01 概率论基础.ppt

管理统计学管理统计学2010年1 概率论基础1.1 事件与概率事件与概率1.2 概率的基本性质概率的基本性质1.3 条件概率与事件独立性条件概率与事件独立性1.4 随机变量及其分布随机变量及其分布1.1 事件与概率自然界和人类社会生产实践中的两类现象确定性现象：具有确定结果的现象确定性现象：具有确定结果的现象确定性现象：具有确定结果的现象确定性现象：具有确定结果的现象不确定性现象不确定性现象不确定性现象不确定性现象/随机现象：在基本条件不变的情随机现象：在基本条件不变的情随机现象：在基本条件不变的情随机现象：在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果，况下，一系列试验或观察会得到不同的结果，况下，一系列试验或观察会得到不同的结果，况下，一系列试验或观察会得到不同的结果，并且在每次试验或观察之前不能预知会出现哪并且在每次试验或观察之前不能预知会出现哪并且在每次试验或观察之前不能预知会出现哪并且在每次试验或观察之前不能预知会出现哪种结果种结果种结果种结果概率论研究的对象随机现象例1.1 生活中的随机现象生活中随机现象的例子抛掷一颗骰子，出现的点数抛掷一颗骰子，出现的点数抛掷一颗骰子，出现的点数抛掷一颗骰子，出现的点数一天内进入某超市的顾客数一天内进入某超市的顾客数一天内进入某超市的顾客数一天内进入某超市的顾客数某一生产线生产出的灯泡的寿命某一生产线生产出的灯泡的寿命某一生产线生产出的灯泡的寿命某一生产线生产出的灯泡的寿命某批产品的不合格率某批产品的不合格率某批产品的不合格率某批产品的不合格率1.1.1 随机试验与随机事件随机试验：满足以下三个特点的试验试验可以在相同的条件下重复进行试验可以在相同的条件下重复进行试验可以在相同的条件下重复进行试验可以在相同的条件下重复进行试验有多种可能的结果，并且事先可以明确所试验有多种可能的结果，并且事先可以明确所试验有多种可能的结果，并且事先可以明确所试验有多种可能的结果，并且事先可以明确所有可能出现的结果有可能出现的结果有可能出现的结果有可能出现的结果试验完成之前不能预知会出现哪一个的结果试验完成之前不能预知会出现哪一个的结果试验完成之前不能预知会出现哪一个的结果试验完成之前不能预知会出现哪一个的结果样本空间()：一个随机试验的所有可能结果的集合样本点()：试验的每一个可能结果例1.2 随机现象的样本空间试列出例1.1中随机现象的样本空间掷一颗骰子的样本空间：掷一颗骰子的样本空间：掷一颗骰子的样本空间：掷一颗骰子的样本空间：1 1=1 1,2 2,6 6，其中，其中，其中，其中 i i表示出现表示出现表示出现表示出现i i点，点，点，点，i=1,2,6i=1,2,6。也即掷一颗。也即掷一颗。也即掷一颗。也即掷一颗骰子的样本空间为：骰子的样本空间为：骰子的样本空间为：骰子的样本空间为：1 1=1=1,2 2,66一天内进入某超市顾客数的样本空间：一天内进入某超市顾客数的样本空间：一天内进入某超市顾客数的样本空间：一天内进入某超市顾客数的样本空间：2 2=0,1,2,=0,1,2,，其中，其中，其中，其中0 0表示一天内无人光顾表示一天内无人光顾表示一天内无人光顾表示一天内无人光顾某生产线生产出灯泡的寿命的样本空间：某生产线生产出灯泡的寿命的样本空间：某生产线生产出灯泡的寿命的样本空间：某生产线生产出灯泡的寿命的样本空间：3 3=t|t0=t|t0产品的不合格率一定是介于产品的不合格率一定是介于产品的不合格率一定是介于产品的不合格率一定是介于0 0与与与与1 1之间的一个实之间的一个实之间的一个实之间的一个实数，因此其样本空间：数，因此其样本空间：数，因此其样本空间：数，因此其样本空间：4 4=y|0y1=y|0y1随机事件随机事件随机事件/事件事件(A,B,C)(A,B,C)：样本空间：样本空间的某个子的某个子集集事件事件A A发生：发生：当且仅当当且仅当事件事件A A所包含的某一样本点所包含的某一样本点出现出现随机事件的几个概念随机事件的几个概念 基本事件：仅包含一个样本点的随机事件基本事件：仅包含一个样本点的随机事件 例如，例如，例如，例如，掷一颗均匀的骰子掷一颗均匀的骰子掷一颗均匀的骰子掷一颗均匀的骰子，事件，事件，事件，事件B“B“掷出掷出掷出掷出2 2点点点点”复合事件：包含多个样本点的随机事件复合事件：包含多个样本点的随机事件 