11平面直角坐标系.ppt
第一讲第一讲 坐标系坐标系1.平面直角坐标系平面直角坐标系 1、建立平面直角坐标系、建立平面直角坐标系2、设点、设点（点与坐标的对应）（点与坐标的对应）3、列式、列式（方程与坐标的对应）（方程与坐标的对应）4、化简、化简5、说明、说明坐标法解决问题的步骤坐标法解决问题的步骤 声响定位问题声响定位问题 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s4s，已知各观测点到中心的距离都是已知各观测点到中心的距离都是已知各观测点到中心的距离都是已知各观测点到中心的距离都是1020m1020m，试确定该巨，试确定该巨，试确定该巨，试确定该巨响的位置。响的位置。响的位置。响的位置。(假定当时声音传播的速度为假定当时声音传播的速度为假定当时声音传播的速度为假定当时声音传播的速度为340m/s340m/s，各相，各相，各相，各相关点均在同一平面上关点均在同一平面上关点均在同一平面上关点均在同一平面上).).信息中心信息中心观测点观测点观测点观测点观测点观测点BAC怎样建立直角坐标系才有利于我们怎样建立直角坐标系才有利于我们解决这个问题？解决这个问题？PBACyxO y y y yx x x xB B B BA A A AC C C CP P P Po o o o 以接报中心为原点以接报中心为原点以接报中心为原点以接报中心为原点OO，以，以，以，以BABA方向为方向为方向为方向为x x轴，建立直角轴，建立直角轴，建立直角轴，建立直角坐标系坐标系坐标系坐标系.设设设设A A、B B、C C分别是西、东、北观测点，分别是西、东、北观测点，分别是西、东、北观测点，分别是西、东、北观测点，则则则则 A(1020,0),B(A(1020,0),B(1020,0),C(0,1020)1020,0),C(0,1020)设设设设P P（x,yx,y）为巨响的声点，）为巨响的声点，）为巨响的声点，）为巨响的声点，因因因因A A点比点比点比点比B B点晚点晚点晚点晚4s4s听到爆炸声，听到爆炸声，听到爆炸声，听到爆炸声，故故故故|PA|PA|PB|=3404=1360|PB|=3404=1360 由由由由B B、C C同时听到巨响声，得同时听到巨响声，得同时听到巨响声，得同时听到巨响声，得|PC|=|PB|PC|=|PB|，故故故故P P在在在在BCBC的垂直平分线的垂直平分线的垂直平分线的垂直平分线POPO上，上，上，上，POPO的方程为的方程为的方程为的方程为y=y=x x，由双曲线定义由双曲线定义由双曲线定义由双曲线定义P P点在以点在以点在以点在以A,BA,B为焦点的双曲线为焦点的双曲线为焦点的双曲线为焦点的双曲线 上上上上a=680,c=1020,a=680,c=1020,b b2 2=c=c2 2-a-a2 2=1020=10202 2-680-6802 2=5340=53402 2.所以双曲线的方程为：所以双曲线的方程为：所以双曲线的方程为：所以双曲线的方程为：用用用用y=y=x x代入上式，得代入上式，得代入上式，得代入上式，得 答答答答:巨响发生在信息中心的西偏北巨响发生在信息中心的西偏北巨响发生在信息中心的西偏北巨响发生在信息中心的西偏北45450 0,距中心距中心距中心距中心 我们以信息中心为基点，用角和距离我们以信息中心为基点，用角和距离刻画了点刻画了点P的位置。这种方法与用坐的位置。这种方法与用坐标刻画点标刻画点P的位置有什么区别和联系的位置有什么区别和联系？你认为哪种方法更方便？你认为哪种方法更方便？例例例例1.1.已知已知已知已知ABCABC的三的三的三的三边边a,b,ca,b,c满满足足足足b b2 2+c+c2 2=5a=5a2 2,BE,CF,BE,CF分分分分别为边别为边AC,CFAC,CF上的中上的中上的中上的中线线，建立适当的平面直角坐，建立适当的平面直角坐，建立适当的平面直角坐，建立适当的平面直角坐标标系系系系探究探究探究探究BEBE与与与与CFCF的位置关系。的位置关系。的位置关系。的位置关系。(A)(A)F FB BC CE EOy yx xA(0,0),B(c,0),F(,0).解：以ABC的顶点为原点,边AB所在的直线x轴，建立直角坐标系，由已知，点A、B、F的坐标分别为所以所以所以所以2x2x2 2+2y+2y2 2+2c+2c2 2-5cx=0.-5cx=0.由由由由b b2 2+c+c2 2=5a=5a2 2，|AC|AC|2 2+|AB|+|AB|2 2=5|BC|=5|BC|2 2，即即即即x x2 2+y+y2 2+c+c2 2=5(x-c)=5(x-c)2 2+y+y2 2，因此，因此，因此，因此，BEBE与与与与CFCF互相垂直互相垂直互相垂直互相垂直.（1）如果图形有对称中心，可以选择对称中如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；心为坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。你能建立与上述解答中不同的直角你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，你认为建立直角坐标系系下解决问题的过程，你认为建立直角坐标系时应注意些什么？时应注意些什么？.MMN NOOP PX Xy y 练习1.圆O1与与圆O2的半径都是的半径都是1，|O1O2|=4，过动点点P分分别作作圆O1、圆O2的切的切线PM、PN(M、N分分别为切切点点),使得使得PM=PN，试建立适当的坐建立适当的坐标系，求系，求动点点P的的轨迹方程。迹方程。解：以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两两圆的的圆心坐心坐标分分别为O1(-2,0)，O2(2,0)，设P(x,y)则PM2=PO12-MO12=同理，同理，PN2=练习2.