概率论2_2.ppt
二、随机变量方差的概念及性质二、随机变量方差的概念及性质三、重要概率分布的期望与方差三、重要概率分布的期望与方差2.5随机变量的数字特征随机变量的数字特征一、随机变量期望的概念及性质一、随机变量期望的概念及性质 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了数字特征就够了.一、随机变量期望的概念及性质一、随机变量期望的概念及性质 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的字特征是重要的.在这些数字特征中，最常用的是在这些数字特征中，最常用的是数学期望数学期望、方差、协方差和相关系数方差、协方差和相关系数引例引例分赌本问题分赌本问题(产生背景产生背景)A,B 两人赌技相同两人赌技相同,各出赌金各出赌金100元元,并约并约定先胜三局者为胜定先胜三局者为胜,取得全部取得全部 200 元元.由于出现意由于出现意外情况外情况,在在 A 胜胜 2 局局 B 胜胜1 局时局时,不得不终止赌不得不终止赌博博,如果要分赌金如果要分赌金,该如何分配才算公平该如何分配才算公平?A 胜胜 2 局局 B 胜胜 1 局局前三局前三局:后二局后二局:把已赌过的三局把已赌过的三局(A 胜胜2局局B 胜胜1局局)与上述结果与上述结果相结合相结合,即即 A、B 赌完五局赌完五局,A 胜胜B 胜胜分析分析 假设继续赌两局假设继续赌两局,则结果有以下四种情况则结果有以下四种情况:A AA B B AB BA AA B B AB B 因此因此,A 能能“期望期望”得到的数目应为得到的数目应为 而而B 能能“期望期望”得到的数目得到的数目,则为则为故有故有,在赌技相同的情况下在赌技相同的情况下,A,B 最终获胜的最终获胜的可能性大小之比为可能性大小之比为即即A 应获得赌金的应获得赌金的 而而 B 只能获得赌金的只能获得赌金的 因而因而A期望所得的赌金即为期望所得的赌金即为X的的“期望期望”值值,等于等于X 的可能值与其概率之积的累加的可能值与其概率之积的累加.即为即为若设随机变量若设随机变量 X 为为:在在 A 胜胜2局局B 胜胜1局的前提局的前提下下,继续赌下去继续赌下去 A 最终所得的赌金最终所得的赌金.则则X 所取可能值为所取可能值为:其概率分别为其概率分别为:1.定义定义（一）（一）离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 分赌本问题分赌本问题A 期望所得的赌金即为期望所得的赌金即为 X 的数学期望的数学期望解解所以平均一次输大约所以平均一次输大约0.67元，长期赌下去元，长期赌下去将输得更多。将输得更多。2、例题例题假设玩掷骰子赌博游戏，每掷一次骰子赌本假设玩掷骰子赌博游戏，每掷一次骰子赌本2元；元；如出现如出现6点，则赌博公司还你赌本，并再给你点，则赌博公司还你赌本，并再给你6元，元，否则否则2元赌本扣下，求每赌一次，平均可以赢多少？元赌本扣下，求每赌一次，平均可以赢多少？例例1 1 长期赌博问题长期赌博问题试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?例例2 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手甲射手甲射手解解故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.例例3 发行彩票的创收利润发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票某一彩票中心发行彩票 10万张万张,每张每张2元元.设设头等奖头等奖1个个,奖金奖金 1万元万元,二等奖二等奖2个个,奖金各奖金各 5 千元千元;三等奖三等奖 10个个,奖金各奖金各1千元千元;四等奖四等奖100个个,奖金各奖金各100元元;五等奖五等奖1000个个,奖金各奖金各10 元元.每张彩票的成每张彩票的成本费为本费为 0.3 元元,请计算彩票发行单位的创收利润请计算彩票发行单位的创收利润.解解设每张彩票中奖的数额为随机变量设每张彩票中奖的数额为随机变量X,则则每张彩票平均可赚每张彩票平均可赚每张彩票平均能得到奖金每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为万张彩票的创收利润为例例4 如何确定投资决策方向如何确定投资决策方向?某人有某人有10万元现金，想投资于某万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为项目，预估成功的机会为 30%，可得，可得利润利润8万元万元，失败的机会为失败的机会为70%，将，将损失损失 2 万元若存入银行，同期间的万元若存入银行，同期间的利率为利率为5%，问是否作此项投资，问是否作此项投资?解解设设 X 为投资利润，则为投资利润，则存入银行的利息存入银行的利息:故应选择投资故应选择投资.要成功,先发疯,头脑简单向前冲!