元对刚体上所有质元：为零为零取一质量元取一质量元所以有所以有O在在自然坐标系自然坐标系下下 力力 对对z 轴的力矩为轴的力矩为合外力对合外力对z轴的合力矩为轴的合力矩为 合外力对合外力对z轴的合力矩为轴的合力矩为 合外力对合外力对z轴的合力矩为轴的合力矩为 将将 代入上式，有代入上式，有设设 -转动惯转动惯量量合外力矩合外力矩 M刚体的转动惯量刚体的转动惯量J刚体的转动定律刚体的转动定律刚刚体体的的定定轴轴转转动动定定律律：作作定定轴轴转转动动的的刚刚体体，在在总总外外力力矩矩 M 的的作作用用下下，所所获获得得的的角角加加速速度度与与总总外外力力矩矩的的大大小小成成正正比比，与与刚刚体体的的转转动动惯惯量量成成反反比。比。定义式定义式质量不连续分布质量不连续分布质量连续分布质量连续分布计算转动惯量的三个要素计算转动惯量的三个要素:(1)总质量总质量(2)质量分布质量分布(3)转轴的位置转轴的位置3.2.3转动惯量转动惯量 J 的意义的意义：转动惯性大小的量度转动惯性大小的量度。转动惯量的单位：转动惯量的单位：kgm2例例1 质质量量为为m，长长为为l，密密度度均均匀匀的的细细杆杆，求求：(1)它它对对过过杆杆的的中中心心且且与与杆杆垂垂直直的的z 轴轴的的转转动动惯惯量量。(2)试试分分析析，当当转转轴轴由由z 轴轴开开始始沿沿杆杆的的方方向向平平移移到到杆杆的的一一端端时时，转动惯量如何变化。转动惯量如何变化。解：解：解：解：(1)把把杆杆分分成成许许多多无无限限小小的的质质元元，杆杆的的线线密密度度为为，以以z轴轴与杆的交点与杆的交点C为坐标原点，建立坐标轴。为坐标原点，建立坐标轴。在距离在距离z 轴轴x处，选取一质元处，选取一质元dx，则该质元的质量为，则该质元的质量为其中其中(1)J与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关(2)细杆的一端细杆的一端A到点到点C的距离为的距离为 所以所以OLxdxMzLOxdxM平行轴定理平行轴定理zdCMzz(3)J与转轴的位置有关与转轴的位置有关:刚体绕任意轴的转动惯量刚体绕任意轴的转动惯量:刚体绕通过质心的轴刚体绕通过质心的轴:两轴间垂直距离两轴间垂直距离(2)J与质量分布有关与质量分布有关例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量dlOmROmrdrR-转动惯量的平行轴定理转动惯量的平行轴定理 影响转动惯量大小的影响转动惯量大小的因素：因素：质量质量 质量的分布（见下表）质量的分布（见下表）转轴的位置转轴的位置3-5有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上，有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上，下列说法不正确的是下列说法不正确的是 (D)只有这两个力在转动平面内的分力对转轴产生的力只有这两个力在转动平面内的分力对转轴产生的力矩，才能改变刚体绕转轴转动的运动状态矩，才能改变刚体绕转轴转动的运动状态(C)当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零定是零(B)这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零能是零(A)这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零定是零 C (3)物体物体B与滑轮之间的绳中的张力。与滑轮之间的绳中的张力。(1)滑轮的角加速度。滑轮的角加速度。(2)物体物体A与滑轮之间的绳中的张力。与滑轮之间的绳中的张力。