优质解析：河北省衡水中学2022届高三下学期第六次调研考试（A）数学（文）试题（解析版）.pdf
一一、选择题选择题（本大题共本大题共 1212 个小题个小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. .）1已知i是虚数单位，则复数1 31ii（）A2iB2iC12i D12i 【答案】C【解析】试题分析：1 31iiiiiiii21242)1)(1 ()1)(31 (,应选 C.考点：复数的运算2已知集合0,1,2 ,3xPQy y，则PQ （）A0,1,2B0,1C1,2D【答案】C【解析】试题分析：由于2 , 1), 0(QPQ,因此应选 C.考点：集合的运算3命题:p若sinsinxy，则xy；命题22:2q xyxy，下列命题为假命题的是（）Ap或qBp且qCqDp【答案】B【解析】试题分析：由于p是假命题,q是真命题,因此p且q是假命题；命题q,p或q和p都是真命题.应选 B.考点：复合命题的真假和判定4设函数 f x为偶函数，当0,x时， 2logf xx，则2f （）A12B12C2D2【答案】B【解析】试题分析：由于函数 f x为偶函数,因此212log)2()2(2ff,应选 B.考点：函数的奇偶性和对数的运算5已知cos,2k kR，则sin（）A21kB21kC21kDk【答案】A考点：同角的关系和诱导公式的运用6函数 tan0f xx的图象的相邻两支截直线2y 所得线段长为2，则6f的值是（）A3B33C1D3【答案】D【解析】试题分析：由于2T,因此2,所以33tan,应选 D.考点：正切函数的图象和性质7执行下面的程序框图，如果输入的依次是 l，2，4，8，则输出的S为（）A2B2 2C4D6【答案】A【解析】试题分析：由于当1i时,211, 111iS; 当2i时,312,22121iS; 当3i时,413, 2423132iS,再次运行时4514i,这时就输出了2S,应选 A.考点：算法流程图的识读和理解8在棱长为 3 的正方体1111ABCDABC D中，P在线段1BD上，且112BPPD，M为线段11BC上的动点，则三棱锥MPBC的体积为（）A1B32C92D与M点的位置有关【答案】B考点：三棱锥体积的运算9已知, ,O A B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，在其不超过3km的范围内会对测绘仪等电子形成干扰，使测绘结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A212B22C312D12【答案】A考点：几何概型的计算公式【易错点晴】本题将解三角形和概率有机地结合在一起,重点考查的是几何概型的计算公式和求解方法.解答时充分借助题设中提供的有效信息,以点O为圆心半径为3画圆,记交点为QP,从而将问题转化为求线段PQ的长的问题.由于3 OQOP,点O到AB的距离为2,运用勾股定理求出了2232PQ.然后依据题设求出得到准确数据的概率为2212111 P.10已知抛物线220ypx p的交点F恰好是双曲线222210,0 xyabab的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F，则双曲线的离心率为（）A2B3C12D13【答案】C【解析】试题分析：设两曲线的交点坐标为),2(ppP,由题设cppc2,2,代入222210,0 xyabab由得222241acce,即141222eee.也即ee212,因此21e,应选 C考点：双曲线和抛物线的几何性质【易错点晴】本题考查的是圆锥曲线的离心率问题.解答这类问题的一般方法是借助题设条件和已知的事实合理构建关于cba,的方程或等式,然后再通过解方程使得问题获解.本题在求解时充分借助题设条件先确定交点的坐标,再将坐标代入双曲线的标准方程中,建立了关于cba,的方程,最后通过解方程求出了双曲线的离心率使问题获解,较好地考查和检测了转化化归的数学思想和运算求解能力.11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A3 312B123C4D3 3122【答案】A考点：三视图及几何体的表面积12已知函数 11,2222,xxf xf xx ，设方程 122xf x的根从小到大依次为*12,nx xxnN，则数列nf x的前n项和为（）A2nB2nnC21nD121n【答案】C考点：分段函数与数列的求和【易错点晴】本题以函数的图像为背景,将数列的通项和求和等问题有机地结合在一起,较好地考查和检测了学生数形结合数学思想和归纳猜想的合情推理的能力.解答时充分借助题设中提供的分段函数的表达形式,分别算出满足函数方程的根12, 7, 5, 3, 14321 nxxxxxn,然后再借助等式 122xf x,直接将问题进行合理转化和化归.直接利用等比数列的求和公式求出其前n项和为121212nnnS,使得问题巧妙获解.第第卷（非选择题共卷（非选择题共 9090 分）分）二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，每题小题，每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分分 ）13已知平面向量, a b的夹角为23，2,1a =b =，则ab_【答案】3来源:学.