数学分析试题及答案000342.pdf
欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!数 学 分 析 试 题 及 答 案 7(总 8 页)-本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!2(二十一)数学分析期终考试题 一 叙述题:(每小题 5 分,共 15 分)1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题:(每小题 7 分,共 35 分)1、9131dxxx 2、求)0()(222babbyx绕x轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数nnnxn12)11(的收敛半径和收敛域 4、11lim222200yxyxyx 5、22),(yzxyxzyxf,l为从点P0(2,-1,2)到点(-1,1,2)的方向,求fl(P0)三 讨论与验证题:(每小题 10 分,共 30 分)1、已知0,0001sin)(),(222222yxyxyxyxyxf,验证函数的偏导数在原点不连续,但它在该点可微 2、讨论级数12211lnnnn的敛散性。3、讨论函数项级数 1,1)1(11xnxnxnnn的一致收敛性。四 证明题:(每小题 10 分,共 20 分)1 若adxxf)(收敛,且f(x)在a,+)上一致连续函数,则有0)(limxfx 2 设二元函数),(yxf在开集2RD 内对于变量x是连续的,对于变量y满足 Lipschitz 条件:),(),(yyLyxfyxf其中LDyxyx,),(),(为常数证明),(yxf在D内连续。欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!3 参考答案 一、1、若集合 S 中的每个点都是它的内点,则称集合 S 为开集;若集合 S中包含了它的所有的聚点,则称集合 S 为闭集。2 设函数项级数1)(nnxu满足(1)),2,1)(nxun在a,b连续可导 a)1)(nnxu在a,b点态收敛于)(xS b)1)(nxun在a,b一致收敛于)(x 则)(xS=1)(nnxu在a,b 可导,且11)()(nnnnxudxdxudxd 3、有界函数)(xf在a,b上可积的充分必要条件是,对于任意分法,当0)(max1inix时 Darboux 大和与 Darboux 小和的极限相等 二、1、令31xt(2 分)7468)1(312033913dtttdxxx(5 分)2、222221,xabyxaby,(2 分)所求的体积为:badxyyaa2222212)((5 分)3、解:由于ennnnnnnn1)111(1)111()11(lim(11收敛半径为e1(4分),当ex1时,)(01)1()1()11(2nennnn,所以收敛域为)1,1(ee(3 分)4、2)11(lim)11)(11()11)(lim11lim22002222222200222200yxyxyxyxyxyxyxyxyxyx(7 分)欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!4 5、解:设极坐标方程为4)2,1,2(.0)2,1,2(,2)2,1,2(zyxfff(4分)136)2,1,2(lf(3 分)三、1、解、000)1cos11(sin22222222222yxyxyxyxyxxfx(4 分)由于22221cos1yxyx当趋于(0,0)无极限。所以不连续,同理可的yf也不连续,(2 分)2、解:11211lnlim222nnnn(5 分)1212nn收敛,所以原级数收敛(5 分)3、解:部分和1)(1nxxxSnn(3 分),,0 取1N,Nn 时有nnxxxSnn11)(1,所以级数一致收敛(7 分)四、证明题(每小题 10 分,共 20 分)1、证明:用反证法 若结论不成立,则XxaX00,.,0,使得00)(xf,(3 分)又因为在f(x)在a,)上一致连续函数,axx 0,),1,0(,只要0 xx,有2)()(0 xfxf,(3 分)于是1,00AXaA令,取上述使00)(xf的点,0Xx,不妨设0)(0 xf,则对任意满足00 xx的x,有022)()(000 xfxf取 A 和 A分别等于200 x和200 x,则002)(AAdxxf有,由 Cauchy收敛定理,adxxf)(不收敛,矛盾(4 分)2、证明:Dyx),(00,由 Lipschitz条件),(),(),(),(),(),(000000yxfyxfyxfyxfyxfyxf欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!5),(),(0000yxfyxfyyL(1),(6 分)又由二元函数),(yxf在开集2RD 内对于变量x是连续的,(1)式的极限为 0,),(yxf在),(00yx连续,因此),(yxf在D内连续(4 分)(二十二)数学分析期末考试题 一 叙述题:(每小题 5 分,共 15 分)1 Darboux 和 2 无穷限反常积分的 Cauchy 收敛原理 3 Euclid 空间 二 计算题:(每小题 7 分,共 35 分)1、nnnn!lim 2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积 2222xyxy 3、dxxeInxn0(n是非负整数)4、设fxyzzyxfu),(222具有二阶连续偏导数,求xzu2 5、求xexf)(的幂级数展开式 三 讨论与验证题:(每小题 10 分,共 20 分)1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对肯定的结论任选一进行证明;对否定的结论,给出反例 2、讨论级数)0(cos1xnnxnp的绝对和条件收敛性。