例如，例如，例如，例如，掷一颗均匀的骰子掷一颗均匀的骰子掷一颗均匀的骰子掷一颗均匀的骰子，事件，事件，事件，事件C“C“出现偶数点出现偶数点出现偶数点出现偶数点”必然事件必然事件()：包含全部样本点的随机事件：包含全部样本点的随机事件 例如，例如，例如，例如，掷一颗均匀的骰子掷一颗均匀的骰子掷一颗均匀的骰子掷一颗均匀的骰子，事件，事件，事件，事件D“D“点数小于点数小于点数小于点数小于7”7”不可能事件不可能事件()：不包含任何样本点的随机事件：不包含任何样本点的随机事件 例如，例如，例如，例如，掷一颗均匀的骰子掷一颗均匀的骰子掷一颗均匀的骰子掷一颗均匀的骰子，事件，事件，事件，事件E“E“点数大于点数大于点数大于点数大于6”6”1.1.2 事件的关系及运算文氏图文氏图 展示在不同事物群组（集合）之间的数学或逻辑联系展示在不同事物群组（集合）之间的数学或逻辑联系展示在不同事物群组（集合）之间的数学或逻辑联系展示在不同事物群组（集合）之间的数学或逻辑联系 用一个长方形表示样本空间用一个长方形表示样本空间用一个长方形表示样本空间用一个长方形表示样本空间，用其中的一个圆或其他，用其中的一个圆或其他，用其中的一个圆或其他，用其中的一个圆或其他图形表示随机事件图形表示随机事件图形表示随机事件图形表示随机事件A A(1)事件之间的关系（待续）事件的包含A A包含于包含于包含于包含于B/B/事件事件事件事件A A发生必然导致发生必然导致发生必然导致发生必然导致事件事件事件事件B B发生发生发生发生 A包含于B事件之间的关系（续）事件的相等事件的相等 A A与与与与B B相等相等相等相等/A=B/A=B 事件事件事件事件A A发生必然导致事件发生必然导致事件发生必然导致事件发生必然导致事件B B发生，同发生，同发生，同发生，同时事件发生必然导致事件时事件发生必然导致事件时事件发生必然导致事件时事件发生必然导致事件A A发生发生发生发生事件的互不相容事件的互不相容 A A与与与与B B互不相容互不相容互不相容互不相容事件事件事件事件A A与事件与事件与事件与事件B B不可能同时发生不可能同时发生不可能同时发生不可能同时发生 A=B A与B互不相容(2)事件的运算（待续）事件的并事件的并 A A与与与与B B的并的并的并的并/A/AB B 属于事件属于事件属于事件属于事件A A或或或或B B的所有样本点构成的的所有样本点构成的的所有样本点构成的的所有样本点构成的集合集合集合集合 事件的交事件的交 A A与与与与B B的交的交的交的交/AB/AB/AB/AB 同时属于事件同时属于事件同时属于事件同时属于事件A A和和和和B B的所有样本点的所有样本点的所有样本点的所有样本点构成的集合构成的集合构成的集合构成的集合 ABAB事件的运算（续）事件的差事件的差 A A与与与与B B的差的差的差的差/A-B/A-B 属于事件属于事件属于事件属于事件A A、不属于事件、不属于事件、不属于事件、不属于事件B B的所有样的所有样的所有样的所有样本点构成的集合本点构成的集合本点构成的集合本点构成的集合 事件的对立（逆）事件的对立（逆）A A的对立（逆）的对立（逆）的对立（逆）的对立（逆）/样本空间中不属于事件样本空间中不属于事件样本空间中不属于事件样本空间中不属于事件A A的所有的所有的所有的所有样本点构成的集合样本点构成的集合样本点构成的集合样本点构成的集合 A-B例1.3 产品抽样检查 已知一批外形无差别的产品已知一批外形无差别的产品中有中有3 3件次品，现随机地从件次品，现随机地从这批产品中依次抽取这批产品中依次抽取3 3件，件，分别以分别以A A、B B、C C代表第一次、代表第一次、第二次、第三次抽到次品第二次、第三次抽到次品 试表示试表示三次都抽到次品三次都抽到次品只有第一次抽到次品只有第一次抽到次品三次都没有抽到次品三次都没有抽到次品至少抽到一件次品至少抽到一件次品最多抽到一件次品最多抽到一件次品最多抽到两件次品最多抽到两件次品 解：解：三次都抽到次品：三次都抽到次品：只有第一次抽到次品：只有第一次抽到次品：三次都没有抽到次品：三次都没有抽到次品：至少抽到一件次品：至少抽到一件次品：最多抽到一件次品，即最多抽到一件次品，即A A，B B，C C中只有一个发生或中只有一个发生或A A，B B，C C全不发生：全不发生：最多抽到两件次品，即是最多抽到两件次品，即是A A，B B，C