材力02章-4拉压静不定问题.ppt
l1.1.1.1.轴向变形和虎克定律轴向变形和虎克定律轴向变形和虎克定律轴向变形和虎克定律 绝对变形绝对变形:l1P PP P 线应变线应变:（相对变形,无量纲）2-8 2-8 拉压杆的变形拉压杆的变形虎克定律：（力与变形的关系）（1）（2）(2)代入(1)EA 抗拉(压)刚度 E 弹性模量，常用GPa的单位（由实验测定）轴向变形微段变形微段变形累加的结果：累加的结果：变截面变轴力杆的拉压变形变截面变轴力杆的拉压变形 当杆内轴力随长度变化或者杆的横截面积不是常当杆内轴力随长度变化或者杆的横截面积不是常数，则应当先求数，则应当先求微段变形，然后将微段变形累加微段变形，然后将微段变形累加微段微段dxdx变形量：变形量：此公式更此公式更具有一般具有一般性，但是性，但是计算比较计算比较复杂。复杂。解解解解:dxdxx xd d1 1P Pd d2 2P Pl lD Dx xA Ax x例：例：例：例：求图示变截面杆的变形。求图示变截面杆的变形。阶梯杆的拉压变形阶梯杆的拉压变形将将阶梯阶梯阶梯阶梯直杆分成直杆分成mm段，对每一段，轴力和横截面积段，对每一段，轴力和横截面积均为常数，则等截面直杆公式适用。因此：均为常数，则等截面直杆公式适用。因此：注意：注意：m综合不同轴力和横截面积相交形成的最大分段数综合不同轴力和横截面积相交形成的最大分段数例1：钢质阶梯杆受两力作用。AC段横截面积A1=20mm2，CD段横截面积A2=10mm2。材料的弹性模量E=200GPa。试求：杆端D的伸长量l5N N(kN)(kN)101m0.5m1mBCD10KN15KNA分析：分析：（1）画轴力图）画轴力图（2）综合不同轴）综合不同轴力和横截面积相力和横截面积相交形成的最大分交形成的最大分段为段为3段段2.2.2.2.横向变形、泊松比横向变形、泊松比横向变形、泊松比横向变形、泊松比横向变形：横向应变：泊松比(Poissons ratio):（与 总是符号相反）bb1ll1P PP P材料名称材料名称E(GPa)碳碳 钢钢1962160.240.28合合 金金 钢钢1902200.240.33灰口铸铁灰口铸铁1151600.230.27铜及其合金铜及其合金731300.310.42铝铝 合合 金金700.33花岗石花岗石49石灰石石灰石42混凝土混凝土14360.160.18木材（顺纹）木材（顺纹）1012橡胶橡胶0.0080.47 表表1 几种常用材料的几种常用材料的E和和的数值的数值1.拉伸与压缩静不定问题概念拉伸与压缩静不定问题概念 所有的未知力均能由静所有的未知力均能由静力平衡方程确定的结构称为力平衡方程确定的结构称为静定结构静定结构。而仅仅用平衡方而仅仅用平衡方程不能求得所有的未知力的结构程不能求得所有的未知力的结构称为称为静不定结构静不定结构或或超静定结构超静定结构。静定结构静不定结构PP1232 210 10 拉伸与压缩静不定问题拉伸与压缩静不定问题P123P 因此，求解静不定问题，因此，求解静不定问题，因此，求解静不定问题，因此，求解静不定问题，1 1 1 1 除了根据静力平衡条件列出平衡除了根据静力平衡条件列出平衡除了根据静力平衡条件列出平衡除了根据静力平衡条件列出平衡 方程外；方程外；方程外；方程外；3 3 3 3 进而根据弹性范围内的力和变形进而根据弹性范围内的力和变形进而根据弹性范围内的力和变形进而根据弹性范围内的力和变形 之间关系（胡克定律），即物理之间关系（胡克定律），即物理之间关系（胡克定律），即物理之间关系（胡克定律），即物理 条件，建立补充方程。条件，建立补充方程。条件，建立补充方程。条件，建立补充方程。2 2 2 2 还必须在多余约束处寻找各构件还必须在多余约束处寻找各构件还必须在多余约束处寻找各构件还必须在多余约束处寻找各构件 变形之间的关系，或者构件各部变形之间的关系，或者构件各部变形之间的关系，或者构件各部变形之间的关系，或者构件各部 分变形之间的关系，这种变形之分变形之间的关系，这种变形之分变形之间的关系，这种变形之分变形之间的关系，这种变形之 间的关系称为间的关系称为间的关系称为间的关系称为变形协调关系变形协调关系变形协调关系变形协调关系或或或或变变变变 形协调条件形协调条件形协调条件形协调条件 (compatibility(compatibility relations of deformation)relations of deformation).P123解：列平衡方程解：列平衡方程PA(一次静不定)例例1 图示结构，三根杆的材料及横截面积为图示结构，三根杆的材料及横截面积为 试求三杆的轴力。试求三杆的轴力。找变形协调关系（几何方程）找变形协调关系（几何方程）123AA,DL3D DL2aa物理方程：物理方程：补充方程补充方程：将物理方程代入几何方程得补充方程将物理方程代入几何方程得补充方程P123变形协调关系（几何方程）变形协调关系（几何方程）平衡方程与补充方程联立求解平衡方程与补充方程联立求解PA 这个例题虽然是一个具体问题，但是其求解这个例题虽然是一个具体问题，但是其求解方法具有一般性，由此可归纳出：方法具有一般性，由此可归纳出：求解静不定问题的一般方法求解静不定问题的一般方法2.