向量数组矩阵行列式.ppt

向量及向量运算n n数域F中的n个数a1,a2,an构成的有序数组，称为数域F上的一个n元向量(n维向量维向量)，记做：a=(a1,a2,an),其中ai称作a的第i个分量。数域F上全体n元向量组成的集合记做Fnn n向量加法：a+b=(a1+b1,a2+b2,an+bn)n n数乘：ka=(ka1,ka2,kan)n na+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c);a+0n=a;a+(-a)=0n;1a=a;k(la)=(kl)a;k(a+b)=ka+kb;(k+l)a=ka+la;0a=0n;k0n=0n;ka=0n,则k=0,或a=0n;a+x=b,则x=b-a有唯一解线性相关与线性无关n n如果对m个向量1,2,m Fn，有m个不全为零的数k1,k2,kn F，使 k11,+k22,+,kmm=0n 成立，则称1,2,m线性相关；否则称线性无关n n向量组1,2,m(m2)线性相关的充要条件是1,2,m中至少有一个向量可以用其余m1个向量线性表示向量组的秩和极大线性无关组n n如果向量组1,2,s中存在r个线性无关的向量，且其中任一个向量可由这r个线性无关的向量线性表示，则数r称为向量组的秩向量组的秩，记做r1,2,sn n等价于：若向量组存在r个线性无关的向量，且任何r1个向量都线性相关，就称r为向量组的秩n n秩为r的向量组中含有r个向量的线性无关组，称为该向量组的极大线性无关组数组n n数组是指由一组实数或复数排成的长方形阵列（array）。可以是一维的行或列，也可以是二维的矩形，还可以是三维的若干同维矩阵的堆叠，甚至更高的维数。n n数组运算是指：无论在数组上施加什么运算（或函数），总认定该种运算对被运算数组中的每个元素（element）平等地实施同样地操作。矩阵的定义n n定义定义1 1：数域：数域F F中中mm n n个数个数a aij ij(i(i=1,2,m;j=1,2,n)=1,2,m;j=1,2,n)排成排成mm行行n n列，并括以圆括弧（或方括弧）的数表列，并括以圆括弧（或方括弧）的数表称为数域称为数域F F上的上的mm n n矩阵，通常用大写字母记做矩阵，通常用大写字母记做A A或或A Amm n n，有时也记做，有时也记做A A=(=(a aij ij)mm n n。n n定义定义2 2：矩阵就是由：矩阵就是由 线性方程组的系数所构成的数线性方程组的系数所构成的数表。方程组的系数及常数所构成的数表称为增广矩表。方程组的系数及常数所构成的数表称为增广矩阵。阵。矩阵的定义n n元素全为元素全为0 0的矩阵成为零矩阵；的矩阵成为零矩阵；m=nm=n时称时称n n阶方阵；阶方阵；若两个矩阵若两个矩阵A A、B B的行列数相等，且各对应元素也的行列数相等，且各对应元素也相等，称相等，称A=BA=Bn n当线性方程组的常数项为当线性方程组的常数项为0 0时，称时，称齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组；否则称否则称非齐次线性方程组非齐次线性方程组非齐次线性方程组非齐次线性方程组。方程组中含有矛盾方。方程组中含有矛盾方程而无解时，称为程而无解时，称为不相容方程组不相容方程组不相容方程组不相容方程组。有解的方程组。有解的方程组称为称为相容方程组相容方程组相容方程组相容方程组。如果满足其他方程的解都满足。如果满足其他方程的解都满足某一方程，则该方程称为某一方程，则该方程称为多余方程多余方程多余方程多余方程。矩阵与行列式的区别n n行列式是一个算式，经过计算可以求值；矩阵为数表。n n有时也算n阶方阵的行列式，记做|A|或detA。方阵A和方阵A的行列式概念不同。n n当detA=0时（此时A不一定为零矩阵），称A为奇异矩阵；当detA0时，称A为非奇异矩阵。行列式n n行列式的概念是在求解方程个数与未知量个数相同行列式的概念是在求解方程个数与未知量个数相同的一次方程组时提出来的：由的一次方程组时提出来的：由n n2 2个数个数a aij ij(i(i,j=1,2,n)j=1,2,n)组成的组成的n n阶行列式阶行列式D D是一个算式。当n1时，D=|a11|；当n2时，定义 D=a11A11+a12A12+a1nA1n其中 A1j(-1)1+jM1j 称为a1j的代数余子式（简记作 ）行列式的性质n n行列式的行与列按原顺序互换，其值不变行列式的行与列按原顺序互换，其值不变n n行列式对任一行按下式展开，其值不变：行列式对任一行按下式展开，其值不变：(i=1,2,n)(i=1,2,n)，其中其中 A Aij ij(-1)(-1)i+ji+jMMij ij 称为称为a aij ij的代数余子式的代数余子式行列式的性质n n线性性质线性性质:(1):(1)(2)(2)n n某行元素全为零的行列式其值为零某行元素全为零的行列式其值为零行列式的性质n n行列式中两行对应元素成比例，其值为零；行列式中两行对应元素成比例，其值为零；n n行列式两行对换，其值反号行列式两行对换，其值反号n n行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零，即式之和等于零，即a ai1i1A Aj1j1+a+ai2i2A Aj2j2+a aininA Ajnjn 0(0(ijij)n n线性非齐次方程组的系数行列式不为零，则方程组线性非齐次方程组的系数行列式不为零，则方程组有维一解：有维一解：x xj jD Dj j/D/D。