材料力学第四章_截面的几何性质.ppt
Geometrical Properties Geometrical Properties of An Area of An Area 拉伸：扭转：本次课主要内容本次课主要内容n静矩和形心n惯性矩和惯性半径n惯性积n平行移轴公式n转轴公式主惯性轴yzoyzoAzyC1.1.静矩静矩(一次矩一次矩)2.2.形心形心 I.1 I.1 静矩和形心静矩和形心结论：结论：1、Sz=0 z 轴是形心轴轴是形心轴2、对称轴必定是形心轴、对称轴必定是形心轴Cyzzoyz-y3.组合截面的静矩和形心组合截面的静矩和形心yzzoyA1A2An静矩静矩(yi,zi)试求图示曲线试求图示曲线下的面积下的面积OAB对于对于y轴的轴的静矩静矩Sy和形心位置和形心位置xcxyAobhBxdxdACxc解：解：【例题【例题 1】面积面积形心形心Cxcbh三角形三角形Cxcbh矩形矩形Cxcbh二次抛物线二次抛物线Cxcbh三次抛物线三次抛物线Cxcbh二次抛物线二次抛物线bxc2C2xchCC1xc1负面积法负面积法xyo1.惯性矩（二次轴矩）惯性矩（二次轴矩）惯性矩恒为正值惯性矩恒为正值2.惯性半径惯性半径 I.2 I.2 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径yzzoyAyzzoy 截截面面对对任任意意一一对对互互相相垂垂直直的的轴轴的的惯惯性性矩矩之之和和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。等于它对该两轴交点的极惯性矩。3.极惯性矩（二次极矩）极惯性矩（二次极矩）试计算图示矩试计算图示矩形对其对称轴的惯性矩。形对其对称轴的惯性矩。Cyzbhzdz解：解：【例题【例题 2】【例题【例题 3】试计算图示试计算图示圆形对其形心轴的惯性圆形对其形心轴的惯性矩和极惯性矩。矩和极惯性矩。解：解：yzDC d 4.组合截面的惯性矩和极惯性矩组合截面的惯性矩和极惯性矩yzzoyA1A2AnyzDdC【例题【例题 4】试计算图示圆环对其形心轴的惯性试计算图示圆环对其形心轴的惯性矩和极惯性矩。矩和极惯性矩。能否用同样的办法计算抗扭截面系数？惯性积可正、可负、可为零惯性积可正、可负、可为零 I.3 I.3 惯性积惯性积yzzoyA坐坐标标系系的的两两个个坐坐标标轴轴中中只只要要有有一一个个是是截截面面的的对称轴对称轴，则截面对该坐标系的惯性积等于零。，则截面对该坐标系的惯性积等于零。yzzoyz-y已知：已知：求：求：(a 和和 b 是截面的形心是截面的形心在在 oyz 坐标系中的坐标坐标系中的坐标)I.I.平行移轴公式平行移轴公式Cyzoabyczc其中：其中：Cyzozzcayycbyczc在一组平行坐标轴中，截面对形心轴的惯性矩为最小。在一组平行坐标轴中，截面对形心轴的惯性矩为最小。平行移轴公式：平行移轴公式：Cyzozzcayycbyczc已知：已知：解：解：Cyczcbhy求：求：【例题【例题 5】已知：已知：求：求：yzozz1yy1y1z1 I.5 I.5 转轴公式主惯性轴转轴公式主惯性轴1.定点转轴公式定点转轴公式yzozz1yy1y1z1转轴公式转轴公式yzozz1yy1y1z1定义：若截面对某对坐标轴的惯性积等于零，则这对坐标轴称为主惯性轴，简称为主轴。即：若即：若，则，则 y0,z0 是主轴。是主轴。令：令：得：得：可确定一对主轴可确定一对主轴y0,z0的方位的方位2.主惯性轴（主轴）主惯性轴（主轴）yzozz1yy1y1z1令：令：得：得：可见，可见，使惯性矩取极值的轴即为主轴。使惯性矩取极值的轴即为主轴。讨论讨论：主轴方向的惯性矩：主轴方向的惯性矩3.