科.网 Z.X.X.K【解析】试题分析：3)21(21214|ba.考点：向量的模及运算14设ABC的内角, ,A B C所对的边长分别为, ,a b c，且3coscos5aBbAc，则tan AB的最大值为_【答案】34【解析】试题分析：由正弦定理得CABBAsin53cossincossin,即CBAsin53)sin(,则9sin253sin925sin9)tan(222CCCBA,当1sin2C时,43)tan(max BA.考点：正弦定理及运用15若不等式组30303xyykxx表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的范围是_【答案】0,1考点：线性规划的知识及运用【易错点晴】本题设置的是一道逆向型的线性规划问题,考查的仍是数形结合的数学思想和分析问题解决问题的能力.解答本题时充分借助题设条件和图形的直观,先确定极限点的情况,算出此时的斜率的值,再移动动直线的位置,找出适合题设条件的参数的取值范围,从而使问题简捷巧妙获解.值得提醒的是解答这类问题,一定要结合图形,数形结合,将数的问题直观化,使得问题变得简单明了,更加容易理解.16设过曲线 xf xex （e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l，总存在过曲线 2cosg xaxx上一点处的切线2l，使得12ll，则实数a的取值范围是_【答案】1,2【解析】试题分析：设曲线 xf xex 上的切点为),(00yxP,曲线 2cosg xaxx上一点为)(,(tftQ.因xaxgexfxsin2)(, 1)(/,故直线21,ll的斜率分别为takekxsin2, 1210,由于12ll,因此1)sin2)(1(0taex,即1)sin2)(1(0taex,也即11sin20 xeta.又因为Rx 0,所以11100 xe, 由 于 存 在t使 得11sin20 xeta, 因 此1sin2ta且0sin2ta, 所 以2)sin2(, 1)sin21 (maxmintata,所以21a.考点：导数的几何意义及不等式恒成立和存在成立问题的求解思路【易错点晴】本题考查的是存在性命题与全称命题成立的前提下参数的取值范围问题.解答时先求导将切线的斜率表示出来,再借助题设中提供的两切线的位置关系,将其数量化,最后再依据恒成立和存在等信息的理解和处理,从而使问题获解.本题在解答时最为容易出错的地方有两处:其一是将切点设为一个；其二是将存在问题当做任意问题来处理.三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤演算步骤. .）17 （本小题满分 12 分）设数列 na的前n项和nS，*111,1,1nnaaSnN ，且123,2,3aa a 为等差数列 nb的前三项（1）求数列 ,nnab的通项公式；（ 2）求数列nna b的前n项和【答案】(1)12nna，23 nbn；(2)3525nnTn.【解析】试题分析：(1)依据题设条件建立方程求解；(2)借助题设条件运用错位相减法求解.试题解析:（1）解法 1：11nnaSnN，112nnaSn1nnnaaa，即11,2 ,10nnaan ，又1211,11aaS ，数列 na为以 1 为首项，公比为1的等比数列，2 分231a，241113 ，整理得2210 ，得14 分12nna，1 3132nbnn 6 分解法 2：111,1nnaaSnN，2213211,111121aSaS ，241121 3 ，整理得2210 ，得12 分11nnaSnN，112nnaSn1nnnaaa，即122nnaan，又121,2aa数列 na为以 1 为首项，公比为 2 的等比数列，4 分12nna，1 3132nbnn 6 分（2）1322nnna bn1211 1 4 27 2322nnTn 123121 24 27 2352322nnnTnn 8 分得1211 13 23 23 2322nnnTn 12 1 21 33221 2nnn 10 分整理得：3525nnTn12 分考点：等差数列等比数列的通项前n项和等有关知识的运用18 （本小题满分 12 分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润 50 元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损 10 元，若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润 30 元（1）若商店一天购进商品 10 件，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：件，*nN）的函数解析式；（2）商店记录了 50 天该商品的日需求量n（单位：件） ，整理得下表：日需求量891011来源:学*科*网 Z*X*X*K12频数91115105若商店一天购进 10 件该商品，以 50 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间400,550的概率【答案】(1)30200,10,60100,10,nnnNynnnN；(2)2518.