C全发生的对立事全发生的对立事件：件：(3)事件运算的性质事件运算遵循的法则交换率：交换率：交换率：交换率：，结合率：结合率：结合率：结合率：，分配率：分配率：分配率：分配率：对偶率（德莫根公式）：对偶率（德莫根公式）：对偶率（德莫根公式）：对偶率（德莫根公式）：1.1.3 事件的概率概率：随机事件发生的可能性的量度 常用常用常用常用P(A)P(A)表示随机事件表示随机事件表示随机事件表示随机事件A A发生的可能性大小发生的可能性大小发生的可能性大小发生的可能性大小 (1)概率的统计定义（待续）频率：FN(A)=n/N，其中n为事件A发生的次数，N为试验总次数频率的性质非负性：非负性：非负性：非负性：F FN N(A)0(A)0规范性：规范性：规范性：规范性：F FN N()=1()=1 可加性：若可加性：若可加性：若可加性：若A A、B B互不相容，则互不相容，则互不相容，则互不相容，则F FN N(A AB B)=)=F FN N(A)(A)F FN N(B B)概率的统计定义（续）频率稳定性：在相同条件下进行的多次重复试验，频率稳定性：在相同条件下进行的多次重复试验，随着试验重复次数随着试验重复次数N N的增加，随机事件的增加，随机事件A A的频率的频率F FN N(A)(A)会在某一固定的常数会在某一固定的常数a a附近摆动，这个固定附近摆动，这个固定的常数的常数a a就是我们所说的概率就是我们所说的概率试验者试验者抛硬币次数抛硬币次数出现正面次数出现正面次数出现正面频率出现正面频率德摩根德摩根20482048106110610.51810.5181蒲丰蒲丰40404040204820480.50690.5069费勒费勒1000010000497949790.49790.4979皮尔逊皮尔逊1200012000601960190.50160.5016皮尔逊皮尔逊240002400012012120120.50050.5005历史上抛硬币试验的若干结果(2)概率的古典定义古典概型：具有以下两个基本特点的概率模型古典概型：具有以下两个基本特点的概率模型 试验具有有限个可能出现的结果试验具有有限个可能出现的结果试验具有有限个可能出现的结果试验具有有限个可能出现的结果 试验的每个基本事件出现的可能性都是相等的试验的每个基本事件出现的可能性都是相等的试验的每个基本事件出现的可能性都是相等的试验的每个基本事件出现的可能性都是相等的古典概型中基本事件古典概型中基本事件 的概率（假定样本空间的概率（假定样本空间=1 1，2 2，n n ）古典概型中随机事件古典概型中随机事件A A的概率的概率 其中，事件其中，事件A A包含样本点又称为包含样本点又称为A A的的“有利场合有利场合”例1.4 摸球模型已知袋中有已知袋中有5 5个白球、个白球、3 3个黑球，从中任取两个个黑球，从中任取两个求取到的两个球颜色不求取到的两个球颜色不同的概率同的概率解：解：从从8 8个球中任取个球中任取2 2个有个有 种种不同的取法，记不同的取法，记“取到的取到的2 2个球颜色不同个球颜色不同”为事件为事件A A，则事件，则事件A A包含的样本包含的样本点数为点数为 ，故取到两个，故取到两个不同颜色球的概率为不同颜色球的概率为摸球模型在实际问题中摸球模型在实际问题中的应用的应用 将将“白球白球”、“黑球黑球”替换为替换为“正品正品”、“次次品品”，就可以用来求解，就可以用来求解产品质量抽样检查问题产品质量抽样检查问题 向口袋中加入其他颜色向口袋中加入其他颜色的球，可以描述具有更的球，可以描述具有更多等级的产品抽样问题，多等级的产品抽样问题，如将产品分为一等品、如将产品分为一等品、二等品、三等品、等外二等品、三等品、等外品的产品抽样检查问题品的产品抽样检查问题(3)概率的几何定义几何概型：设在空间上有一区域，随机地向内投掷一点M，满足MM落在区域落在区域落在区域落在区域内的任意位置的内的任意位置的内的任意位置的内的任意位置的概率概率概率概率都是相等的都是相等的都是相等的都是相等的 MM落在区域落在区域落在区域落在区域的任何部分区域的任何部分区域的任何部分区域的任何部分区域g g内的概率只与内的概率只与内的概率只与内的概率只与g g的测度（长度、面积、体积等）成正比，并且的测度（长度、面积、体积等）成正比，并且的测度（长度、面积、体积等）成正比，并且的测度（长度、面积、体积等）成正比，并且与与与与g g的位置和形状无关的位置和形状无关的位置和形状无关的位置和形状无关几何概型中随机事件Ag的概率 例1.5 会面问题已知甲、乙两人约定在已知甲、乙两人约定在6 6到到7 