例例5商店的销售策略商店的销售策略解解实例实例6分组验血分组验血解解 保险公司设立汽车盗窃险，经统计调查，一保险公司设立汽车盗窃险，经统计调查，一年内汽车的失窃率为年内汽车的失窃率为p。参保者交保险费。参保者交保险费a元，若元，若汽车被盗，公司赔偿汽车被盗，公司赔偿b元。元。b应如何定才能使公司应如何定才能使公司期望获益？若有期望获益？若有N个人参保，公司可期望获益多个人参保，公司可期望获益多少？少？解解用用X表示公司从每个参保者身上获得的收益。表示公司从每个参保者身上获得的收益。课堂练习课堂练习当当ba/p时，公司可期望获益。时，公司可期望获益。保险公司按以上策略经营，很可能破产！保险公司按以上策略经营，很可能破产！若有若有N个人参保，公司可期望获益个人参保，公司可期望获益有两种原因：有两种原因：(1)投保者是相对不安全地区的车主。投保者是相对不安全地区的车主。信息不对称信息不对称(2)投保者会放松对车的看管。投保者会放松对车的看管。道德风险道德风险它们使投保者中车辆的失窃率它们使投保者中车辆的失窃率p大大提高。大大提高。（二）连续随机变量的数学期望（二）连续随机变量的数学期望1、定义、定义解解因此因此,顾客平均等待顾客平均等待5分钟就可得到服务分钟就可得到服务.例例7 7 顾客平均等待多长时间顾客平均等待多长时间?设顾客在某银行的窗口等待服务的时间设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计以分计)服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间试求顾客等待服务的平均时间?例例8 柯西分布柯西分布其数学期望不存在。其数学期望不存在。29关于数学期望关于数学期望 E(X)：数学期望数学期望 E(X)的物理解释是的物理解释是重心重心 数学期望的理论意义：数学期望的理论意义：消除随机性的主要手段消除随机性的主要手段.数学期望的应用意义：作为数学期望的应用意义：作为 X 分布的代表（分布的代表（一种统计一种统计指标指标），参与同类指标的比较），参与同类指标的比较.30 课堂练习课堂练习 气体分子运动速度的绝对值服从气体分子运动速度的绝对值服从Maxwell分布，其密度函数为分布，其密度函数为求求E(X)。31 32（三）随机变量函数的数学期望（三）随机变量函数的数学期望 设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计算的的分布，我们需要计算的不是不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期望，比如的某个函数的期望，比如说说g(X)的期望的期望.那么应该如何计算呢？那么应该如何计算呢？一种方法是，因为一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布的分布求出来求出来.一旦我们知道了一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按的分布，就可以按照期望的定义把照期望的定义把Eg(X)计算出来计算出来.使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的的分布，一般是比较复杂的.33 若若 Y=g(X),且且则有则有离散型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望连续型随机变量函数的数学期望连续型随机变量函数的数学期望若若 X 是连续型的是连续型的,它的分布密度为它的分布密度为p(x),则则34 设随机变量设随机变量 X 的分布律为的分布律为例例9解解35 解解例例103637因此有因此有38例例1139例例1240解解 由题设由题设于是于是即有即有41因而因而4243 课堂练习课堂练习 某种商品每周内的需求量某种商品每周内的需求量X服从服从10,30上的均上的均匀分布，商店进货数量为匀分布，商店进货数量为10,30中的某一整数。已中的某一整数。已知商店每销售一件可获利知商店每销售一件可获利500元。若供大于求则作元。若供大于求则作销价处理，每处理一件亏损销价处理，每处理一件亏损100元；若供不应求则元；若供不应求则从别处调剂供应，此时售出一件只获利从别处调剂供应，此时售出一件只获利300元。为元。为使商店利润最大，试确定最佳进货量。使商店利润最大，试确定最佳进货量。解解 设商店进货设商店进货y件。件。这里所说的利润最大，隐含了平均利润最大的这里所说的利润最大，隐含了平均利润最大的意思。意思。44 平均利润为平均利润为45（四）期望的性质（四）期望的性质1.设设 C 是常数是常数,则有则有46由性质由性质2和性质和性质3易得易得471.概念的引入概念的引入例例1 1 有两批灯泡有两批灯泡,其平均寿命都是其平均寿命都是 E(X)=1000小时小时.二、随机变量方差的概念及性质二、随机变量方差的概念及性质 你认为哪批灯泡质量好一些呢？你认为哪批灯泡质量好一些呢？