3-6如如图图所示，所示，质质量均量均为为m的物体的物体A和和B叠放在水平面上，叠放在水平面上，由跨由跨过过定滑定滑轮轮的不可伸的不可伸长长的的轻质细绳轻质细绳相互相互连连接。接。设设定定滑滑轮轮的的质质量量为为m，半径，半径为为R，且，且A与与B之之间间、A与桌面之与桌面之间间、滑、滑轮轮与与轴轴之之间间均无摩擦，均无摩擦，绳绳与滑与滑轮轮之之间间无相无相对对滑滑动动。物体。物体A在力在力的作用下运的作用下运动动后，求：后，求：解解：设设滑滑轮转动轮转动方向方向为为正方向，由正方向，由刚刚体定体定轴转动轴转动定律有定律有由牛由牛顿顿第二定第二定对对物体物体A：有有其中，其中，因因绳绳与滑与滑轮轮之之间间无相无相对对滑滑动动，则则有有将将4个方程个方程联联立，可得立，可得滑滑轮轮的角加速度的角加速度物体物体A与滑与滑轮轮之之间间的的绳绳中的中的张张力力物体物体B与滑与滑轮轮之之间间的的绳绳中的中的张张力力对物体对物体B：和和间间的摩擦力，且的摩擦力，且绳绳子相子相对对滑滑轮轮没有滑没有滑动动)根根质质量不量不计计的的轻绳轻绳相相连连，此，此绳绳跨跨过过一半径一半径为为、质质量量为为3-7如如图图所示，所示，质质量分量分别为别为和和的物体的物体和和用一用一若物体若物体与水平面与水平面间间是光滑接触，求：是光滑接触，求：的定滑轮。的定滑轮。绳中的张力绳中的张力各为多少？各为多少？(忽略滑轮转动时与轴承忽略滑轮转动时与轴承解：根据牛解：根据牛顿顿第二定律，有第二定律，有由由刚刚体的定体的定轴转动轴转动定律有定律有因因绳绳子子质质量不量不计计，所以有，所以有,将上面将上面5个个方程方程联联立立得得轮轮的的转动惯转动惯量量为为的摩擦均忽略不的摩擦均忽略不计计。求：两物体运。求：两物体运动动的加速度。的加速度。*3-8如如图图所示，物体所示，物体和和该该定滑定滑轮轮由两个同由两个同轴轴的，且半径分的，且半径分别为别为和和(分别悬挂在定滑轮的两边，分别悬挂在定滑轮的两边，)的的圆盘组圆盘组成。已知两物体的成。已知两物体的质质量分量分别为别为和和，定滑，定滑，轮与轴承间的摩擦、轮与绳子间的，轮与轴承间的摩擦、轮与绳子间的解：解：其中其中根据牛顿定律和刚体的转动定律有根据牛顿定律和刚体的转动定律有解上述方程组，可得解上述方程组，可得其中其中3-9下面说法中正确的是下面说法中正确的是 (D)物体的动能变化物体的动能变化,动量却不一定变化动量却不一定变化(C)物体的动量变化物体的动量变化,角动量也一定变化角动量也一定变化(B)物体的动量不变物体的动量不变,角动量也不变角动量也不变(A)物体的动量不变物体的动量不变,动能也不变动能也不变A 过过程中阻力矩所做的功程中阻力矩所做的功为为多少？多少？3-13一一转动惯转动惯量量为为(为为正常数正常数)。则则在它的角速度从在它的角速度从变为变为的的圆盘绕圆盘绕一固定一固定轴转动轴转动，起初，起初角角,设设它所受阻力矩与它所受阻力矩与转动转动角速度之角速度之间间的关系的关系速度为速度为解：解：根据根据刚刚体体绕绕定定轴转动轴转动的的动动能定理，阻力矩所做能定理，阻力矩所做的功的功为为将将代入上式，得代入上式，得设设在在转动过转动过程中某程中某时时刻，棒与水平方向成刻，棒与水平方向成角，角，中心点中心点 和端点和端点的速度。的速度。从水平位置开始自由下从水平位置开始自由下摆摆，求：，求：细细棒棒摆摆到到竖竖直位置直位置时时其其3-14一根一根质质量量为为m、长为长为l的均匀的均匀细细棒，可棒，可绕绕通通过过其一段其一段的光滑的光滑轴轴在在竖竖直平面内直平面内转动转动。