7时间在某处会面，并约时间在某处会面，并约定先到者应等候另一人定先到者应等候另一人2020分钟，过时即可离去分钟，过时即可离去求两人能会面的概率求两人能会面的概率解：解：以甲到达的时刻为以甲到达的时刻为x x轴，以乙到达的轴，以乙到达的时刻为时刻为y y轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系 坐标平面（坐标平面（x x，y y）的所有可能结果）的所有可能结果为图中所示边长为为图中所示边长为6060的正方形，由此的正方形，由此得到样本空间得到样本空间 的测度为的测度为S S=60=602 2 如果两人能够会面，需要满足条件如果两人能够会面，需要满足条件|x-y|20|x-y|20，即图中的，即图中的阴影部分，其面积为阴影部分，其面积为S Sg g=60=602 2-40-402 2，故两人能会面的概率为，故两人能会面的概率为(4)主观概率主观概率：对于一些不能重复的或不能大量重复的现象，根据个人的经验对随机事件发生的可能性进行估计得出的概率 例如气象预报例如气象预报例如气象预报例如气象预报“今天夜间多云有阵雨，降水概今天夜间多云有阵雨，降水概今天夜间多云有阵雨，降水概今天夜间多云有阵雨，降水概率率率率60%”60%”，外科医生认为某患者，外科医生认为某患者，外科医生认为某患者，外科医生认为某患者“手术成功的手术成功的手术成功的手术成功的可能性为可能性为可能性为可能性为90%”90%”1.2 概率的基本性质根据概率的公理化定义，有性质性质性质性质1 1（非负性）：对于任意事件（非负性）：对于任意事件（非负性）：对于任意事件（非负性）：对于任意事件A A，有，有，有，有P(A)0 P(A)0 性质性质性质性质2 2（规范性）：必然事件（规范性）：必然事件（规范性）：必然事件（规范性）：必然事件的概率为的概率为的概率为的概率为1 1，即，即，即，即P(P()=1)=1 性质性质性质性质3 3（可列可加性）：对于可列个两两互不相（可列可加性）：对于可列个两两互不相（可列可加性）：对于可列个两两互不相（可列可加性）：对于可列个两两互不相容事件容事件容事件容事件A A1 1，A A2 2，有，有，有，有P(AP(A1 1A A2 2)=P(A)=P(A1 1)P(AP(A2 2)P(AP(An n)公理导出性质（待续）根据性质1、2、3，有性质性质性质性质4 4：不可能事件：不可能事件：不可能事件：不可能事件的概率为的概率为的概率为的概率为0 0，即，即，即，即P(P()=0)=0 性质性质性质性质5 5（有限可加性）：对于任意（有限可加性）：对于任意（有限可加性）：对于任意（有限可加性）：对于任意n n个事件个事件个事件个事件A A1 1,A,A2 2,A,An n，若，若，若，若A Ai iA Aj j=（i,ji,j=1,2,n=1,2,n；ijij），），），），则则则则P(AP(A1 1A A2 2A An n)=P(A)=P(A1 1)+P(A)+P(A2 2)+)+P(AP(An n)性质性质性质性质6 6：对于任意事件：对于任意事件：对于任意事件：对于任意事件A A，有，有，有，有P()=1-P(A)P()=1-P(A)公理导出性质（续）性质性质7 7：对于任意事件：对于任意事件A A和和B B，若，若ABAB，则，则P(A-B)=P(A)-P(B)P(A-B)=P(A)-P(B)性质性质8 8（减法公式）（减法公式）：对于任意事件对于任意事件A A和和B B，有，有P(A-B)=P(A)-P(AB)P(A-B)=P(A)-P(AB)性质性质9 9（加法公式）（加法公式）对于任意事件对于任意事件A A和和B B，有，有P(AP(AB)=P(A)B)=P(A)P(B)-P(AB)P(B)-P(AB)性质性质1010（一般加法公式）（一般加法公式）对任意对任意n n个事件个事件A A1 1，A A2 2，A An n，有，有例1.6 职工代表已知某班组有男工已知某班组有男工7 7人、女工人、女工4 4人，现要选出人，现要选出3 3个代表个代表求求3 3个代表中至少有一个女工的概率个代表中至少有一个女工的概率解法解法1 1：样本空间包含的全部样本点数为样本空间包含的全部样本点数为 ，以，以A A记记“3 3个代表中个代表中至少有一个女工至少有一个女工”，A Ai i记记“3 3个代表中有个代表中有i i个女工个女工”(i=1,2,3)(i=1,2,3)，则，则A=AA=A1 1A A2 2A