信号、系统与数字信号处理 第2章 连续时间信号与系统的频域分析.ppt

第二章第二章 连续时间信号与系统的频域分析连续时间信号与系统的频域分析励信号的响应，基本方法是将信号分解为多个基本信号LTI系统分析的一个基本任务，是求解系统对任意激实现（因果）性等在工作中经常会遇到实际问题。频域分析还可以方便的讨论系统的频响、失真、物理可性就可以得到任意信号的响应。除了求解系统的响应外，正弦信号的响应，利用LTI系统的叠加、比例与时不变可以由不同频率的正弦函数表示。如果已知LTI系统对元。频域分析是将正弦函数作为基本信号元，任意信号2.1周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析三角函数集是最重要的基本正交函数集，正、余弦函数都属是三角函数集。它具有以下优点(1)三角函数是基本函数；(2)用三角函数表示信号，建立了时间与频率两个基本物理量之间的联系；(3)单频三角函数是简谐信号，简谐信号容易产生、传输、处理；(4)三角函数信号通过线性时不变系统后，仍为同频三角函数信号，仅幅度和相位有变化，计算方便由于三角函数的上述优点，周期信号通常被表示（分解）为无穷多个正弦信号之和。利用欧拉公式还可以将三角函数表示为复指数函数，所以周期函数还可以展开成无穷多个复指数函数的之和，其优点与三角函数级数相同。用这两种基本函表示的级数，分别称三角形式傅里叶级数及指数形式傅里叶级数。它们是傅里叶级数中两种不同的表达形式，都简称傅氏级数。本节利用傅氏级数表示信号的方法，研究周期信号的频域特性，建立信号频谱的概念。一、三角形式傅里叶级数一、三角形式傅里叶级数周期信号是周而复始，无始无终的信号。表示式为是信号的基波频率。其中是信号的最小重复时间间隔，其倒数若式的傅里叶级数，表示式为满足狄里赫利条件，则可以展开为三角形式中 是基波角频率，有时也简称基波频率。利用三角函数的边角关系，我们还可以将一般三角形式化为标准三角形式两种三角形式系数的关系为 (2.1-4)式说明，任何满足狄里赫利条件的周期信号都可为基波初相位，是以分解为直流及其许多余弦分量之和。这些分量的频率的整数倍，通常称为基频或基波频率；为二次谐波频率，为三次谐波频率，为次谐波频率，；相应的为直流幅度，为基波振幅，为二次谐波振幅，为次谐波振幅；周期信号被分解为直流分量、基波分量以及各次谐波为次谐波初相位。由上式可见号的波形。分量。各频率分量的振幅大小、相位的变化取决于信我们可以通过示波器观察信号的波形，也可以用频谱分、是频率的函数，它们从频率的角度反映了信号的特性。能从频率角度反映信号特性的函数，称为信号的频谱。信号的波形与频谱是同样是客观存在的，通过时域的波形，更容易理解耳朵的听觉过程。析仪观察或度量信号的频谱。事实上，通过频谱而不是傅里叶级数准确地反映了周期信号分解的结果，但直观大小。为自变量、，描述之间关系的图形。它一般由两部分组成：一是振幅图，是的线图，每条线的长度代表该频率振幅大小；二是相位图，是的线图，用来描述关系，每条线长代表该频率相位率及相位特性。周期信号的频谱图是以频率位随频率变化的情况，人们借助频谱图来描述信号的频简单、直观地表示信号所包含主要频率分量的振幅、相性差，要将各次谐波分量叠加起来更是费时费力。为了例例2.1-1已知周期信号如下，画出其频谱图。解解：将整理为标准形式 振幅谱与相位谱如图2-1所示。(b)相位图(a)振幅图图2.1-2例2.1-2的频谱图021/2110二、指数形式的傅里叶级数二、指数形式的傅里叶级数利用欧拉公式将三角形式的傅里叶级数，表示为复指数形式的傅氏级数其中系数是复常数，通常简写为。还可以将表示成模和幅角的形式次谐波分量的振幅和相位。三角函数标准形式中是第 次谐波分量的振幅，但在指数形式中，要与相对应的第项合并，构成第指数形式与三角形形式系数之间的关系 由于复指数引入了不过，指数形式的频谱是双边谱，使得我们的谐波引入了负频率。实际负频率是不存在的。这只是将第项谐波分量的三角形式写成两个复指数形式后出现的一种数学表示。