【解析】试题分析：(1)依据题设条件和利润的含义求解；(2)借助题设条件运用古典概率的公式求解.（2）50 天内有 9 天获得的利润 380 元，有 11 天获得的利润为 440，有 15 天获得利润为 500，有 10 天获得的利润为 530，有 5 天获得的利润为 5608 分若利润在区间400,550时，日需求量为 9 件、10 件、11 件该商品，其对应的频数分别为 11 天、15 天、10 天10 分则利润区间400,550的概率为：11 15 103618505025p。12 分考点：分段函数的解析式和概率等有关知识的运用19 （本小题满分 12 分）如图 1，在直角梯形ABCD中，1,22ADBCBADABBCADa，E是AD的中点，O是OC与BE的交点，将ABE沿BE折起到图 2 中1ABE的位置，得到四棱锥1ABCDE（1）证明：CD 平面1AOC；（2）当平面1ABE 平面BCDE时，四棱锥1ABCDE的体积为36 2，求a的值【答案】(1)证明见解析；(2)6a .【解析】试题分析：(1)依据直线与平面垂直的判定定理推证；(2)借助题设条件运用等积法建立方程求解.试题解析:（1）在图 1 中，因为12ABBCADa，E是AD的中点2BAD，所以BEAC，即在图 2 中，1,BEAO BEOC从而BE 平面1AOC又CDBE所以CD 平面1AOC5分（2）由已知，平面1ABE 平面BCDE，且平面1ABE 平面BCDEBE又由（1）知，1AOBE，所以1AO 平面BCDE，即1AO是四棱锥1ABCDE的高，由图 1 可知，12222AOABa，平行四边形BCDE面积2SBC ABa，从而四棱锥1ABCDE的为23111223326VSAOaaa，由3236 26a ，得6a 12考点：空间线面垂直的位置关系和棱锥的体积公式等有关知识的运用20 （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点1,0且与直线1x 相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线E（1）求曲线E的方程；（2） 已知点5,0A， 倾斜角为4的直线l与线段OA相交 （不经过点O或点A） 且与曲线E交于M、N两点，求AMN的面积的最大值，及此时直线l的方程【答案】(1)24yx；(2)8 2，此时直线l的方程为1yx.【解析】试题分析：(1)依据抛物线的定义直接求解；(2)借助题设条件建立目标函数运用导数求解.试题解析:（1）由题意可知圆心到1,0的距离等于到直线1x 的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：24yx。4 分（2）解法一：由题意，可设l的方程为yxm，其中05m由方程组24yxmyx，消去y，得22240 xmxm当05m时，方程的判别式2224416 10mmm成立。设1122,M x yN xy，则2121242 ,xxm xxm，6 分21214 22kxMxNm又因为点A到直线l的距离为52mdS=322 51291525Smmmmm。9 分令 3291525 05f mmmmm， 231815315 , 05fmmmmmm所以函数 f m在0,1上单调递增，在1,5上单调递减。当1m 时， f m有最大值 32，11 分故当直线l的方程为1yx时，AMN的最大面积为8 2。12 分解法二：由题意，可设l与x轴相交于,0B m，l的方程为xym，其中05m由方程组24xymyx，消去x，得2440yym直线l与抛物线有两个不同交点M、N，方程的判别式241616 10mm必成立，设1122,M x yN xy则121244yyyym ，。6 分S= 2121212115|5422Smyymyyy y322 51291525mmmmm。9 分令 3291525, 05f mmmmm， 231815315 , 05fmmmmmm所以函数 f m在0,1上单调递增，在1,5上单调递减.当1m 时， f m有最大值 32，1 1 分故当直线l的方程为1yx时，AMN的最大面积为8 2。12 分考点：直线与抛物线的位置关系等有关知识的运用【易错点晴】平面解析几何是高考的重要内容之一,也是高考的难点之一.解答这类问题的关键是运算求解能力不过关和灵活运用数学知识和思想方法不到位.解答本题的第二问时,如何建立AMN的目标函数是解答好本题的难点和关键之所在.当建立出目标函数)(mf322 51291525mmmmm,在求解该函数的最大值时,又陷入了困境,这里运用导数的知识求出了当1m时,该三角形的面积最大,从而走出问题的瓶颈.21 （本小题满分 12 分）已知函数 2121 ln,2f xaxax g xxx（1）若函数 f x在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；（2）证明：若7aa ，则对于任意1212,1,x xxx，有12121f xf xg xg x 【答案】(1)1,0a ；(2)证明见解析.