A3 3，故所求概率为，故所求概率为解法解法2 2：将将“3 3个代表中至少有一个女工个代表中至少有一个女工”记为事件记为事件A A，则，则 =“3=“3个个代表全部为男工代表全部为男工”，而，而 ，根据性质，根据性质6 6可求得可求得 例1.7 电子刊物订阅已知某学校向学生发行两种电子刊物已知某学校向学生发行两种电子刊物A A和和B B，且该，且该校学生中订阅刊物校学生中订阅刊物A A的占的占65%65%，订阅刊物，订阅刊物B B的占的占50%50%，同时订阅刊物，同时订阅刊物A A和和B B的占的占30%30%求：从该学校学生中随机地抽取一名，该学生订阅求：从该学校学生中随机地抽取一名，该学生订阅电子刊物的概率电子刊物的概率解：解：若以若以A A记记“学生订阅刊物学生订阅刊物A”A”，以，以B B记记“学生订阅学生订阅刊物刊物B”B”，则学生订阅电子刊物为事件，则学生订阅电子刊物为事件A AB B。根。根据概率的加法公式，学生订阅电子刊物的概率为据概率的加法公式，学生订阅电子刊物的概率为P(AP(AB)=P(A)B)=P(A)P(B)-P(AB)=0.65P(B)-P(AB)=0.650.5-0.3=0.85 0.5-0.3=0.85 例1.8 匹配问题 已知某人写好已知某人写好n n封信，又写封信，又写好好n n只信封，然后在黑暗中只信封，然后在黑暗中把每封信放入一只信封中把每封信放入一只信封中 求至少有一封信与信封匹求至少有一封信与信封匹配的概率配的概率 解：解：若以若以A Ai i记第记第i i封信与信封封信与信封匹配，则所求事件为匹配，则所求事件为A A1 1A A2 2A An n，因此，因此，根据一般加法公式有根据一般加法公式有 因此有因此有1.3 条件概率与事件独立性1.3.1 条件概率与乘法公式1.3.2 事件独立性1.3.3 全概率公式1.3.4 贝叶斯公式1.3.1 条件概率与乘法公式条件概率：P(A|B)表示事件B发生的条件下事件A发生的概率条件概率公式：，其中A、B为任意两个事件，且P(B)0 例1.9 员工升职问题 某公司有某公司有12001200名员工名员工(包括包括男性男性960960人，女性人，女性240240人人)，过去的三年里员工提升情况过去的三年里员工提升情况见表中数据见表中数据 试计算试计算若一个员工为男性，则其若一个员工为男性，则其得到提升的概率得到提升的概率 若一个员工为女性，则其若一个员工为女性，则其得到提升的概率得到提升的概率 解：解：根据题意，分别以根据题意，分别以MM记记“某某员工为男性员工为男性”、WW记记“某员某员工为女性工为女性”，以，以A A记记“某员某员工得到提升工得到提升”，由表中数据，由表中数据有有 P(M)=960/1200=0.80P(M)=960/1200=0.80P(W)=240/1200=0.20P(W)=240/1200=0.20P(MA)=288/1200=0.24P(MA)=288/1200=0.24P(WA)=36/1200=0.03P(WA)=36/1200=0.03若一个员工为男性，则其得若一个员工为男性，则其得到提升的概率为到提升的概率为若一个员工为女性，则其得若一个员工为女性，则其得到提升的概率到提升的概率男性男性女性女性合计合计升职人数升职人数2882883636324324未升职人数未升职人数672672204204876876合计合计96096024024012001200员工提升情况表 条件概率的性质（待续）性质性质1 1：对于任意事件：对于任意事件A A和和B B，有，有P(A|B)0P(A|B)0性质性质2 2：在事件：在事件B B发生的条件下，必然事件发生的条件下，必然事件 发生发生的概率为的概率为1 1，即，即P(|B)=1P(|B)=1性质性质3 3：对于可列个两两互不相容事件：对于可列个两两互不相容事件A A1 1,A,A2 2,，以及任意事件以及任意事件B B，有，有 性质性质4 4：对于任意事件：对于任意事件B B，有，有P(P(|B)=0|B)=0条件概率的性质（续）性质性质5 5：对于任意：对于任意n n个两两互不相容事件个两两互不相容事件A A1 1,A,A2 2,A,An n，有，有 P(AP(A1 1A A2 2A An n)=P(A)=P(A1 1)P(AP(A2 2)P(AP(An n)性质性质6 6：对于任意事件：对于任意事件A A和和B B，有，有P(A|B)=1-P(|B)P(A|B)=1-P(|B)性质性质7 