优质解析：河北省衡水中学2022届高三9月联考摸底（全国卷）数学（文）试题（解析版）.pdf

一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题个小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分，在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.）1.已知集合230Ax xx，13Bxx，则如图所示表示阴影部分表示的集合为（）A.1 , 0B.3 , 0C.)3 , 1 (D.3 , 1【答案】C.【解析】试题分析：由题意得，0,3A ，而阴影部分表示的集合为UAC B ，故选 C.考点：集合的运算.2.已知向量( ,2)ma，(1,1)na，且mn，则实数a的值为（）A.0B.2C.-2 或 1D.-2【答案】B.【解析】试题分析：mn，2(1)02aaa，故选 B.考点：平面向量的数量积.3.设复数z满足3(1)1 2izi （i为虚数单位） ，则复数z对应的点位于复平面内（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A.考点：复数的计算及其性质.4.已知 4 张卡片上分别写着数字 1，2，3，4，甲、乙两人等可能地从这四张卡片中选择 1 张，则他们选择同一卡片的概率为（）A.1B.161C.41D.21【答案】C.【解析】试题分析：根据古典概型可知，所求概率为414 44P ，故选 C.考点：古典概型.5.若直线4:nymxl和圆4:22 yxO没有交点， 则过点),(nm的直线与椭圆14922yx的交点个数为（）A.0 个B.至多一个C.1 个D.2 个【答案】D.考点：直线与圆锥曲线的位置关系.6.在四面体SABC中，BCAB ，2ABBC，2SASC，6SB ，则该四面体外接球的表面积是（）A.68B.6C.24D.6来源:学*科*网【答案】D.【解析】试题分析：如下图所示，取AC中点D，连SD，BD，由题意得，SDAC，BDAC，3SD ，1BD ， 设SDB， 3 1 63cos323 1 ， 而球心O在底面ABC的投影在ABC的外心，即点D处，故如下图所示，设ODx，2sin()323SESDxxx，1cos()313OEDFSD，2222221( 2)12Rxxx，62R ，外接球的表面积234462SR，故选 D.考点：空间几何体的外接球.【方法点睛】立体几何的外接球中处理时常用如下方法：1.结合条件与图形恰当分析取得球心位置；2.直接建系后，表示出球心坐标，转化为代数；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解.7.已知数列 na为等差数列，nS为前n项和，公差为d，若100172017172017SS，则d的值为（）A.201B.101C.10D.20【答案】B.考点：等差数列的通项公式及其前n项和.8.若函数( )sin()(0)f xAxA的部分图象如图所示，则关于)(xf描述中正确的是（）A.)(xf在)12,125(上是减函数B.)(xf在)65,3(上是减函数C.)(xf在)12,125(上是增函数D.)(xf在)65,3(上是增函数【答案】C.来源:Zxxk.Com考点：三角函数的图象和性质.9.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是1223，则（）A.13a B.12a C.11a D.10a 【答案】C.来源:学*科*网【解析】试题分析：分析程序框图可知，程序中11 11Sk ，123211112kk，再执行一次112kk ，此时需跳出循环，故11a ，故选 C.考点：程序框图.10.函数1222131)(23aaxaxaxxf的图象经过四个象限的一个充分必要条件是（）A.4133a B.112a C.20a D.63516a 【答案】D.考点：导数的运用.【思路点睛】本题要求掌握运用导数研究函数的单调性、极值的一般步骤分类与整合思想是解这类题目常用的数学思想方法，注意：分类标准统一，层次分明；不重不漏11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.3113B.35C.3104D.3107【答案】C.【解析】试题分析：由题意得，该几何体为三棱柱被切去了两个三棱锥构成的几何体，如下图所示，故所求几何体的体积1111044 4 524 4 12323V ，故选 C.考点：1.三视图；2.空间几何体的体积.【名师点睛】1.计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面特别是轴截面， 将空间问题转化为平面问题求解； 2.注意求体积的一些特殊方法：分割法、 补体法、还台为锥法等，它们是计算一些不规则几何体体积常用的方法，应熟练掌握.12.已知函数52log1,(1)( )(2)2,(1)xxf xxx，则关于x的方程1(2)f xax，当12a的实根个数为（）A.5B.6C.7D.8【答案】B.考点：函数与方程.【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1.对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2.一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 ）13.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点) 1, 2( ，则它的离心率为_.【答案】52.考点：双曲线的标准方程及其性质.14.曲线2( )32lnf xxxx在1x 处的切线方程为_.【答案】30 xy.【解析】试题分析：由题意得，223yxx ，1|2321xy ，而1x 时，1 302y ，切线方程为21yx，即30 xy，故填：30 xy.考点：导数的运用.15.某大型家电商场为了使每月销售 A 和 B 两种产品获得的总利润达到最大，对于某月即将出售的 A 和 B进行了相关调查，得出下表：如果该商场根据调查得来的数据，月总利润的最大值为_元.来【答案】960.考点：线性规划.【思路点睛】如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值.最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，而对于解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.16.如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字 1 出现在第 1 行；数字 2，3 出现在第 2 行，数字 6，5，4（从左至右）出现在第 3 行；数字 7，8，9，10 出现在第 4 行；依此类推，则第 20 行从左至右算第 4 个数字为_.【答案】194.考点：数列的运用.【思路点睛】数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型，数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，1q 或1q 等.三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）演算步骤）17.