来源:学+科+网【解析】试题分析：(1)依据题设条件建立不等式分析探求；(2)借助题设条件运用转化化归的数学思想和导数知识推证.试题解析:（1）函数 2+1 lnlnfxaxax的定义域为0, 2+12+1aaxafxaxx，令 2+1m xaxa ，因为函数 yf x在定义域内为单调函数，说明 0fx或 0fx恒成立，2 分即 2+1m xaxa 的符号大于等于零或小于等于零恒成立，当0a 时， 20m x ， 0fx， yf x在定义域内为单调增函数；当0a 时， 2+1m xaxa 为减函数，只需 02+10ma，即1a ，不符合要求；当0a 时， 2+1m xaxa 为增函数，只需 02+10ma即可，即1a ，解得10a ，此时 yf x在定义域内为单调增函数；5 分综上所述1,0a 6 分解法二： 2211211 =axaxan xxaxx令 2121p xxaxa22(1)8(1)67(7)(1)0aaaaaa 即 21210p xxaxa在17a 恒成立说明 0n x，即 n x在1,上单调增加，10 分从而当211xx时，有 1122+f xg xf xg x成立，命题得证！12 分考点：导数在研究函数的单调性和不等式等方面的运用【易错点晴】本题以探求函数的单调性和不等式的推证为背景,考查的是导函数的与函数的单调性之间的关系的综合应用问题.解答本题的第一问时,依据题设条件直接建立含参数a的不等式,通过分类讨论将适合题设条件的参数的范围求出.第二问是不等式的证明问题,解答时充分借助题设条件,运用等价转化和化归的数学思想将其进行合理的转化,再运用导数的知识进行推证从而获证,整个求解过程充满了数学思想的利用.请考生在第请考生在第 2222、2323、2424 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. .解答时请解答时请写清题号写清题号. .22 （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，已知C点在O直径的延长线上，CA切O于A点，DC是ACB的平分线，交AE于F点，交AB于D点（1）求ADF的度数；（2）若ABAC，求:AC BC【答案】(1)045；(2)33.【解析】来源:ZXXK试题分析：(1)依据圆的弦切角与同弦所对的内角相等求解；(2)借助题设条件运用相似三角形求解.试题解析:（1）因为AC为O的切线，所以EACB，因为DC是ACB的平分线，所以DCBACD，所以ACDEACDCBB，即AFDADF，所以90DAE所以1180452ADFDAE（2）因为EACB，所以ACBACB，所以ACEBCA，所以ABAEBCAC，在ABC中，又因为ACAB ，所以30BACB ，ABERt中，3330tantanBABAEBCAC考点：圆的有关性质及运用23 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程12232xtyt（t为参数） ，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极半标方程为：4cos（l）直线l的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线l与曲线C交点的极坐标0,02【答案】(1)3 cossin2 30；(2)52, 2 3,36 .【解析】试题分析：(1)先将参数方程化为直角坐标,再将直角坐标化为极坐标；(2)先将极坐标方程化为直角坐标方程,求出交点坐标,再将直角坐标化为极坐标.试题解析:（1）将直线122:32xtlyt（t为参数）消去参数t，化为普通方程32 30 xy，2 分将cossinxy代入32 30 xy得3 cossin2 30。4 分（2）方法一：C的普通方程为2240 xyx。6 分由2232 3040 xyxyx解得：13xy 或33xy8 分所以l与C交点的极坐标分别为：52, 2 3,36 。10 分方法二：由3 cossin2 304cos，6 分得：sin 203，又因为0,028 分所以2=2 35=36或所以l与C交点的极坐标分别为：52, 2 3,36 。10 分考点：直角坐标与参数方程极坐标方程之间的关系及运用24 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数 2210 ,2f xxaxag xx（1）当1a 时，求不等式 f xg x的解集；（2）若 f xg x恒成立，求实数a的取值范围【答案】(1)203xx；(2)2a .来源:【解析】试题分析：(1)运用分类整合的数学思想分类去绝对值求解；(2)借助题设条件将)(xf转化为分段函数来分类求解.（2）2212xaxx，转化为22120 xaxx，令 2212h xxaxx，因为0a ，所以 153,2111,2231,2xaxh xxaxaxax ，8 分在0a 下易得 min12ah x，令102a ，得2a 。10 分考点：绝对值不等式的有关知识及运用
