对称性在积分中的应用.doc

梧 州 学 院毕 业 论 文 论文题目 对称性在积分中的应用 学 院 信息与电子工程学院 专 业 数学与应用数学 班 级 14数学班 学 号 201400601009 学生姓名 甘秋丽 指导教师（签名） 完成时间 2018 年 月  梧州学院学士学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立完成所得的成果。除了文中特别加以标注引用的内容之外，本论文不包含法律上任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究所作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。论文作者签名：日期：摘 要在中学我们就初步学习了关于对称性的知识，然后是逐步深入学习，到大学的学习中，我们接触到了微积分这个概念，我们发现，积分知识在微积分的学习中即是重点也是难点，尤其是在解决积分计算的问题上。本文介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的几个定理和证明，经过多方考察和查阅资料，运用分类对比和归纳总结的数学思想方法，研究对称性在定积分、重积分、曲线积分和曲面积分的应用。首先是通过了解对称性的研究背景和研究意义，引出对称性定理；在研究对称性应用时，需要理解这些积分的一般定义，本人在查找资料和学习理解之后，合理引入对称性定理，并对同类定理进行了证明，归纳总结它们的对称性特点，分类讨论，然后根据定理，举例子说明或解决一些积分计算问题。因此，在遇到一些具有对称性的函数或积分时，可以利用对称性定理来减少数值的计算量，使计算过程得以简化。关键词：对称性；奇偶性；定积分；重积分；曲线积分；曲面积分IIThe application of symmetry in integralAbstract In the middle school we have initially learned about the symmetry of knowledge, and then gradually in-depth study, to the University of learning, we have access to the concept of calculus, we found that integral calculus in the study is the focus is also difficult, especially in solving the problem of integral computing. This paper studies the application of symmetry in definite integral, heavy integral, curvilinear integral and curved area division by means of various investigation and reference data, using the mathematical method of classification comparison and summarization. The first is to understand the research background and significance of symmetry, and then draw the symmetry theorem. In the study of symmetric applications, first of all, we must understand the general definition of these integrals, after looking at the data and learning to understand, the rational introduction of the symmetry theorem, and the proof of the same kind of theorem, summed up their symmetry characteristics, classified discussion, and then according to the theorem, examples to solve the problem Therefore, in the face of some symmetric functions or integrals, the symmetry theorem can be used to reduce the numerical calculation and optimize the integral calculation. Key words: Symmetry; parity; definite integral; weight integral; curvilinear integral; curved area 目 录第一章 绪论11.1 研究背景11.2 研究意义11.3 对称性与奇偶性2第二章 定积分中对称性的应用32.1 定积分的定义32.2 定积分计算里对称性的应用3第三章 重积分中对称性的应用53.1 二重积分计算中对称性的应用53.2三重积分计算中对称性的应用8第四章 曲线积分中对称性的应用114.1第一型曲线积分中对称性的应用114.2第二型曲线积分中对称性的应用12第五章 曲面积分中对称性在的应用165.1第一型曲面积分中对称性的应用165.2第二型曲面积分中对称性的应用19第六章 总结23参考文献24致 谢2623第一章 绪论1.1 研究背景中学学习中，我们已经接触过对称，学习了对称性的一些简单定理。