同样，为了简单、直观地表示信号所包含的主要频率分量随频率变化的情况，我们可以画出指数形式的频谱图。是奇对称的。是偶对称的，例2-1的指数形式频谱如图2-2所示。0011/21/411/21/41(b)相位图图2-2 例2-1的频谱图(a)振幅图-T例例2-2 周期矩形脉冲的波形如图2-3所示,求周期矩形脉冲频谱。TE0解其中：将展开指数形式傅里叶级数，由式(2.1-7b)式中 (2.1-10)(2.1-11)的零点为使的的零点，由此解出，是虽然是实数，但通过零点后有正、负的变化，使得相应的，当也有正、负变化。时相位为0；当时相位为。所以 其三角形式的傅里叶级数，由式(2.1-9)可得(2.1-14)特别设，代入式(2.1-14)，其零点为，即。、，的三角形式与指数的振幅、相位谱如图2-4所示。因为周期矩形信号频谱的相位只有0、的幅度就是正、负的变化。所以可将其幅度与相位谱画两种情况，对应在一起，即画复振幅频谱图2-5所示。（）或，如图2-4、2-5有错。图2-5 周期矩形信号的复振幅频谱特别要强调，除了相位谱只有0、将振幅与相位表示在同一频谱图中。的情况，一般不能由图2-5我们作如下讨论：1、频谱图是离散的，频率间隔离散谱线间隔。特别是，且随着离散谱连续谱。，2、直流、基波及各次谐波分量的大小正比脉冲幅度E及脉冲宽度的包络变化，反比周期T。各谐波幅度随为零点（，2，）。3、有无穷多根谱线，但主要能量集中在第一个零点之间。实际应用时，通常把范围定义为矩形信号的频带宽度，记为B，于是的频率或的单位是弧度/秒，的单位是赫芝（Hz）。以上虽然是对周期矩形信号的频谱分析，但其基本特性对所有周期信号适用，由此给出周期信号频谱的特性（1）离散性：谱线沿频率轴离散分布。谱线仅在0、基波的倍频等（离散的）频率点上现。（2）谐波性：各谱线等距分布，相邻谱线的距离等于分量。基波频率。周期信号没有基波频率整数倍以外的频率（3）收敛性：随着趋于零。，或2.2非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换1、从傅里叶级数到傅里叶变换、从傅里叶级数到傅里叶变换可以把非周期信号看作是周期信号这样一来非周期信号可以表示为的极限情况。当，离散谱连续谱。虽然，以周期矩形脉冲为例，当离散谱线间隔；时，周期信号就变成单脉冲信号的非周期信号。当仍有差别。为了表明这种振幅、相位随频率变化的相对但其频谱分布规律依然存在，它们之间的相对值关系，我们引入频谱密度函数。已知周期函数的傅里叶级数为 式中 (2-18)对(2-18)式两边取极限，并乘以不为零，得到，使 当变为连续变量周期信号变成非周期信号，离散频率并将；，但不为零，则(2-19)式变为记为或(2-19)因为，是单位频带的频谱值，故为频谱密度函数，简称频谱函数。同样，由傅氏级数代入上式，得到将(2-20)与前相似，在的极限情况下，上式变为，(2-20)的结果代入上式，我们得到的傅里叶积分表示(2-21)(2-21)式表明非周期号可以分解为无穷多个复振幅为的复指数分量。用振幅与相位表示为叫做傅里叶变换对，其中(2-20)式为傅里叶变(2-21)式为傅里叶反变换。傅里叶变换关系也常用下述符号表示式中是振幅谱密度函数，简称振幅谱；是相位谱密度函数，简称相位谱。一般把(2-20)式与(2-21)式F F或(2-24)傅里叶变换也简称傅氏变换，可用英文缩写FT表示。若反变换同(2-21)式。为因果信号，则傅里叶变换式(2-24)式表示的频谱密度函数，而与具有一一对应关系，是是的原函数。特别的有由傅里叶变换的推导过程表明，信号傅里叶变换存在的件是无限区间内函数绝对可积，即围由一个周期变为无限区间。傅里叶变换存在的充分条条件与傅氏级数存在条件基本相同，不同之处是时间范引入奇异（冲激）函数概念之后，使过去许多不满足确切的频谱函数表示式。上式条件的函数，如阶跃函数、周期函数等，都有了2、常用函数的傅里叶变换对、常用函数的傅里叶变换对（1）、单边指数函数）、单边指数函数1）单边因果指数函数 即单边因果指数函数的波形、振幅谱、相位谱如图 2-6所示。