7：对于任意事件：对于任意事件A A1 1，A A2 2和和B B，有，有P(AP(A1 1A A2 2)|B=P(A)|B=P(A1 1|B)|B)P(AP(A2 2|B)-P(A|B)-P(A1 1A A2 2|B)|B)特别地，当特别地，当B=B=时，条件概率转化为无条件的一时，条件概率转化为无条件的一般概率般概率 乘法公式乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)乘法公式的推广：当P(A1A2An)0时，有 P(AP(A1 1A A2 2AAn n)=P(A)=P(A1 1)P(A)P(A2 2|A|A1 1)P(A)P(A3 3|A|A1 1A A2 2)P(A)P(An n|A|A1 1A A2 2AAn-1n-1)例1.10 零件出售“假一赔十”已知：商店出售某零件已知：商店出售某零件 每箱装这种零件每箱装这种零件100100件，件，且包括且包括4 4件次品件次品 假一赔十：顾客买一箱假一赔十：顾客买一箱零件，如果随机取零件，如果随机取1 1件发件发现是次品，商店立刻用现是次品，商店立刻用1010件合格品取代其放入件合格品取代其放入箱中箱中 某顾客在一个箱子中先某顾客在一个箱子中先后取了后取了3 3件进行测试件进行测试求这求这3 3件都不是合格品件都不是合格品的概率的概率 解：解：以以A Ai i记记“顾客在第顾客在第i i次取到次取到不合格品不合格品”(i=1,2,3)(i=1,2,3)，则有则有 根据乘法公式可知，顾客根据乘法公式可知，顾客取出的取出的3 3件都不是合格品件都不是合格品的概率为的概率为1.3.2 事件独立性相互独立事件：对于任意事件A和B，如果有P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立/A与B独立相互独立事件的性质 性质性质性质性质1 1 若事件若事件若事件若事件A A与与与与B B相互独立，则相互独立，则相互独立，则相互独立，则P(B|A)=P(B)P(B|A)=P(B)性质性质性质性质2 2 若事件若事件若事件若事件A A与与与与B B相互独立，则相互独立，则相互独立，则相互独立，则 与与与与B B、A A与与与与 、与与与与 均独立均独立均独立均独立 例1.11 射击问题已知甲、乙二人独立地向同一目标射击，其命中率已知甲、乙二人独立地向同一目标射击，其命中率分别为分别为0.60.6和和0.70.7求目标被射中的概率求目标被射中的概率 解：解：根据题意，以根据题意，以A A记记“甲射中目标甲射中目标”，以，以B B记记“乙射中乙射中目标目标”，以，以C C记记“目标被射中目标被射中”，因此有，因此有C=AC=AB B。由于事件由于事件A A和和B B是相互独立的，故目标被射中的概率是相互独立的，故目标被射中的概率为为 P(C)=P(AP(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.7-0.60.7=0.88=0.6+0.7-0.60.7=0.88 也可以先考虑也可以先考虑C C的对立事件，显然有的对立事件，显然有 P(C)=1-P()=1-P()=1-P()=1-P()P()P(C)=1-P()=1-P()=1-P()=1-P()P()=1-(1-0.6)(1-0.3)=0.88=1-(1-0.6)(1-0.3)=0.88 1.3.3 全概率公式完备事件组：若A1,A2,An两两互斥，且A1A2An=，则称A1,A2,An是样本空间的一个完备事件组全概率公式：，其中A1,A2,An是样本空间的一个完备事件组，P(Ai)0 例1.12 零件加工 已知某车间有甲、乙、丙三已知某车间有甲、乙、丙三条生产线加工一批零件，各条生产线加工一批零件，各生产线的产量分别占总产量生产线的产量分别占总产量的的40%40%、35%35%和和25%25%，且这三，且这三条生产线加工该零件的次品条生产线加工该零件的次品率分别为率分别为2%2%、4%4%和和5%5%求从这批零件中任意取出一求从这批零件中任意取出一个零件是次品的概率个零件是次品的概率 解：解：分别以分别以A A1 1、A A2 2、A A3 3记零件来记零件来自甲、乙、丙生产线，以自甲、乙、丙生产线，以B B记记“取出次品取出次品”，显然，显然A A1 1，A A2 2，A A3 3构成这一随机取样试构成这一随机取样试验样本空间验样本空间 