其中，。其中，DjDj为用常数项替换为用常数项替换D D中中第第j j列系数所成的行列式。列系数所成的行列式。n n线性齐次方程组有非零解的必要条件是其系数行列线性齐次方程组有非零解的必要条件是其系数行列式为零式为零特殊矩阵n n主对角元全为主对角元全为1 1，其余元素为，其余元素为0 0的的n n阶矩阵，称为阶矩阵，称为n n阶阶单位矩阵单位矩阵单位矩阵单位矩阵（单位阵），记为（单位阵），记为I In n或或I I或或E E。主对角元。主对角元全为非零数全为非零数k k，其余全为，其余全为0 0的的n n阶矩阵，称为阶矩阵，称为n n阶阶数数数数量矩阵量矩阵量矩阵量矩阵，记为，记为kIkIn n或或kIkI或或kEkE。n n非主对角元皆为非主对角元皆为0 0的的n n阶矩阵称为阶矩阵称为n n阶阶对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵（简（简称对角阵）记做称对角阵）记做。n nn n阶方阵阶方阵A A=(=(a aij ij)n n n n，当，当i ijj时时 a aij ij=0(j=1,2,n-1)=0(j=1,2,n-1)的矩的矩阵称为阵称为上三角阵上三角阵上三角阵上三角阵；当当i ijj时时 a aij ij=0(j=2,3,n)=0(j=2,3,n)的矩阵的矩阵称为称为下三角阵下三角阵下三角阵下三角阵特殊矩阵n nn阶方阵，如果aij=aji(i,j=1,2,n)，称A为对称矩阵对称矩阵，A为对称矩阵的充要条件是(A(AT T)=A=A；如果 aij=-aji(i,j=1,2,n)，称A为反对称矩阵反对称矩阵，A为反对称矩阵的充要条件是(A(AT T)=-A=-An n对于矩阵A，如果存在矩阵B，使得AB=BA=I，就称A为可逆矩阵（简称A可逆），并称B是A的逆矩阵逆矩阵，记做A-1=B。（逆矩阵是唯一的，单位阵（逆矩阵是唯一的，单位阵I I的逆矩阵是其自身）的逆矩阵是其自身）特殊矩阵n nn n阶方阵阶方阵A=(A=(a aji ji)n n n n，设，设A Ai i,j j是行列式是行列式detAdetA中的元素中的元素a aji ji的代数余子式，称的代数余子式，称cofAcofA=(=(A Aji ji)n n n n为为A A的的代数余子式代数余子式代数余子式代数余子式矩阵矩阵矩阵矩阵，并称，并称cofAcofA的转置矩阵为的转置矩阵为A A的的伴随矩阵伴随矩阵伴随矩阵伴随矩阵，记做，记做adjAadjA或或A A*，即：，即：矩阵A可逆的充要条件是|A|0，且A-1=(1/|A|)A*；若n阶矩阵A,B满足AB=I，则BA=I，即A,B均可逆，且A,B互为逆矩阵矩阵的秩n n把矩阵A的每一行(列)称为A的一个行(列)向量，把A的行(列)向量组秩称为A的行(列)秩。n n矩阵A的行秩与列秩相等，称该数值为矩阵的秩，记做：秩(A)或r(A)。r(A)n的n阶矩阵也称满秩矩阵。n nn阶矩阵是满秩矩阵的充要条件是A为非奇异矩阵，即|A|0。矩阵的初等变换与初等矩阵n n矩阵的如下矩阵的如下3 3种行列变换称为初等变换：种行列变换称为初等变换：倍乘变换：倍乘变换：以非零的常数以非零的常数c c乘矩阵的某一行（列）；乘矩阵的某一行（列）；倍加变换：倍加变换：将矩阵的某一行（列）乘以常数将矩阵的某一行（列）乘以常数c c并加到另并加到另一行（列）；一行（列）；对换变换：对换变换：将矩阵的某两行对换位置。将矩阵的某两行对换位置。n n将将单位矩阵单位矩阵单位矩阵单位矩阵做一次初等变换所得到的矩阵称初等矩做一次初等变换所得到的矩阵称初等矩阵，对应以上阵，对应以上3 3种初等变换得到：初等倍乘矩阵；初种初等变换得到：初等倍乘矩阵；初等倍加矩阵；初等对换矩阵等倍加矩阵；初等对换矩阵n n可逆矩阵可逆矩阵A A可以表示为若干个初等矩阵的乘积可以表示为若干个初等矩阵的乘积n n对可逆矩阵对可逆矩阵A A和同阶单位阵和同阶单位阵I I做同样的初等行变换，做同样的初等行变换，当当A A变为单位阵时，变为单位阵时，I I就变为就变为A A1 1。矩阵的运算性质n n矩阵加法：A+B=(aij+bij)，满足A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。