000图2-6单边指数函数、振幅谱、相位谱（2）单边非因果指数函数即 000单边非因果指数函数的波形、振幅谱、相位谱如图2-7所示。的波形、振幅谱、相位谱 图2-7（2）、双边指数函数）、双边指数函数或 利用以上单边指数函数的变换结果我们有即 双边指数函数的波形、频谱如图2-9所示。003、符号函数、符号函数符号函数也称正负函数，记为显然，这个函数不满足绝对可积条件，不能用定义直接，表示式为 求。可用以下极限形式表示函数上式是两个单边指数函数的组合，利用前面的结果，符号函数的波形、振幅谱、相位谱如图2-9所示。并取极限可得 符号函数的波形、频谱如图2-9所示。0-11004、门函数、门函数门函数 也称矩形脉冲信号，表示式为 门函数的频谱函数、振幅谱、相位谱为门函数的波形、振幅谱、相位谱如图2-10所示。000因为谱如图2-11所示可由是实函数，其相位谱只有0、反映在两种情况，上是正、负的变化。因此其振幅、相位0表示。不过信号主要能量集中在频谱函数的第一个零点之内，所或由图2-11可见，门函数在时域中是时宽有限的信号，而它的频谱是按的规律变化、无限频宽的频谱。以通常定义它的频带宽度为(1)105、冲激函数、冲激函数时域冲激函数的变换可由定义直接得到由上式可知，时域冲激函数谱，亦称白色谱。冲激函数、频谱函数如图2-12所示的频谱为常数，是均匀F F0图2-12冲激函数及其频谱频域冲激或的原函数亦可由定义直接得到由上式可知频域冲激的反变换是常数（直流分量）。频域冲激函数、原函数如图2-13所示。(1)0F F0（6）阶跃函数）阶跃函数阶跃函数虽不满足绝对可积条件，但可以表示为对上式两边取傅氏变换F阶跃函数的波形、振幅谱、相位谱如图2-14所示。01002.3傅里叶变换性质及定理傅里叶变换性质及定理个随之确定，两者是一一对应的。在实际的信号分析傅氏变换揭示了信号时间特性与频率特性之间的联系。信号可以在时域中用时间函数表示，亦可以在频域中用频谱密度函数表示；只要其中一个确定，另一氏变换基本性质及定理进行讨论就非常重要。内在联系，我们也希望能简化变换的运算，为此对傅的什么样变化？反之亦然。除了明白信号时频之间的当一个信号在时域中发生了某些变化，会引起频域中变换规律有更深入、具体的了解。例如我们希望清楚，中，往往还需要对信号的时、频特性之间的对应关系、一、傅里叶变换性质一、傅里叶变换性质1.线性线性傅里叶变换的线性特性表示为若则式中 为任意常数。证证：利用傅氏变换的线性特性，可以将待求信号分解为若干基本信号之和。2.时延（时移、移位）性时延（时移、移位）性傅里叶变换的时延（移位）特性表示为若则时延（移位）性说明波形在时间轴上时延，不改变信号 证证：线性相位。振幅频谱，仅使信号增加一例例2.3-1 求如图2-15所示信号的频谱函数并作频谱图。，解由上节门函数的变换再由线性与时移性，得到与门函数的关系为0的振幅、相位频谱函数、如图2-16所示。003、频移性、频移性傅里叶变换的频移(调制)特性表示为若则证证：频移(调制)特性表明信号在时域中与复因子信号乘以相乘，则在频域中将使整个频谱搬移。通信技术中的调制是将频谱在附近的低频信号乘以，使其频谱搬移到附近。反之，频谱在附近的高频使其频谱搬移到，其频谱被搬移到附近，这就是解调。变频是将频谱在附近的信号的应用。乘以，附近。这些都是频移特性实际调制解调的载波信号是正（余）弦信号，借助欧拉这样，若有则这正是调制解调过程中频谱搬移情况，所以这一性质公式正（余）弦信号可以表示为也称调制特性。例例2-4 求解解：已知的波形以及频谱如图2-17所示。图。的频谱函数，并画出频谱，利用频移性图2-17 例2-4的波形及振幅、相位频谱00-110-A例2-5 求如图2.-18所示解其中并作图。的，则 图2.3-4 A令0以及如图2-19所示。