设设时刻，细棒时刻，细棒所以所以细细棒在由水平位置棒在由水平位置转转到到竖竖直位置的直位置的过过程中，重力矩做的程中，重力矩做的功功为为解：解：则重力矩为则重力矩为代入上式得代入上式得设设棒在水平位置的角速度棒在水平位置的角速度为为，根据根据刚刚体定体定轴转动轴转动的的动动能定理，有能定理，有在在竖竖直位置的角速度直位置的角速度为为其中，其中，根据速度和角速度的关系根据速度和角速度的关系的速度分的速度分别为别为细细棒棒摆摆到到竖竖直位置直位置时时其中心点其中心点和端点和端点解：因解：因为为所以所以因因为为3-10一一质质量量为为m的的质质点沿着一条空点沿着一条空间间曲曲线线运运动动，该该曲曲线线在直角坐在直角坐标标系下的定系下的定义义式式为为，其中，其中、皆皆为为常数常数则则此此质质点所受的点所受的对对原点的力矩原点的力矩0；该质该质点点对对原点的角原点的角动动量量。其中，其中，对对上式上式计计算得算得=转动惯转动惯量量变为变为J/3。如忽略摩擦力，求：此人收臂后的。如忽略摩擦力，求：此人收臂后的动动能与收臂前的能与收臂前的动动能之比。能之比。3-11一人手拿两个一人手拿两个哑铃哑铃，两臂平伸并，两臂平伸并绕绕右足尖旋右足尖旋转转，转转动惯动惯量量为为，角速度，角速度为为。若此人突然将两臂收回，。若此人突然将两臂收回，解：解：因人在因人在转动过转动过程中所受重力和支持力程中所受重力和支持力对转轴对转轴的力矩均的力矩均为为零，所以此人的零，所以此人的转动满转动满足足刚刚体体绕绕定定轴转动轴转动的角的角动动量守恒量守恒定律。定律。设设人收回两臂后的角速度人收回两臂后的角速度为为，由，由得得所以，收臂后的所以，收臂后的动动能与收臂前的能与收臂前的动动能之比能之比为为3-12一一质质量量为为m的人站在一的人站在一质质量量为为m、半径、半径为为R的水平的水平圆盘圆盘上，上，圆盘圆盘可无摩擦地可无摩擦地绕绕通通过过其中心的其中心的竖竖直直轴转动轴转动。系系统统原来是静止的，后来人沿着与原来是静止的，后来人沿着与圆盘圆盘同心，半径同心，半径为为的的圆圆周走周走动动。求：当人相。求：当人相对对于地面的走于地面的走动动速率速率为为 时时，圆盘转动圆盘转动的角速度的角速度为为多大？多大？解：解：对对于于转轴转轴，人与，人与圆盘组圆盘组成的系成的系统统角角动动量守恒。量守恒。圆盘圆盘的的转动惯转动惯量量为为选选地面地面为惯为惯性参照系，根据角性参照系，根据角动动量守恒定律，有量守恒定律，有其中其中，代入上式得，代入上式得负负号表示号表示圆盘圆盘的的转动转动方向和人的走方向和人的走动动方向相反。方向相反。人的转动惯量为人的转动惯量为 质量不连续分布质量不连续分布质量连续分布质量连续分布转动惯量的三个要素转动惯量的三个要素:(1)总质总质(2)质量分布质量分布(3)转轴的位转轴的位置置转动惯量转动惯量 J 的意义的意义：转动惯性大小的量度转动惯性大小的量度。单位：单位：kgm2刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律：平行轴定理平行轴定理表3-1 几种常见刚体的转动惯量细杆细杆圆盘和圆柱转轴过中心且与杆垂直转轴过一端且与杆垂直转轴过中心且与盘面垂直薄圆环转轴过中心且与环面垂直实心球体转轴过任意直径薄球壳转轴过任意直径细细杆，首尾相杆，首尾相连连地地连连成一根成一根长长直直细细杆杆(其各自的其各自的质质量保持量保持分布不分布不变变)。试计试计算算该长该长直直细细杆杆对过对过端点端点上上)(在在且垂直于且垂直于长长直直细细杆的杆的轴轴的的转动惯转动惯量。量。3-4如如图图所示，两所示，两长长度均度均为为L、质质量分量分别别和和的均匀的均匀解解：左边直棒部分对左边直棒部分对O轴的转动惯量轴的转动惯量由平行由平行轴轴定理，右定理，右边边直棒部分直棒部分对对O轴转动惯轴转动惯量量整个整个刚刚体体对对O轴轴的的的的转动惯转动惯量量竿竿子子长长些些还还是是短短些些较较安安全全？飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？