较好较好因为第一批灯泡的寿命集中在均值附近因为第一批灯泡的寿命集中在均值附近48例例2 甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，发炮弹，其落点距目标的位置如图：其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.中心中心中心中心49 由此可见由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的是十分必要的.那么那么,用怎样的量去度量这个偏离用怎样的量去度量这个偏离程度呢程度呢?容易看到容易看到这个数字特征就是这个数字特征就是方差方差 能度量随机变量与其均值能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度.但由于上式带有绝对值但由于上式带有绝对值,运算不方便运算不方便,通常用量通常用量来度量随机变量来度量随机变量X与其均值与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度.502.方差的定义方差的定义51方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分取值分散程度的量散程度的量.3.方差的意义方差的意义 如果如果 D(X)值大值大,表示表示 X 取值分散程度大取值分散程度大,E(X)的代表性差的代表性差;而如果而如果 D(X)值小值小,则表示则表示X 的取值比较集的取值比较集中中,以以 E(X)作为随机变量的代表性好作为随机变量的代表性好.52离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差4.随机变量方差的计算随机变量方差的计算 (1)利用定义计算利用定义计算 53证明证明(2)利用公式计算利用公式计算54证明证明5.方差的性质方差的性质(1)设设 C 是常数是常数,则有则有(2)设设 X 是一个随机变量是一个随机变量,C 是常数是常数,则有则有证明证明55 证明证明56解解6.例题讲解例题讲解例例157于是于是58解解例例259例例3 该如何确定投资方向？该如何确定投资方向？解：先考察平均收益解：先考察平均收益60 从平均收益看，投资房地产较好，但还应结从平均收益看，投资房地产较好，但还应结合方差考虑。合方差考虑。虽然投资房地产的平均收益比开商店稍高，但方虽然投资房地产的平均收益比开商店稍高，但方差却大得多，说明这种收益很不稳定，所以应投差却大得多，说明这种收益很不稳定，所以应投资开商店。资开商店。61解解例例46263解解例例56465课堂练习课堂练习 一枚硬币连抛一枚硬币连抛5次，计算正面出现次数次，计算正面出现次数X的的期望和方差。期望和方差。解解661.两点分布两点分布 已知随机变量已知随机变量 X 的分布律为的分布律为则有则有三、重要概率分布的期望与方差三、重要概率分布的期望与方差672.二项分布二项分布 则有则有 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为 n,p 二项分布二项分布,其分布律为其分布律为68即在即在n重贝努里试验中，成重贝努里试验中，成功出现的平均次数为功出现的平均次数为np。6970713.泊松分布泊松分布 则有则有72所以所以734.均匀分布均匀分布则有则有74结论结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点均匀分布的数学期望位于区间的中点.755.指数分布指数分布 则有则有76776.正态分布正态分布则有则有78798081五、课堂练习五、课堂练习1、设随机变量、设随机变量X服从几何分布，概率分布为服从几何分布，概率分布为PX=k=p(1-p)k-1,k=1,2,其中其中0p1,求求E(X),D(X)821、解：解：记记 q=1-p83842、解、解85分布分布参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布862.7.1 k 阶矩阶矩2.7.2 变异系数变异系数2.7分布的其它特征数分布的其它特征数2.7.3 分位数分位数2.7.4 中位数中位数2.7.5 偏度系数偏度系数2.7.6 峰度系数峰度系数872.7.1 k 阶阶矩矩1.定义定义882.说明说明 892.7.2 变异系数变异系数1.定义定义2.说明说明 902.7.3 分位数分位数1.定义定义912.说明说明 xp(x)p(a)下侧下侧 p 分位数分位数xp(x)(b)上侧上侧 p 分位数分位数p922.7.4 中位数中位数1.定义定义9300.5x2.说明说明 xP(x)0.5 0.5(2).中位数和均值都是位置特征数；中位数和均值都是位置特征数；但在某些场合，可能中位数比均值更能说明问题但在某些场合，可能中位数比均值更能说明问题随机变量的均值可能不存在，但中位数总存在随机变量的均值可能不存在，但中位数总存在均值受极端值影响，但中位数不受极端值影响均值受极端值影响，但中位数不受极端值影响942.7.5 偏度系数偏度系数1.定义定义2.说明说明 952.7.6 峰度系数峰度系数1.定义定义2.说明说明 96