04、尺度变换、尺度变换傅里叶变换的尺度变换特性表示为若则证证：F F，则 令代入上式，F F，则令代入上式，F F综合两种情况，尺度变换特性表示为、特别地，当尺度特性说明，信号在时域中压缩，频域中就扩展；反其频谱亦为原频谱的折叠，即。时，得到的折叠函数，宽无限，反之亦然。的脉宽与频宽成反比。一般来说时宽有限的信号，其频之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩；即信号可以理解为信号波形压缩（扩展）倍，信号随时间变化加快（慢）倍，所以信号所包含的频率分量增加（减少）倍，频谱展宽（压缩）倍。又因能量守图2-20表示了矩形脉冲及频谱的展缩情况。恒原理，各频率分量分量的大小减小（增加）倍。0000005、时域微分特性、时域微分特性傅里叶变换的时域微分特性表示为交换微、积分运算次序若则证证：所以同理，可推广到高阶导数的傅里叶变换式中是微分因子。6、时域积分特性、时域积分特性傅里叶变换的时域积分特性表示为若则证证：特别地，当F F 时 显然，当时，有从时域上看，一般当利用积分特性可以简化由折线组成的信号频谱的求解。，说明无直流分量 则是无限区间可积时，即。0例例2-6 求如图2-21(a)所示的频谱函数。（a）解解：0(b)如图2-21(b)所示。0 如图2-21(c)所示因为最后7、频域微分特性、频域微分特性傅里叶变换的频域微分特性表示为若则一般频域微分特性的实用形式为对频谱函数的高阶导数亦成立或 证证：或交换微、积分次序所以同理可证高阶导数或例例2-7 求解解：利用的频谱函数。，则 8、对称（偶）性、对称（偶）性傅里叶变换的对称特性表示为若：则或证：将变量与互换 特别地：当或是的偶函数，那么 由上式看，在此条件下时域与频域是完全对称性关系。(2-54)的信号，其时域函数必为就是说，当是偶函数时，如果的频谱函数为，则频谱为。例2-8 已知解图2-220如图2-22所示，利用对称性求。0其对应的例2-6的波形是如图2-23所示的对称三角波,即比较图2-22、2-23两者变化规律相同，利用对称性可以则得到(只差很方便地求出，因为由图可以看出，只要将中的；就有。这样一来亦可由的，数)，即：系利用对称性可以由已知的一对傅氏变换对，方便的推出利用对称性，我们还可以得到任意周期信号的傅氏变换。与之相关的另一对傅氏变换对，从而减少了大量的运算。例2.3-8 求解 由时延特性，可得的傅氏变换。利用对称性，将上式中的，我们得到另一对变换对变换成、变换成，并乘以系数利用上面结果，可推导周期正、余弦函数的傅氏变换。-1-1110、的波形与频谱如图2-24 所示。0利用的的频谱函数为傅氏变换，我们还可以推导任意周期函数 F FF FF F证F F例2.3-9 求周期单位冲激序列解解：先将周期单位冲激序列展开傅氏级数其中的傅氏变换,0即：再求这个级数的傅氏变换F的频谱函数如图2-25b所示。0单位周期冲激序列的傅氏变换仍为周期冲激序列。9、奇、偶、虚、实性、奇、偶、虚、实性 为实函数时，的模与幅角、实部与虚部表示形式为 其中由上式可知是、，是的偶函数；、的奇函数。特别地当为实偶函数，我们有实偶函数。上式表明若是的实偶函数，则必为的 特别地为实奇函数，则虚奇函数。上式表明若是的实奇函数，则必为的10、时域卷积定理、时域卷积定理傅里叶变换的时域卷积定理表示为交换积分次序利用时延性若：则证：由这个性质，我们可将两个时间函数的卷积运算变为两求解信号通过系统的响应。个频谱函数的相乘(代数)运算。由此我们可以用频域法11.频域卷积定理频域卷积定理傅里叶变换的频域卷积定理表示为若：则利用移频性证：交换积分次序表表3-1 傅氏变换性质（定理）傅氏变换性质（定理）序号 名称 时域 频域1 线性2、延时3、尺度4、频移性5、时域微分6、时域积分7、频域微分8、对称性9、时域卷积10频域卷积2.4 系统的频域分析方法系统的频域分析方法我们已经讨论了两类不同分解复杂信号的方法，一类是理可实现等实际问题。方便的分析系统的频率响应、系统带宽、波形失真、物响应是各频率分量响应之和。