3.2.4刚刚体体的的定定轴轴转转动动定定律律的的应用应用刚体的定轴转动定律亦可表示为刚体的定轴转动定律亦可表示为 例例2 一一飞飞轮轮以以初初角角速速度度 绕绕 z轴轴转转动动，已已知知空空气气的的阻阻力力矩矩与与角角速速度度成成正正比比，即即 ，其其中中比比例例系系数数k为为常常量量。已已知知飞飞轮轮的的转转动动惯惯量量为为J，求求：(1)经过多长时间，飞轮转动的角速度减少为经过多长时间，飞轮转动的角速度减少为 的的三三分分之之一一？(2)在在此此时时间间内内，飞飞轮轮共共转转过过的的圈圈数数为多少？为多少？解：解：解：解：(1)根据刚体的定轴转动定律，有根据刚体的定轴转动定律，有 根据角加速度的定义，有根据角加速度的定义，有 所以所以即即(1)经过多长时间，飞轮转动的角速度减少为经过多长时间，飞轮转动的角速度减少为 的三分之一？的三分之一？解：解：(2)由角速度定义，有由角速度定义，有 根据初始条件，对上式积分，有根据初始条件，对上式积分，有飞轮转过的圈数为飞轮转过的圈数为(2)在此时间内，飞轮共转过的圈数为多少？在此时间内，飞轮共转过的圈数为多少？例例3 斜斜面面倾倾角角为为,位位于于斜斜面面顶顶端端的的卷卷扬扬机机的的鼓鼓轮轮半半径径为为r，转转动动惯惯量量为为J，受受到到驱驱动动力力矩矩 作作用用，通通过过绳绳索索牵牵引引斜斜面面上上质质量量为为m的的物物体体，物物体体与与斜斜面面间间的的摩摩擦擦系系数数为为，求求重重物物上上滑滑的的加加速速度度。(绳绳与与斜面平行，绳的质量不计，且不可伸长斜面平行，绳的质量不计，且不可伸长)m解解解解：(1)采采用用隔隔离离法法分分别别对对物物体体和和鼓鼓轮轮进进行行受受力力分分析。析。xy根据牛顿第二定律，有根据牛顿第二定律，有 x方向方向y方向方向且有且有对物体：对物体：对鼓轮：对鼓轮：设鼓轮的转轴垂直于纸面指向读者设鼓轮的转轴垂直于纸面指向读者 根据刚体定轴转动定律，有根据刚体定轴转动定律，有 其中其中解得解得例例4 一一根根细细绳绳跨跨过过固固定定在在电电梯梯顶顶部部的的定定滑滑轮轮，滑滑轮轮的的质质量量为为m，半半径径为为R。在在绳绳的的两两侧侧各各悬悬挂挂有有质质量量为为M和和m的的小小球球(Mm)，设设细细绳绳的的质质量量忽忽略略不不计计，且且细细绳绳不不可可伸伸长长。求求：当当电电梯梯静静止止时时，两两球球的的加加速度和细绳的张力。速度和细绳的张力。解：解：解：解：选取静止的电梯为惯性参照系。选取静止的电梯为惯性参照系。选取静止的电梯为惯性参照系。选取静止的电梯为惯性参照系。由由于于滑滑轮轮的的质质量量不不可可忽忽略略，所所以以滑滑轮轮两两边边绳绳子子的的拉力不再相等拉力不再相等，但绳同侧的拉力相等，即，但绳同侧的拉力相等，即根据牛顿第二定律，有根据牛顿第二定律，有根据刚体定轴转动定律，有根据刚体定轴转动定律，有 且有且有滑轮的转动惯量为滑轮的转动惯量为 将上面方程联将上面方程联立，可解得立，可解得若若将将m略略去去，即即可可得得到到第第二二章章例例题题1中的结果。中的结果。(1)飞轮的角加速度飞轮的角加速度(2)如以重量如以重量P=98N的物体挂在的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速绳端，试计算飞轮的角加速解解(1)(2)两者区别两者区别例例求求一轻绳绕在半径一轻绳绕在半径r=20cm的飞轮边缘，在绳端施以的飞轮边缘，在绳端施以F=98N的拉力，飞轮的转动惯量的拉力，飞轮的转动惯量J=0.5kgm2，飞轮与转轴间的摩擦，飞轮与转轴间的摩擦不计，不计，(见图见图)一根长为一根长为 