根据结构的约束条件画变形图根据结构的约束条件画变形图,找变形找变形协调关系协调关系,列列几何方程几何方程;3.由力与变形由力与变形(或温度与变形或温度与变形)的物理关系的物理关系,列列物理方程物理方程;4.联立几何方程与物理方程建立联立几何方程与物理方程建立补充方程补充方程;1.画受力图画受力图,列列平衡方程平衡方程,判断静不定次数判断静不定次数;5.补充方程与平衡方程联立解全部未知力补充方程与平衡方程联立解全部未知力.平衡方程平衡方程几何方程几何方程物理方程物理方程补充方程补充方程例1 求图示两端固定等直杆的约束反力PabBAP几何方程:物理方程:代入平衡方程解得:平衡方程:解：解：解除约束,以约束反力代替为得到变形协调方程，解除多余约束，代之以约束反力。分别考虑外力和多余约束反力产生的位移叠加。位移叠加。设B为多余约束。多余约束B处的实际位移必须为实际位移必须为0PBAlPBAlR解得:设杆的B段有初始间隙，求约束反力解：几何方程:设外力在B处的位移大于初始间隙B处的实际位移为初始间隙PBAlPBAlRPabBA物理方程:解得:例例2 2 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为1=160M Pa和2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2=10GPa；求许可载荷P。几何方程物理方程及补充方程：解：平衡方程:P1mPN 24N 1PyPy4N1N2250250 解平衡方程和补充方程，得:求结构的许可载荷：角钢面积由型钢表查得角钢面积由型钢表查得:A1 1=3.086=3.086cm2P1mP250250P1mP250250超静定结构的特点之一：超静定结构中杆件的内力按超静定结构的特点之一：超静定结构中杆件的内力按照杆件的刚度占总刚度的比例分配。即：杆的刚度越照杆件的刚度占总刚度的比例分配。即：杆的刚度越大，杆件承受的内力越大。大，杆件承受的内力越大。例例3 3：图示悬吊结构图示悬吊结构ABCABC梁刚性，各杆梁刚性，各杆EAEA相同，求各杆内力相同，求各杆内力解：解：1.平衡方程平衡方程2.几何方程几何方程PACBaal12l3.物理方程物理方程补充方程与平衡方程联立解得补充方程与平衡方程联立解得:温度应力和装配应力的概念温度应力和装配应力的概念1 1、制制造造误误差差引引起起的的应应力力称称为为装装配配应应力力。超超静静定定结结构构在在制制造造误误差差等等变变形形因因素素的的影影响响下下会会引引起起应力。应力。2 2、温温度度变变化化引引起起的的应应力力称称为为温温度度应应力力。超超静静定定结结构构在在温温度度变变化化外外界界因因素素的的影影响响下下会会引引起起应力。应力。一、一、温度应力温度应力 由于温度改变而在杆内引起的应力称为温度应力。由于温度改变而在杆内引起的应力称为温度应力。式中：式中：为材料的线膨胀系数。为材料的线膨胀系数。对于无约束的杆件，当温度变化为对于无约束的杆件，当温度变化为 时，杆时，杆件的变形为：件的变形为：RARBDLTRBDLR解：解：1.平衡方程平衡方程(共线力系共线力系)(一次静不定一次静不定)例例5：输热管道：输热管道AB长为长为L，横截面积横截面积A，材料的弹性摸，材料的弹性摸量量E，热膨胀系数为，热膨胀系数为，试试求：当温度升高求：当温度升高T(oC)时时管内的应力。管内的应力。ABLDLTRBDLR3.物理方程物理方程4.补充方程补充方程补充方程与平衡方程联立解得补充方程与平衡方程联立解得:5.温度应力温度应力2.几何方程几何方程例例6 6：图示悬吊结构图示悬吊结构ABAB梁刚性，各杆梁刚性，各杆EAEA相同，杆相同，杆3 3短短 求各杆装配应力求各杆装配应力aal123ABN1N2N3AB解：解：1.平衡方程平衡方程2.几何方程几何方程 在加工构件时，由于尺寸上的一些微小误差，对超静在加工构件时，由于尺寸上的一些微小误差，对超静定结构则会在构件内产生应力，这种应力称为装配应力。定结构则会在构件内产生应力，这种应力称为装配应力。二、二、装配应力装配应力3.物理方程物理方程4.补充方程补充方程补充方程与平衡方程联立解得补充方程与平衡方程联立解得:aal123ABN1N2N3ABPPPPPP应力集中：应力集中：理论应力集中系数理论应力集中系数弹性力学计算弹性力学计算实验测试（光弹性实验实验测试（光弹性实验）2-11 2-11 应力集中概念 由于结构或功能上的需要，使构件截面尺寸或形状发生突变引起的应力急剧增加的现象。引起的应力急剧增加的现象。对弹性体某一局部区域的外力系，若用静力等效的力系来代替；则力的作用点附近区域的应力分布将有显著改变，而对略远处其影响可忽略不计。圣文南圣文南(Saint-Venant)原理原理:如右图所示，根据现代力学分析方法（有限元计算方法或光弹性测试方法）的研究结果显示：由于在杆端外力作用的方式由于在杆端外力作用的方式不同，将会不同，将会对对杆端附近杆端附近处处各截面各截面的的应应力分布力分布产产生影响（生影响（应应力非均力非均匀分布），而匀分布），而对远对远离杆端的各个离杆端的各个截面，截面，影响甚小或根本没有影响。影响甚小或根本没有影响。本次作业本次作业2-42,2-43