此外，利用傅氏变换可以统冲激响应卷积得到。而在频域里信号通过线性系统的法。在时域里，信号通过线性系统的响应，由激励与系两类不同的信号分解方法，导出两类不同求解响应的方是在频域里，将信号分解为许多不同频率分量之和。由在时域里，将信号分解为许多冲激或阶跃之和；另一类1、系统的频响函数、系统的频响函数对上式两边取傅里叶变换，由卷积定理，可得始状态为零，则系统的响应为 设激励是，系统的单位冲激响应为，系统的初式中是系统单位冲激响应的傅里叶变换。表征的是系统频域特性。所以称做系统频率响应函系统单位冲激响应表征的是系统时域特性，而数，简称系统频响函数或系统函数。上式还可以表示为其中是系统的相频是系统的幅（模）频特性，特性。此式表明，还可以由系统（零状态）输出傅氏变换与输入傅氏变换除了可由系统单位冲激响应表示，表示。由系统不同的的表示形式，可以用不同的方法得到系统频响函数。(1)由微分方程求解(1)由微分方程求解已知n阶LTI系统的微分方程的一般表示为对上式两边取傅里叶变换并整理 由此得到系统的频响函数为此式表明只与系统本身相关，与激励无关。例2-11 已知某系统的微分方程为求系统的频响函数。解 对微分方程两边同时取傅氏变换，得到(2)由转移算子求解已知稳定系统的转移算子，将其中的以得到系统频响函数。用替代，即可例2.5-2 已知某稳定系统的转移算子解求系统频响函数。(3)由求解求傅里叶变换。先求出系统的冲激响应，然后对冲激响应例2-14 已知系统的单位冲激响应解求系统的频响函数。，例2-14 求图2-26零阶保持电路的频响函数。延时T解 先求出系统的单位响应对上式求傅氏变换，得到F FF F，当零阶保持电路的时或利用系统各部分的傅氏变换求解。第二部分是积分器，因为两种方法结果相同。第一部分是加法器，输出为，所以输出为 010 与如图2-27所示。(4)由频域电路求解此法与1.8的算子电路法相似，利用频域电路简化运算。动态元件时域与频域电压电流关系表示为上两式中为频域的感抗值，是电感的频域表示；为频域的容抗值，是电容的频域表示；两个等式右边均满足频域（广义）欧姆定律。例2-15如图2-28(a)所示电路，输入是激励电压将电路中所有动态元件以及激励、响应用频域形式表示，求解系统函数的方法。似解直流或稳态电路的方法求解。举例说明由频域电路得到频域电路；再利用频域（广义）的电路定律，用类输出是电容电压，求系统频响函数，。+-+图2-28(a)-+解 频域电路如图2-28(b)所示，由KVL列出方程将(1)式代入(2)式得系统频响函数2、系统的频域分析、系统的频域分析由卷积定理我们可以得到频域分析法的基本方框图表示，如图2-29所示。例 2-16 已知系统函数。求响应。，激励例 2-16 已知系统函数。求响应。，激励解F F由此例2.5-6看到利用频域分析法，解决了系统的零状激励的稳态响应不同。非周期信号产生的响应，必有瞬态响应，与周期信号运算，代价是正、反两次傅氏变换。还可以看到，由态响应求解。优点是时域的卷积运算变为频域的代数2.5无失真传输系统与滤波无失真传输系统与滤波无失真传输及滤波等问题是实际应用中经常会遇到的，1、无失真传输系统、无失真传输系统在信号传输过程中，为了不丢失信息，理想传输系统应本节通过对它们的讨论，进一步掌握频域分析方法。传输系统。该不失真的传输信号。人们也称理想传输系统为无失真失真是指系统的输出与输入相比波形变化规律发生了变有幅度大小及时延的不同，形状不变，如图2-30所示。化。而通过无失真传输系统的输出波形与输入相比，只10无失真传 输系统0图2-30其中输出信号应为设激励信号为，响应为，则系统无失真时，均为常数。是系统的增益，是延迟时间，与由上式得到理想传输系统的时域不失真条件(1)幅度乘以(2)波形滞后倍；。又因为所以无失真传输系统的单位冲激响应为对此式两边取傅氏变换，可得F，上式可表示为0对应的幅频及相频特性如图2-31所示。由图2-30可知理想传输系统的频域不失真条件为(1)幅频特性在全频域内为常数，系统具有无限宽的0成正比。