l，质量为质量为m的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平面内转动，初始时它在水平位置面内转动，初始时它在水平位置求求它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 OlmCx解解 取一质元取一质元重力对整个棒的合力矩等于重力全部重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩集中于质心所产生的力矩dm例例力力的时间累积效应：的时间累积效应：冲量、动量、动量定理冲量、动量、动量定理力矩力矩的时间累积效应：的时间累积效应：冲量矩、角动量、角动量定理冲量矩、角动量、角动量定理33 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律3.3.1质质点点的的角角动动量量和和刚刚体体绕绕定轴转动的角动量定轴转动的角动量1 质点的角动量质点的角动量（动量矩）（动量矩）PO*大小大小：方向方向：右手螺旋定则右手螺旋定则单位单位：特例：特例：质点作圆周运动质点作圆周运动(2)当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O 的角动的角动量也称为质点对过量也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的角动量垂直于运动平面的轴的角动量；(3)质点对某点的动量矩质点对某点的动量矩,在通过该在通过该点的任意轴上的投影就等于质点点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩对该轴的动量矩例例一质点一质点m，速度为速度为v，如图如图所示，所示，A、B、C 分别为三分别为三个参考点个参考点,此时此时m 相对三个相对三个点的距离分别为点的距离分别为d1、d2、d3求求此时刻质点对三个参考点的动量矩此时刻质点对三个参考点的动量矩md1d2d3ABC解解O S(1)质点的角动量与质点的动量及质点的角动量与质点的动量及位矢位矢(取决于固定点的选择取决于固定点的选择)有关；有关；2 刚体绕定轴转动的角动量刚体绕定轴转动的角动量-刚体对刚体对z轴的角动量轴的角动量 质元质元 对转轴的角动量对转轴的角动量 刚体刚体对转轴的角动量对转轴的角动量 3.3.2质质点点的的角角动动量量定定理理和和刚刚体绕定轴转动体绕定轴转动的角动量定理的角动量定理1 质点的角动量定理质点的角动量定理 作用于质点的合外力对作用于质点的合外力对参考点参考点O 的力矩，等的力矩，等于质点对该点于质点对该点O的的角动量角动量随时间的随时间的变化率变化率.质点角动量定理的推导质点角动量定理的推导即即-质点对质点对参考点参考点O的角动量定理的角动量定理-质点质点对轴对轴的角动量定理的角动量定理 2 刚体绕定轴转动的角动量定理刚体绕定轴转动的角动量定理 刚体：刚体：为零为零所以所以刚体绕定轴转动的角动量定理刚体绕定轴转动的角动量定理 O刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量质点质点对轴对轴的角动量定理的角动量定理 角动量定理角动量定理微分形式微分形式非刚体非刚体定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理 对定轴转的刚体，受合外力矩对定轴转的刚体，受合外力矩M，从从 到到 内，角速度从内，角速度从 变为变为 ，积分可得：，积分可得：（角动量定理（角动量定理积分形式）积分形式）定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其角动量的增量角动量的增量3.3.3质质点点绕绕定定点点运运动动和和刚刚体体绕绕定定轴轴转转动动的的角角动动量量守守恒恒定定律律 1 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律 若若 ，则有，则有恒矢量恒矢量-质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律有心力或中心力有心力或中心力 质点的角动量定理质点的角动量定理 例例1 在在地地球球绕绕太太阳阳公公转转的的过过程程中中，当当地地球球处处于于远远日日点点时时，地地日日之之间间的的距距离离为为1.521011m，轨轨道道速速度度为为2.93104ms-1。