存在矩阵(-A),满足A+(-A)=0，称(-A)为A的负矩阵，且(-A)=(-aij)mn，即A中每个元素都乘-1。n n减法：A-B=A+(-B)n n数乘：数k乘矩阵A，需要把k乘矩阵的每一个元素。这与行列式完全不同。矩阵的运算性质n n矩阵乘法：设矩阵乘法：设A A是是mm n n矩阵，矩阵，B B是一个是一个n n s s矩阵，则矩阵，则A A与与B B的乘的乘积积ABAB（记做（记做C=(C=(c cij ij)）是一个）是一个mm s s矩阵，且满足：矩阵，且满足：c cij ij=a=ai1i1b b1j1j+a+ai2i2b b2j2j+a aininb bnjnj=n n矩阵矩阵A A与与B B可乘要求可乘要求A A的列数与的列数与B B的行数相等的行数相等n n(AB)C=A(BC);(AB)C=A(BC);k(ABk(AB)=()=(kA)BkA)B=A(kBA(kB);A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CA);A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CAn n矩阵乘法不满足交换率和消去率：矩阵乘法不满足交换率和消去率：1 1、ABBAABBA；2 2、AB=0AB=0不能推出不能推出A=0A=0或或B=0B=0，即，即A0 B0A0 B0可能可能AB=0AB=0，此时称此时称B B是是A A的右零因子（的右零因子（A A是是B B的左零因子）。一般的左零因子）。一般地，如果地，如果A A有非零的零因子，则其零因子不是唯一的有非零的零因子，则其零因子不是唯一的；3 3、若、若AB=ACAB=AC，不能推出，不能推出B=CB=C。只有当只有当A A为非奇异矩阵时，为非奇异矩阵时，AB=0AB=0时有时有B=0B=0；AB=ACAB=AC时有时有B=CB=C矩阵的运算性质n n设A,B是两个n阶矩阵，则乘积AB的行列式等于A和B的行列式的乘积，即|AB|=|A|B|n n把一个m*n矩阵的行列互换得到的一个n*m矩阵，称为A的转置矩阵，记做：AT或An n(A(AT T)T T=A;(A+B)=A;(A+B)T T=A AT T+B+BT T;(kA;(kAT T)=)=kAkAT T;(AB);(AB)T T=B BT TA AT Tn n(A-1)-1=A;(kA)-1=k-1A-1;(AB)-1=B-1A-1;(AT)-1=(A-1)T;det(A-1)=I/detA,即|A-1|=|A|-1矩阵的特征值和特征向量n n定义：设A为复数域C上的n阶矩阵，如果存在数C和非零的n维向量x，使得：Ax=x就称是矩阵A的特征值特征值，x是A的对应于特征值的特征向量特征向量。n n注意：特征向量x0；特征值问题是对方阵而言的。n nn n阶方阵阶方阵A A的特征值，就是使齐次线性方程组的特征值，就是使齐次线性方程组 (II-A A)x x=0 =0 有非零的有非零的 值值，即满足，即满足 detdet(II-A A)=0)=0的的都是都是A A的特征值。因此，特征值是的特征值。因此，特征值是的多项式的多项式 detdet(II-A A)的根的根矩阵的特征多项式和特征矩阵n n设设n n阶矩阵阶矩阵A=(A=(a aij ij)，则，则 f(f()=)=detdet(II-A A)=)=称为矩阵A的特征多项式，I-A称为A的特征矩阵n阶矩阵A的特征多项式是的n次多项式。特征多项式的k重根也称k重特征值。当n5时，特征多项式没有一般的求根公式，即使是三阶矩阵的特征多项式，一般也很难求根，所以求矩阵的特征值一般要采用近似计算的方法。特征值和特征向量性质、矩阵的迹n n若若x x1 1和和x x2 2都是都是A A的属于特征值的属于特征值0 0的特征向量，则的特征向量，则k k1 1x x1 1+k+k2 2x x2 2也是也是A A的属于的属于0 0的特征向量的特征向量(其中其中k k1 1,k,k2 2是任是任意常数，但意常数，但k k1 1x x1 1+k+k2 2x x2 2 0 0)n n设设n n阶矩阵阶矩阵A=(A=(aijaij)的的n n个特征值为个特征值为1 1,2 2,n n,则则其中 是A的主对角元之和，称为矩阵A的迹，记做tr(A).特征值和特征向量性质n n若若是矩阵是矩阵A A的特征值，的特征值，x x都是都是A A的属于特征值的属于特征值的的特征向量，则特征向量，则(1)k(1)k是是kAkA的特征值（的特征值（k k是任意常数）是任意常数）(2)(2)m m是是A Am m的特征值（的特征值（m m是正整数）是正整数）(3)(3)当当A A可逆时，可逆时，-1-1是是A A-1-1的特征值的特征值且且x x仍是矩阵仍是矩阵kA,AkA,Am m,A,A-1-1的分别对应于特征值的分别对应于特征值k k,m m,1/1/的特征向量的特征向量n n矩阵矩阵A A和和A AT T的特征值相同的特征值相同