(2)系统的相频特性是通过原点的直线，相移与频率均匀带宽，所有频率分量的增益为，可以顺利通过。在实际应用时，虽然系统不满足全频域无失真传输要求，例2.6-1：已知某系统的振幅、相位特性如图2-31所示，(1)给定输入但在一定的条件范围内可以无失真传输。输入为，输出为。(2)，求输出；有无失真？若有指出为何种失真。2100解解：由图2-31可知该系统的振幅、相位函数为由振幅、相位函数可知只有输入信号在范围内，输出信号无失真。否则会有振幅或或相位失真。利用频域分析方法可得不同激励时的响应为输出信号无失真。从这个例题我们可以知道。虽然真正的不失真传输系统种方法在工程中经常用到。真或线性，这表明系统可以具有分段无失真或线性，这真的传输信号。即可以在一定范围内做到系统近似无失很难做到，但在一定条件下，一个失真系统亦可以不失输出有振幅失真。2、滤波器、滤波器滤波的概念往往与选频有关，因为在许多实际应用中，有的信号中，选出所需要频道的信号，就要利用滤波分量，用以提取所需信号。例如要从电视机天线上所系统需要保留信号的一部分频率分量，抑制其它频率器。先介绍理想滤波器。有各种各样的理想滤波器，最典型想低通滤波器。分量直通，而对要抑制的部分衰减到零。本节只讨论理为1，阻带幅频特性为0。特点是对信号中要保留的频率其幅频特性如图2-33所示。理想滤波器的通带幅频特性的有理想低通、理想高通、理想带通、理想带阻滤波器，00001111理想低通滤波器的频率特性如图2-34所示。010传递函数为这样的理想低通滤波器对激励信号低于的频率分量可以无失真传输（幅度均匀放大，时延），而高于的频率分量则被全部抑制。式中：为通带截止频率，相位斜率（或群时延）。理想低通的单位冲激响应为理想低通的输入与单位冲激响应如图2-35所示。(1)00说明系统是非因果的，而违背了因果律的系统是物理由图2-35可见，激励是在 时刻加入，而响应的最大值出现在 处，可以认为响应的建立需要时间。由图2-35还可见，响应不仅延时了，并在响应脉冲建立的前后出现了起伏振荡。从理论上讲，振荡一直延伸到处。这是由信号的幅度失真造成的，因为相当一部分的高频分量被完全抑制了。不可实现的。时有响应出现系统是否物理可实现，时域与频域都有判断准则。LTI系统是物理可实现的时域准则是系统的单位冲激响应LTI系统是物理可实现的频域条件由佩利-维纳准则给出，满足因果性，即即系统是物理可实现的必要条件为这一准则只允许在某些不连续点的频率幅值为零，但不允许某个频带的幅值为零。有的理想滤波器都是物理不可实现的。虽说理想滤波器是设在频带内，则在频带内，使上式的积分不收敛。由此可以推知所讨论实际的低通滤波器。想滤波器，就不失讨论理想滤波器的意义。下面通过实例物理不可实现的，但只要实际滤波器可以某种方式逼近理+-0域法求解系统频响函数及系统响应。例例2.6-2 电路系统及激励如图2-36所示，用频1-+图2-36解解：先求解系统函数01式中。其幅频、相频特性如图2-37所示。0 由其幅频特性可知该系统是一低通滤波器。若定义幅度若以低通的零频为基准，定义能量的对数衰减，则的频率范围为通带，则系统可以通过信衰减不低于号中的频率分量，而抑制的频率分量。在处，信号的幅度是零频的，即（分贝），所以也称再求系统输出响应因此称是滤波器的三分贝带宽截止角频率，又因为为系统的三分贝截止频率。在处，信号的能量减半，其对数衰减01由系统响应图可见，响应一般响应时，没有突变到1，而是经过一段上升过程，随着与激励不同的是在时间趋于无穷才达到1。所以可以定义响应上升到幅度的0.9时，误差已满足工程需要。从0上升到0.9的时间叫系统的上升时间。代入输出公式解出可见，又称该系统的时常数。若将此式说明，系统参数、结构一旦确定，其上升时间与带与三分贝截止频率相乘，有大多数系统的上升时间与带宽的乘积在0.30.5之间。关，这虽然是由一阶电路推导的结论，却是普遍适用的。升时间与带宽的乘积是常数，并与系统参数的具体值无宽的乘积就是一个常数，与系统参数的具体值无关。上