半半年年后后，地地球球到到达达近近日日点点，地地日日之之间间的的距距离离为为1.471011m。求求地地球球在在近近日日点点时时的的轨轨道速度和角速度。道速度和角速度。解：解：解：解：以太阳为参考点，地球的公转满足角动量守以太阳为参考点，地球的公转满足角动量守以太阳为参考点，地球的公转满足角动量守以太阳为参考点，地球的公转满足角动量守恒定律恒定律恒定律恒定律。远日点远日点 近日点近日点 由由 得得由由 得得（角动量定理（角动量定理积分形式）积分形式）力矩力矩的时间累积效应：的时间累积效应：冲量矩、角动量、角动量定理冲量矩、角动量、角动量定理刚体对刚体对z轴的角动量轴的角动量 质点的角动量质点的角动量质点质点对轴对轴的角动量定理的角动量定理 2 刚体绕定轴转动的角动量守恒定律刚体绕定轴转动的角动量守恒定律 若 ，则刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动的角动量守恒定律的角动量守恒定律 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量.守恒条件守恒条件若若不变，不变，不变；不变；若若变，变，也变，但也变，但不变不变.讨论讨论许多现象都可许多现象都可以用角动量守恒来以用角动量守恒来说明说明.花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水点击图片播放茹可夫斯基凳茹可夫斯基凳转动惯量.rm花样滑冰运动员的旋转表演花样滑冰运动员的旋转表演被被中中香香炉炉惯性导航仪（陀螺）惯性导航仪（陀螺）角动量守恒定律在技术中的应用角动量守恒定律在技术中的应用花样滑冰花样滑冰自然界中存在多种守恒定律自然界中存在多种守恒定律2动量守恒定律动量守恒定律2能量守恒定律能量守恒定律2角动量守恒定律角动量守恒定律2电荷守恒定律电荷守恒定律2质量守恒定律质量守恒定律2宇称守恒定律等宇称守恒定律等m 解解解解：将将子子弹弹视视为为质质点点，由由子子弹弹和和细细杆杆组组成的系统在碰撞瞬间角动量守恒。成的系统在碰撞瞬间角动量守恒。例例3.7 一一长长l，质质量量为为M的的细细杆杆，可可绕绕水水平平轴轴O在在竖竖直直平平面面内内转转动动，开开始始时时杆杆自自然然地地竖竖直直悬悬垂垂。现现有有一一质质量量为为m的的子子弹弹以以水水平平速速度度 射射入入杆杆中中P点点，已已知知P点点和和杆杆下下端端的的距距离离为为h，求求细细杆杆开开始始运运动动时时的的角速度。角速度。P71 碰前：碰前：细杆对轴O的角动量 子弹对轴O的角动量细杆的转动惯量：细杆的转动惯量：碰后：碰后：细杆对轴细杆对轴O的角动量的角动量 子弹对轴子弹对轴O的角动量的角动量由角动量守恒定律，有由角动量守恒定律，有 解得解得力的空间累积力的空间累积效应：效应：力的功、动能、动能定理力的功、动能、动能定理力矩的空间累积力矩的空间累积效应：效应：力矩的功、转动动能、动能定理力矩的功、转动动能、动能定理3.4 刚体绕定轴转动的动能和动能定理刚体绕定轴转动的动能和动能定理3.4.1力矩的功力矩的功力力 的元功为：的元功为：所以所以由图由图对对 过程，力做的总功为过程，力做的总功为力矩的功：力矩的功：刚体在绕定轴转动的过程中，刚体在绕定轴转动的过程中，合外力对刚体做的功等于该力对转轴的合外力对刚体做的功等于该力对转轴的力矩与刚体的角位移的乘积。