（本小题满分 12 分）已知顶点在单位圆上的ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且222bcabc.（1）求角 A 的大小；（2）若422cb，求ABC的面积.【答案】 （1）3； （2）34.【解析】试题分析： （1）将已知条件中的式子变形，利用余弦定理的变式即可求解； （2）利用余弦定理和正弦定理联立方程组即可求解.考点：正余弦定理解三角形.18.（本小题满分 12 分）来源:学+科+网如图，三棱柱111CBAABC 中，CACB，1ABAA，160BAA.（1）证明：1ABAC；（2）若2ABCB，16AC ，求三棱柱111CBAABC 的体积.【答案】 （1）详见解析； （2）3.【解析】试题分析： （1）根据题意证明AB 平面1OAC，即可得证； （2）证明1OA 平面ABC，求得底面积与高的值即可求解.试题解析： （1）如图，取AB的中点O，连结OC，1OA，1AB，CACB，OCAB，由于1ABAA，13BAA，故1AAB为等边三角形，1OAAB，1OCOAO，AB 平面1OAC， 又1AC 平面1OAC，故1ABAC；（2）由题设知ABC与1AAB都是边长为 2 的等边三角形，13OCOA，又16AC ，则22211ACOCOA，故1OAOC，OCABO，1OA 平面ABC，1OA为三棱柱111ABCABC的高，又3ABCS，故三棱柱111ABCABC的体积13ABCVSOA.考点：1.线面垂直的判定与性质；2.空间几何体的体积求解.19.（本小题满分 12 分）某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出 1 盒该产品获利润 50 元，未售出的产品，每盒亏损 30 元根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示该同学为这个开学季购进了 160 盒该产品，以x（单位：盒，100200 x）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x和中位数；（2）将y表示为x的函数；（3）根据直方图估计利润y不少于 4800 元的概率【答案】 （1）4603； （2）804800,1001608000,160200 xxyx； （3）0.9.考点：1.频率直方图；2.分类讨论的数学思想； （3）概率求解.20.（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy中，过点(2,0)C的直线与抛物线24yx相交于点A，B两点，设11( ,)A x y，22(,)B xy.（1）求证：12y y为定值（2）是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由【答案】 （1）详见解析； （2）详见解析.【解析】试题分析： （1）联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理即可求解； （2）假设存在符合题意的直线l，设出直线方程，利用圆的性质求解是否符合题意即可.来源:Zxxk.Com试题解析： （1）当直线AB垂直于x轴时，12 2y ，22 2y ，因此128y y (定值)，当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为(2)yk x，由2(2)4yk xyx得2480kyyk，128y y ， 因此有128y y 为定值； （2） 设存在直线l：xa满足条件， 则AC的中点112(,)22xyE，2211(2)ACxy，因此以AC为直径的圆的半径222111111(2)4222rACxyx，E点到直线xa的距离，所截弦长为2222112122(4)()42xrdxa2221114(22 )4(1)84xxaa xaa，当10a即1a 时，弦长2为定值 2，这时直线方程为1x .【思路点睛】求解定值问题的方法一般有两种：1.从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；2.直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.圆锥曲线的定值问题.21.（本小题满分 12 分）已知函数2( )ln ( ,)f xaxbxx a bR.来源:学科网（1）当1a ，3b 时，求函数( )f x在1 ,22上的最大值和最小值；（2）设0a ，且对任意的0 x ，( )(1)f xf，试比较aln与b2的大小.【答案】 （1）详见解析； （2）详见解析.考点：1.导数的综合运用；2.分类讨论的数学思想【思路点睛】1证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2.求参数范围问题的常用方法： （1）分离变量； （2）运用最值；3.方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论请考生在第请考生在第 2222、2323、2424 题中任意选一题作答。如果多做，则按所做第一题记分。题中任意选一题作答。如果多做，则按所做第一题记分。22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图A、B、C、D四点在同一个圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上（1）若13ECEB，12EDEA，求DCAB的值；（2）若2EFFA FB，证明：/ /EFCD【答案】 （1）66； （2）详见解析.考点：1.圆的性质；2.相似三角形的判定与性质.23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知极坐标的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：tytx21231（t为参数） ，曲线 C 的极坐标方程为：4cos（1）写出 C 的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设直线l与曲线 C 相交于P，Q两点，求|PQ值【答案】 （1）详见解析； （2）7.【解析】试题分析： （1）利用cosx，siny，即可将极坐标方程化为直角坐标方程； （2）将直线方程与圆方程联立，利用参数t的几何意义结合韦达定理即可求解.试题解析： （1）4cos，24 cos，由222xy，cosx，得224xyx，曲线C的直角坐标方程为22(2)4xy，又由31212xtyt ，消去t解得310 xy ，直线l的普通方程为310 xy ；（2） 把31212xtyt 代入224xyx， 整理得23 350tt，设其两根分别为1t，2t，123 3tt，1 25t t ，212121 2| |()47PQttttt t.考点：1.极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的相互转化；2.直线与圆的位置关系24.（本小题满分 12 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数322)(xaxxf,21)( xxg.（1）解不等式5)(xg；（2）若对任意的Rx 1，都有Rx 2，使得)()(21xgxf成立，求实数a的取值范围.【答案】 （1）( 2,4)； （2）5a 或1a .考点：1.绝对值不等式；2.转化的数学思想