的完备事件组的完备事件组由已知条件可知由已知条件可知P(AP(A1 1)=0.40)=0.40P(AP(A2 2)=0.35)=0.35P(AP(A3 3)=0.25)=0.25P(B|AP(B|A1 1)=0.02)=0.02P(B|AP(B|A2 2)=0.04)=0.04P(B|AP(B|A3 3)=0.05)=0.05根据全概率公式，取出次根据全概率公式，取出次品的概率为品的概率为P(B)=P(AP(B)=P(A1 1)P(B|A)P(B|A1 1)P(AP(A2 2)P(B|A)P(B|A2 2)P(AP(A3 3)P(B|A)P(B|A3 3)=0.400.02)=0.400.020.350.040.350.040.250.05=0.03450.250.05=0.03451.3.4 贝叶斯公式贝叶斯公式：，其中A1,A2,An是样本空间的一个完备事件组，P(B)0，P(Ai)0 例1.13 零件加工 在例在例1.121.12中，如果取出的中，如果取出的零件是次品，分别求这个零件是次品，分别求这个零件是由甲、乙、丙生产零件是由甲、乙、丙生产线加工的概率线加工的概率 解：解：分别以分别以A A1 1、A A2 2、A A3 3记取出记取出的零件来自甲、乙、丙生的零件来自甲、乙、丙生产线，以产线，以B B记记“取出次品取出次品”，则根据例，则根据例1.121.12，有，有 根据贝叶斯公式，可以得根据贝叶斯公式，可以得到到1.4 随机变量及其分布1.4.1 随机变量及其分布函数1.4.2 随机变量的数字特征1.4.3 常用的离散型分布1.4.4 常用的连续型分布1.4.1 随机变量及其函数分布随机现象的结果数量形式的，例如掷一颗骰子可能出现的点数数量形式的，例如掷一颗骰子可能出现的点数数量形式的，例如掷一颗骰子可能出现的点数数量形式的，例如掷一颗骰子可能出现的点数 非数量形式的，例如抛一枚硬币的结果非数量形式的，例如抛一枚硬币的结果非数量形式的，例如抛一枚硬币的结果非数量形式的，例如抛一枚硬币的结果随机现象数量化的表现随机变量(1)随机变量与分布函数随机变量(X,Y,Z)：定义在样本空间上的取值为实数的函数，满足中每一个点，即每个基本事件都有实轴上的点与之对应 离散型随机变量：所有可能取值都能逐个列举出来离散型随机变量：所有可能取值都能逐个列举出来离散型随机变量：所有可能取值都能逐个列举出来离散型随机变量：所有可能取值都能逐个列举出来 连续型随机变量：取值不能逐个列举，而是充满数连续型随机变量：取值不能逐个列举，而是充满数连续型随机变量：取值不能逐个列举，而是充满数连续型随机变量：取值不能逐个列举，而是充满数轴上的某一区间轴上的某一区间轴上的某一区间轴上的某一区间 分布函数：F(x)=P(Xx)，分布函数F(x)在x处的函数值就表示随机变量X落在区间(-,x上的概率(2)离散型随机变量及其分布离散型随机变量的分布列：pi=P(X=xi)，其中xi为离散型随机变量X的所有可能取值，i=1,2,n,分布列的表格形式离散型随机变量的分布函数：离散型随机变量的分布函数：X Xx x1 1x x2 2x xn nP Pp(xp(x1 1)p(xp(x2 2)p(xp(xn n)离散型随机变量的分布列分布列的性质分布列的性质：非负性：非负性：非负性：非负性：p pi i0 0 正则性：正则性：正则性：正则性：对于任意实数对于任意实数对于任意实数对于任意实数a a、b(ab(ab)b)，有，有，有，有 例1.14 骰子点数之和 掷两颗骰子，以掷两颗骰子，以X X记出现的点数之和记出现的点数之和 求求X X的分布列的分布列 解：解：掷两颗骰子，可能出现的点数的组合为掷两颗骰子，可能出现的点数的组合为(1,1)(1,1)，(1,2)(1,2)，(1,3)(1,3)，(1,4)(1,4)，(1,5)(1,5)，(1,6)(1,6)(2,1)(2,1)，(2,2)(2,2)，(2,3)(2,3)，(2,4)(2,4)，(2,5)(2,5)，(2,6)(2,6)(3,1)(3,1)，(3,2)(3,2)，(3,3)(3,3)，(3,4)(3,4)，(3,5)(3,5)，(3,6)(3,6)(4,1)(4,1)，(4,2)(4,2)，(4,3)(4,3)，(4,4)(4,4)，(4,5)(4,5)，(4,6)(4,6)(5,1)(5,1)，(5,2)(5,2)，(5,3)(5,3)，(5,4)(5,4)，(5,5)(5,5)，(5,6)(5,6)(6,1)(6,1)，(6,2)(6,2)，(6,3)(6,3)，(6,4)(6,4)，(6,5)(6,5)，(6,6)(6,6)计算可得计算可得X