力矩与刚体的角位移的乘积。力矩的功力矩的功力矩的力矩的功率功率比较比较若若M=Cz O设系统包括有设系统包括有N 个质量元个质量元,其动能为其动能为各质量元速度不同，各质量元速度不同，但角速度相同但角速度相同刚体的总动能刚体的总动能P绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半量与其角速度平方乘积的一半结论结论取取3.4.2转动动能转动动能3.4.3刚刚体体绕绕定定轴轴转转动动的的动动能能定理定理对对 过程，力做的总功为过程，力做的总功为刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 力矩功的效果力矩功的效果绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的轴转动刚体的动能定理动能定理解解解解：物物体体在在沿沿水水平平面面转转动动中中，绳绳的的拉拉力力对对转转轴轴的的力力矩矩为为零零，所所以以，物物体体在在转转动动过过程程中中角角动动量量守守恒恒。设设物物体体在在运运动动半半径径变变为为R/5时时的的角角动动量量为为，则有，则有 例例8一一质质量量为为m的的小小球球由由细细绳绳系系着着，以以角角速速度度 在在光光滑滑的的水水平平面面上上作作圆圆周周运运动动，圆圆周周的的半半径径为为R。若若在在绳绳的的另另一一端端作作用用一一竖竖直直向向下下的的拉拉力力，使使小小球球作作圆圆周周运运动动的的半半径径变变为为R/5，求求小小球球在在半半径径变变为为R/5时时的角速度及在此过程中拉力对小球所做的功。的角速度及在此过程中拉力对小球所做的功。由刚体绕定轴转动的动能定理得由刚体绕定轴转动的动能定理得 刚体的机械能刚体的机械能刚体重力势能刚体重力势能刚体的刚体的机械能机械能质心的势能质心的势能刚体的机械能守恒刚体的机械能守恒对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立3.4.4刚体的重力势能刚体的重力势能解题指导与典型习题分析一、定轴转动的动力学问题一、定轴转动的动力学问题Problem of dynamics of a rotational rigid body around a fix axis 刚刚体体定定轴轴转转动动的的动动力力学学问问题题，大大致致有有三三种种类类型型题题。其其解解题题基基本本步步骤骤归归纳纳为为：首首先先分分析析各各物物体体所所受受力力和和力力矩矩情情况况，然然后后根根据据已已知知条条件件和和所所求求物物理理量量判断应选用的规律，最后列方程求解。判断应选用的规律，最后列方程求解。第第一一类类：求求刚刚体体转转动动某某瞬瞬间间的的角角加加速速度度，一一般般应应应应用用用用转转转转动动动动定定定定律律律律求求求求解解解解。如如质质点点和和刚刚体体组组成成的的系系统统，对对质质点点列列牛牛顿顿运运动动方方程程，对对刚刚体体列列转转动动定定律律方方程程，再再列列角角量和线量的关联方程，并联立求解。量和线量的关联方程，并联立求解。第第二二类类：求求刚刚体体与与质质点点的的碰碰撞撞、打打击击问问题题。把把它它们们选选作作一一个个系系统统时时，系系统统所所受受合合外外力力矩矩常常常常等等于于零零，所所以以系系统统角角动动量量守守恒恒。列列方方程程时时，注注意意系系统统始始末末状状态态的的总总角角动动量量中中各各项项的的正正负负。对对在在有有心心力力场场作作用用下下绕绕力力心心转转动动的的质质点点问问题题，可可直直接接用用用用角角角角动动动动量守恒定量守恒定量守恒定量守恒定。