主惯性矩主惯性矩定义定义：截面对：截面对主轴的惯性矩称为主轴的惯性矩称为主惯性矩主惯性矩。由：由：得：得：将上式代入将上式代入得主惯性矩的计算公式：得主惯性矩的计算公式：显然：显然：主惯性矩的计算公式：主惯性矩的计算公式：yzozz1yy1y1z1定义定义：(1)通过形心的通过形心的主轴称为主轴称为主形心轴。主形心轴。(2)对主形心对主形心轴的惯性矩称为轴的惯性矩称为主形心惯性矩。主形心惯性矩。(3)由主形心轴和杆件轴线所确定的平面称由主形心轴和杆件轴线所确定的平面称为为主形心惯性平面。主形心惯性平面。显然显然：对称轴必定是：对称轴必定是主形心轴。主形心轴。4.主形心轴和主形心惯性矩主形心轴和主形心惯性矩证明证明：设通过截面：设通过截面 O 点的点的y、z 轴为主轴，轴为主轴，u、v 为另一对为另一对主轴，其中主轴，其中 o不是不是 /2 的整数倍，由转轴公式：的整数倍，由转轴公式：而：而：从而：从而：yzoz1y1vu【例例题题 5】试试证证明明下下列列定定理理：如如果果通通过过截截面面的的任任一一指指定定点点有有多多于于一一对对的的主主轴轴，那那么么通通过过该该点点的的所所有有轴轴都都是是主轴。主轴。故过点的任何一对正故过点的任何一对正交轴都是主轴，定理得证。交轴都是主轴，定理得证。若通过截面某点有三根（或三根以上）的若通过截面某点有三根（或三根以上）的对称轴，则通过该点的所有轴都是主轴。对称轴，则通过该点的所有轴都是主轴。正多边形有无数对主形心轴。正多边形有无数对主形心轴。cccccyzoz1y1vu推论：推论：解：解：1、建立参考坐标建立参考坐标系系，确定整个截，确定整个截面的形心位置面的形心位置8 cm12 cm1 cm1 cmzyo【例题【例题 6】求图求图示截面的主形心示截面的主形心惯性矩。惯性矩。8 cm12 cm1 cm1 cmzyocc1c2（yc，zc）计算形心坐标：8 cm12 cm1 cm1 cmzyozcyccc1c2zcyca1a2b1b2a1=-1.47b1=2.03a2=2.53b2=-3.47建立形心坐标系，计算形心坐标系中各部分形心坐标：2、计算对形心轴、计算对形心轴惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积8 cm12 cm1 cm1 cmzyozcyccc1c2a1a2b1b2a1=-1.47b1=2.03a2=2.53b2=-3.478 cm12 cm1 cm1 cmzyozcycc3、计算主形心轴、计算主形心轴和主形心惯性矩和主形心惯性矩8 cm12 cm1 cm1 cmzozcyccIyc=279 cm4Izc=100 cm4Iyczc=-97 cm4yozoyzyozcyccyozoIyc=279 cm4Izc=100 cm4Iyczc=-97 cm41、建建立立参参考考坐坐标标系系，确确定定整整个个截截面面的的形形心位置心位置 yc 和和 zc2、计计算算形形心心轴轴惯惯性性矩矩和和惯惯性性积积 Iyc、Izc、Iyczc(用平行轴公式用平行轴公式)3、计计算算主主形形心心轴轴 的的方方位位角角 0和和主主形形心心惯惯矩矩Iy0、Iz0 （用用转转轴公式）轴公式）小结小结求主形心惯矩步骤求主形心惯矩步骤zoIyc=279 cm4Izc=100 cm4Iyczc=-97 cm4cy0z0yzcyc（yc，zc）课后练课后练习习作业：4-7,4-8 思考：已已知知任任意意截截面面图图形形的的面面积积为为A，对对其其形形心心C点点的的极极惯惯性性矩矩为为IPC，当当图图形形对对某某点点(x,y)的的极极惯惯性性矩矩 IP 2 IPC 时时，求求该该点点的轨迹方程。的轨迹方程。yzoAC