已知点已知点A为定点，定点，线段段BC在定直在定直线 l 上滑上滑动，已知已知BC=4，点，点A到直到直线 l 的距离的距离为3，求，求ABC的外的外心的心的轨迹方程。迹方程。练习3.用两种以上的方法用两种以上的方法证明：三角形的三条高明：三角形的三条高线交于一点。交于一点。练习3.用两种以上的方法用两种以上的方法证明：三角形的三条高明：三角形的三条高线交于一点。交于一点。2.平面直角坐标系中的平面直角坐标系中的 伸缩变换伸缩变换思考：思考：怎怎样由正弦曲由正弦曲线y=sinx得到曲得到曲线y=sin2x?在正弦曲在正弦曲线y=sinx上任取一点上任取一点P(x,y),保持保持纵坐坐标不不变,将横坐将横坐标x缩为原来的原来的1/2，就得到正弦曲，就得到正弦曲线y=sin2x。xO 2 y上述上述变换实质上就是一个坐上就是一个坐标的的压缩变换即：即：设P(x,y)是平面直角坐是平面直角坐标系中任意一点，系中任意一点，保持保持纵坐坐标y不不变，将横坐，将横坐标x缩为原来原来1/2，得到，得到点点P(x,y)，坐，坐标对应关系关系为：我我们把把式叫做平面直角坐式叫做平面直角坐标系中的一个坐系中的一个坐标压缩变换。怎怎样由正弦曲由正弦曲线y=sinx得到曲得到曲线y=3sinx?在正弦曲在正弦曲线上任取一点上任取一点P(x,y),保持横坐保持横坐标x不不变，将，将纵坐坐标伸伸长为原来的原来的3倍，就得到曲倍，就得到曲线y=3sinx。xO2 y上述上述变换实质上就是一个坐上就是一个坐标的伸的伸长变换即：即：设P(x,y)是平面直角坐是平面直角坐标系中任意一点，系中任意一点，设P(x,y)是平面直角坐是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐系中任意一点，保持横坐标x不不变，将，将纵坐坐标y伸伸长为原来的原来的3倍，得到点倍，得到点P(x,y),坐坐标对应关系关系为：我我们把把式叫做平面直角坐式叫做平面直角坐标系中的一个坐系中的一个坐标伸伸长变换.在正弦曲线在正弦曲线y=sinx上任取上任取一点一点P(x,y)，保持纵坐标不变，保持纵坐标不变，将横坐标将横坐标x缩为原来的缩为原来的1/2;怎样由正弦曲线怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线得到曲线y=3sin2x?xyO 在此基础上，将纵坐标变为原来在此基础上，将纵坐标变为原来的的3倍，就得到正弦曲线倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.即在正弦曲线即在正弦曲线y=sinx上任取一点上任取一点P(x,y)，若设点，若设点P(x,y)经变换得到点为经变换得到点为P(x,y)，坐标对应关系为，坐标对应关系为:。把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换伸缩变换设设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换是平面直角坐标系中任意一点，在变换:定义定义:的作用下，点的作用下，点P(x,y)对应对应P(x,y).称称 为为平面直角坐标系中的伸缩变换平面直角坐标系中的伸缩变换。上述上述都是坐标伸缩变换，在它们的作用下都是坐标伸缩变换，在它们的作用下,可以实现平面图形的伸缩。可以实现平面图形的伸缩。在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。直角坐标系下进行伸缩变换。把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；可以用坐标伸缩变换得到；例例1 在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换经过伸缩变换:后的图形。后的图形。(1)2x+3y=0;(2)x2+y2=1解：解：(1)由伸缩变换由伸缩变换得到得到代入代入 2x+3y=0;得到经过伸缩变换后的图形的方程是得到经过伸缩变换后的图形的方程是得到经过伸缩变换后的图形的方程是得到经过伸缩变换后的图形的方程是(2)将将代入代入x2+y2=1，直直线仍然仍然变成直成直线，而，而圆可以可以变成成椭圆结论：思考：思考：在伸在伸缩变换下，下，椭圆是否是否可以变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲线？可以变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲线？练习：1 求下列点求下列点经过伸伸缩变换后的点的坐后的点的坐标：（1，2）；）；（-2，-1）.2 曲曲线C经过伸伸缩变换后的曲后的曲线方程是方程是则曲曲线C的方程是的方程是 .3 将点（将点（2，3）变成点（成点（3，2）的伸）的伸缩变换是（是（）4 曲曲线变成曲成曲线的伸的伸缩变换是是 .5 在伸在伸缩变换与伸与伸缩变换的作用下，的作用下，单位位圆分分别变成什么成什么图形？形？6 设M1是是A1(x1,y1)与与B1(x2,y2)的中点，的中点，经过伸伸缩变换后后,它它们分分别为M2,A2,B2，求，求证：M2是是A2B2的中点的中点.7 在同一直角坐在同一直角坐标系下，求系下，求满足下列足下列图形的伸形的伸缩变换：曲：曲线 4x2+9y2=36 变为曲曲线 x2+y2=1 8 在同一直角坐在同一直角坐标系下，系下，经过伸伸缩变换 后后,曲曲线C变为x29y2=1,求曲求曲线C的方程并画出的方程并画出图形。形。课堂小结课堂小结（1）体会坐标法的思想，应用坐标）体会坐标法的思想，应用坐标法解决几何问题；法解决几何问题；（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩）掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。变换。