第第三三类类：在在刚刚体体所所受受的的合合外外力力矩矩不不等等于于零零时时，比比如如木木杆杆摆摆动动，受受重重力力矩矩作作用用，求求最最大大摆摆角角等等一一般般应应用用刚刚体体的的转转动动动动动动能能能能定定定定理理理理求求求求解解解解。对对于于仅仅受受保保守守力力矩矩作作用用的的刚刚体体转转动动问问题题，也也可可用用机机械械能能守守恒恒定定律律求解。求解。|另另外：外：实际问题中常常有多个复杂过程，要分实际问题中常常有多个复杂过程，要分成几个阶段进行分析，分别列出方程，进行求解。成几个阶段进行分析，分别列出方程，进行求解。质点力学小结提纲质点力学小结提纲一一.质点力学线索框图（见下页）质点力学线索框图（见下页）二二.解题的基本方法与步骤解题的基本方法与步骤1.用牛顿定律解题用牛顿定律解题2.用功能、动量、角动量及守恒定律解题用功能、动量、角动量及守恒定律解题三三.总结自己在哪些方面、哪些问题上较中学有总结自己在哪些方面、哪些问题上较中学有四四.专题小结专题小结（例如惯性力、角动量、质心系（例如惯性力、角动量、质心系）对参考系的依赖关系。对参考系的依赖关系。要搞清各规律的要搞清各规律的内容、内容、来源、来源、适用对象、适用对象、成立条件、成立条件、所提高。所提高。牛牛系系力力时间积累时间积累空间积累空间积累转动效应转动效应质点质点牛牛牛牛质点质点牛牛一对一对力力系系系系质质点点牛牛系系三、解题指导与典型习题分析若若已已知知角角速速度度或或角角加加速速度度及及初初始始条条件件，求求运运动方程可用积分法动方程可用积分法|1、运动学问题、运动学问题Problemofkinematicsofarigidbody刚体绕定轴转动的运动学问题，只涉及圆周运动刚体绕定轴转动的运动学问题，只涉及圆周运动的角量描述及角量和线量的关系。的角量描述及角量和线量的关系。|若已知运动方程，求角速度或角加速度等，若已知运动方程，求角速度或角加速度等，可用微分法可用微分法解：已知角位置，求角速度和角加速度，用微分：飞轮作变加速转动飞轮作变加速转动例题例题：一飞轮在时间一飞轮在时间t内转过度内转过度，式中式中a、b、c都是常量，求它的角加速度。都是常量，求它的角加速度。1-1已知已知质质点的运点的运动动方程方程为为(1)求：自求：自t=0至至t=1质质点的位移。点的位移。(2)求求质质点的点的轨轨迹方程。迹方程。解解：(1)质质点的位移点的位移为为(2)由运由运动动方程有方程有，消消t得得轨轨迹方程迹方程为为且且1-2运运动质动质点在某瞬点在某瞬时时位于矢径位于矢径其速度的大小其速度的大小为为的端点处，的端点处，(D)所以所以t=0，1S时质时质点的速度和加速度点的速度和加速度为为解：解：由速度和加速度的定义得由速度和加速度的定义得求：求：t=0，1S时质时质点的速度和加速度。点的速度和加速度。1-4某某质质点的运点的运动动方程方程为为，得得质质点在点在时时刻刻t的速度的速度为为(2)由由得得两两边边同同时积时积分，代入初始条件分，代入初始条件t=0时时，积积分有分有得得质质点的运点的运动动方程方程求：求：(1)质质点在点在时时刻刻t的速度。的速度。(2)质质点的运点的运动动方程。方程。1-7已知已知质质点沿点沿Ox轴轴作直作直线线运运动动，其瞬，其瞬时时加速度的加速度的变变化化规规律律为为。在。在t=0时时，。得得解：解：(1)由由并将初始条件并将初始条件t=0时时，带带入入积积分方程，分方程，有有两边同时积分，两边同时积分，得得（2）由）由解：解：（1）设设物体静止物体静止时时的位置的位置为为坐坐标标原点，向原点，向下下为为y轴轴正方向，正方向，则则t=0时时,v=0,y=0。由。由得得物体的运物体的运动动方程方程为为1-8一物体从空中由静止下落，已知物体下落的加速度与一物体从空中由静止下落，已知物体下落的加速度与速率之速率