X的分布列为的分布列为表1-1 两颗骰子点数之和的分布列 X X2 23 34 45 56 67 78 89 9101011111212P P1/361/361/181/181/121/121/91/95/365/361/61/65/365/361/91/91/121/121/181/181/361/36例1.15 离散型随机变量的分布函数 设随机变量设随机变量X X的分布列为的分布列为 求求X X的分布函数的分布函数 解：解：根据分布列，得到根据分布列，得到X X的分的分布函数如下布函数如下 F(xF(x)的图形呈一条阶梯状的的图形呈一条阶梯状的曲线，且取值曲线，且取值1 1、2 2、3 3处为处为跳跃点，其跳跃度分别为跳跃点，其跳跃度分别为0.20.2、0.30.3、0.40.4X X1 12 23 3P P0.20.20.30.30.50.5(3)连续型随机变量及其分布连续型随机变量的分布函数：连续型随机变量的分布函数：其中，其中，p(xp(x)是实数轴上的非负可积函数，称为随机是实数轴上的非负可积函数，称为随机变量变量X X的概率密度函数的概率密度函数/密度函数密度函数 密度函数的性质：密度函数的性质：非负性：非负性：非负性：非负性：p(x)0 p(x)0 正则性：正则性：正则性：正则性：对于任意实数对于任意实数对于任意实数对于任意实数a a、b(ab(ab)b)，有，有，有，有 例1.16 随机变量的分布函数（待续）设连续型随机变量设连续型随机变量X X的密度函数为的密度函数为 求求X X的分布函数的分布函数F(xF(x)解：解：由分布函数的定义可得由分布函数的定义可得当当x-1x-1时，时，p(xp(x)=0)=0，所以，所以 随机变量的分布函数（续）当当-1x0-1x0时时当当0 x10 x1时时当当x1x1时时综上所述，综上所述，X X的分布函数为的分布函数为 1.4.2 随机变量的数字特征随机变量的数字特征：用来表示随机变量分布的某些重要特征的数字指标常用的数字特征：数学期望：随机变量所有可能取值的平均水平数学期望：随机变量所有可能取值的平均水平数学期望：随机变量所有可能取值的平均水平数学期望：随机变量所有可能取值的平均水平 方差和标准差：随机变量的取值相对平均水平方差和标准差：随机变量的取值相对平均水平方差和标准差：随机变量的取值相对平均水平方差和标准差：随机变量的取值相对平均水平的偏离程度的偏离程度的偏离程度的偏离程度 (1)数学期望数学期望(E(x)/)：随机变量所有可能取值的平均水平离散型随机变量的数学期望：离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量X X的数学期望，即的数学期望，即的数学期望，即的数学期望，即X X的所有可能取的所有可能取的所有可能取的所有可能取值为值为值为值为x x1 1,x,x2 2,x xn n关于权关于权关于权关于权p p1 1,p,p2 2,p pn n的加权平均的加权平均的加权平均的加权平均值值值值连续型随机变量的数学期望：数学期望的性质性质性质1 1 对于任意常数对于任意常数c c，有，有E(cE(c)=c )=c 性质性质2 2 对于任意随机变量对于任意随机变量X X和常数和常数a a、b b，有，有E(aX)=aE(X)E(aX)=aE(X)E(X+b)=E(X)+b E(X+b)=E(X)+b 性质性质3 3 对于任意随机变量对于任意随机变量X X和和Y Y，有，有E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)性质性质4 4 对于任意随机变量对于任意随机变量X X和和Y Y，若，若X X与与Y Y相互独相互独立，有立，有E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)例1.17 离散型随机变量的数学期望试求例1.14中随机变量X的数学期望 解：根据表根据表1-11-1中的计算结果，计算得到中的计算结果，计算得到X X的数学期的数学期望为望为 例1.18 连续型随机变量的数学期望试求例1.16中随机变量X的数学期望 解：已知已知X X的密度函数为的密度函数为因此因此X X的数学期望为的数学期望为 (2)方差与标准差方差：