四 证明题:(每小题 10 分,共 30 分)1 f(x)在0,+)上连续且恒有f(x)0,证明xxdttfdtttfxg00)()()(在0,+)上单调增加 2 设正项级数1nnx收敛,nx单调减少,证明0limnnnx 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!6 3 yxyyxf2),(,证明:),(lim00yxfyx不存在 参考答案 一、1、有界函数)(xf定义在,ba上,给一种分法P,bxxxan10和记,),(inf,),(sup11iiiiiixxxfmxxxfM,则niiiniiixmPSxMPS11)(,)(分别称为相应于分法P的 Darboux大和和Darboux小和。2、aN.0使得Nnm,成立nmdxxf)(3、nR向量空间上定义内积运算nnyxyx11yx,构成Euclid空间 二、1、由于1ln1lnlim)ln)ln(1lim!lnlim1011xdxnninninnnninninnn(7 分)2、解:两曲线的交点为(2,2),(0,0),(2 分)所求的面积为:34)22(202dxxx(5 分)3、解:dxxeInxn0=0|xnex+dxxennx01=1nnIdxxenx10+dxxenx1(6 分)!nIn(1 分)4、:xu=212yzfxf(3 分))2()2(22221212112xyfzfyzyfxyfzfxxzu(4 分)5、解:由于余项)(0)!1()(1nxnexrnxn,(3 分)所以!212nxxxenx(4 分)欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!7 三、1、解、可微必可偏导和连续,证明可看课本 133 页(4 分),可偏导不一定连续和可微例子可看课本 135 页(6 分)2、解:当1p时,级数绝对收敛,(4 分)当10 p,由 Dirichlet 定理知级数收敛,但ppppnnxnnnxnnx22cos21coscos2,所以1|cos|npnnx发散,即级数条件收敛(4 分),当0p时,级数的一般项不趋于0,所以级数不收敛(2分)四、证明题(每小题 10 分,共 30 分)1 证明:0)()()()()()()()()()(2002000 xxxxxdttfdtttftxfxfdttfdtttfxfdttfxxfxg(8分)所以函数单调增加(2 分)2 证明:mnm,,有mnmxxxmn1)(由此得mnxmnnnx,(4分)由级数收敛,故0可取定0m使得0mx,又1lim0mnnn,故0n使得0nn 时,有2 mnn,(4 分)于是当0nn 时,有20nnx,得证(2分)3、证明:1lim),(lim200 xxxyxfxxyx21lim),(lim222002xxxyxfxxyx,所以),(lim00yxfyx不存在(10 分)(二十三)数学分析期末考试题 一 叙述题:(每小题 5 分,共 15 分)1 微积分基本公式 2 无穷项反常积分 3 紧几合 二 计算题:(每小题 7 分,共 35 分)1、11214042xdxtdtdxdx 2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!8 22xyxy 3、求1)2(nnxnn的收敛半径和收敛域 4、设yexeuzyz,求偏导数和全微分 5、xyxyyx11lim00 三 讨论与验证题:(每小题 10 分,共 30 分)1 讨论22222)(),(yxyxyxyxf的二重极限和二次极限 2 讨论epxxdx10ln的敛散性 3、讨论函数项)10()(1xxxxfnnn的一致收敛性。四 证明题:(每小题 10 分,共 20 分)1 设f(x)连续,证明dudxxfduuxufxux 000)()(2 证明)(22yxyu满足uyxyuxxuy 参考答案 一、1、设)(xf在,ba连续,)(xF是)(xf在,ba上的一个原函数,则成立)()()(aFbFdxxfba。2、设函数)(xf在),a有定义,且在任意有限区间,Aa上可积。若极限AaAdxxf)(lim存在,则称反常积分收敛,否则称反常积分发散 3、如果S的任意一个开覆盖 U中总存在一个有限子覆盖,即存在 U中的有限个开集 kiiU1,满足SUiki1,则称S为紧集 二、1、11214042xdxtdtdxdx=8041212xxtdtdxdx(7 分)欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!9 2、解:两曲线的交点为(-2,4),(1,1),(2 分)所求的面积为:29)2(122dxxx(5 分)3 :1)2(limnnnn,收敛半径为 1(4 分),由于1x时,级数不收敛,所以级数的收敛域为(-1,1)(3 分)4:xu=yzeyu=1yzxzezu=zyzexye(4 分)dzexyedyxzedxeduzyzyzyz)()1((3 分)5、解:21)11()11)(11(lim11lim0000 xyxyxyxyxyxyyxyx(7 分)三、1、解、由于沿kxy 趋于(0,0)时,1110)(lim22222)0,0(),(kkyxyxyxkxx,所以重极限不存在(5 分)0)(limlim,0)(limlim22222002222200yxyxyxyxyxyxxyyx,(5 分)2:10 p,由于)0(0ln121xxxxpp故epxxdx10ln收敛(4 分);1p,由于)(ln121xxxxpp(4 分)故epxxdx10ln收敛,1p,exxdx10ln,发散(2 分)。3、)(0)(limxfxfnn(3 分),0)11()1(limsuplim)()(suplim1nnnnxxxfxfnnnnxnnn,所以函数列一致收敛(7 分)四、证明题(每小题 10 分,共 20 分)1 证明:dudxxfxu 00)(=xxxxuduuufduufxduuufdxxfu00000)()()()(=xduuxuf0)((10 分)欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!10 2、证明:)(222yxxyxu,)(2)(22222yxyyxyu(6 分)uyxyxxyuxxuy)(22(4 分)