在我们学习了积分内容后，我们发现，对称性在积分中也有很多的应用，在物理学中，也有关于对称性的一些应用。对称性思想已经有了大约2500年的历史。什么是对称性定理？对称性定理又是怎样产生的呢？在1894年，对后来影响深远的“对称性原理”被数学家总结出来了，这个伟大的数学家就是居里（P.Curie,）。这个定理给后来的对称性研究奠定了很大的基础，它的内容是“原因中的对称性必然反映在结果中，即结果中的对称性至少有原因中的对称性那样18”。真正从数学上提出“变换不变性”问题的是克莱因（C.F.Klein,）,伟大的“爱尔朗纲领”（Erlangen Programm），诞生于1872年，是由克莱因提出的，这个纲领的发现离不开他的坚持不懈，它是在他研究度量几何和射影几何和关系时发现产生。即每种几何都可以经过变换群的变换而成，而且要在它们的变换群下考虑它的不发生变化的量。这是数学对称性原理就是，诞生的标志18。关于“对称性”和“变换不变性”，它们之间有没有联系呢？寻求它们之间的联系促使了数学家们不断研究探讨。首次把它们联系起来的是德国大数学家魏尔（H.Weyl,），他提出：所谓“变换”，可以简单地用物理学解释，即为事物从一个形态转变成另一个形态的过程；事物从一种形态经变换到另一种形态之后，与原来的形态是相同的，我们就把这种变换现象叫做对称变换18。 畅游数学的海洋，它无穷而伟大，这里有许多无法用具体语言刻画的美，我们应该渗透数学的美学价值，让我们在感知数学美的同时，更要培养起对数学的深厚情感及运用数学美的能力，从而提高我们对数学的直觉能力及创造思维能力。数学中的对称性也是一种美，掌握对称性知识使我们看到更多数学的美。在以前的学习中，我们可以发现对称性被应用在了定积分中，而在多元积分的应用很好，也可以说是没有的。这里我们就讨论一下对称性应用在多元积分的情况，如重积分、曲线积分和曲面积分，积极收集材料，认真学习和理解，归纳出对称性的应用，然后应用在实际求解过程中，这将会给我们带来很多的益处。1.2 研究意义数学中的对称是一种美，也是一个重要的知识架构，我们在生产、科学研究和日常生活中也会经常遇到一些特殊的有关对称性的数学问题。我们发现，中学函数中存在着对称，而在我们大学的积分中也非常普遍。在微积分思想中，积分计算是微积分的简单运算，也可以说是基本运算，但在求积分计算时，有一些是可以有几种解题方法的，而且，根据我们的归纳，其实是没有固定的方法的，它们解题的方法有多种，以我们需要因题而异进行尝试，寻找最方便快捷的方法。积分的求解中，我们往往会使用最简便的方法来求解，以使得简化运算，达到事半功倍的效果。我们都知道，在定积分的计算中运用到函数的奇偶性和对称性，可以简化运算，在重积分、曲面积分、曲线积分中利用平面区域的对称性同样也可以进行简化运算，在计算这些复杂的积分时，利用对称性可以化繁为简，效果显著。1.3 对称性与奇偶性在讨论函数对称性时，我们一般会引出函数的奇偶性，它是函数对称性的一种特殊的情况，其中画出并观察研究函数图像可知，奇函数的图像是关于坐标原点对称的，它是一种特殊的中心对称图形；同理，观察偶函数的图像，偶函数的图像是关于y轴对称的，是我们特殊的轴对称图形。因此，函数奇偶性可以作为我们学习函数对称性的基础，它对函数及函数其他性质的学习也有着非常重要的影响。定理1 假设连续函数的定义域是关于原点对称的，如果存在任意的，恒有，则称函数为奇函数。假设函数的定义域是关于轴对称的，如果存在，都有，则称函数为偶函数。这是关于函数奇偶性的简单判定定理，也是积分计算中对称性判断的基础。第二章 定积分中对称性的应用2.1 定积分的定义定义116 假设函数在上是有界的，随机在中插入个分点：，则可把区间分为个小部分，其中表示第个小区间的长度，在每个小区间上任意选取一点，作乘积，并作出和式，记，若存在极限，则称此极限为在上的定积分，记为，并称在上可积，即，上式中，叫做被积函数，积分变量表示成，积分上限表示成，积分下限表示成，是函数的积分区间。2.2 定积分计算中对称性的应用定理2.2.1 如果函数在闭区间上连续，那么（1）若函数为奇函数，则有；（2）若函数为偶函数，则有。证明（1）因为为奇函数，有，即，所以。（2）同理可得，当为偶函数时，即，得证。例1 计算定积分。解 简化定积分，回顾上面给出的定理可知，被奇函数是关于对称的偶函数，还有是关于的奇函数，直接使用对称性定理，有 。例2 计算。解 对于复杂的函数，我们考虑分步化简。首先我们知道 ，C为常数，令，则有 ，其中被积函数是偶函数，所以由对称性理论可快速求解出来。第三章 重积分中对称性的应用一般的，我们知道，在积分区域的表示中，重积分会比定积分复杂一些，且重积分中被积函数一般都是多元函数，如二、三重积分，被积函数分别是二、三元函数，而且重积分中的关于函数变量也会比较复杂，它们的奇偶性也比定积分多变许多。3.1 二重积分计算中对称性的应用定义2 假设，其中是有界闭区域，函数在上有意义，若将区域任意分割成n个子区域，把区域的面积记为，在每个上任取点，作和式，若分割的模时，这个和式存在极限，且它的极限值与分割区域的方式无关，与每个区域上的选取无关，这时我们称是在区域上的二重积分，记为，其中称为被积函数，称为积分区域，称为面积微元。定理3.1.117 设为区域上的连续函数，若关于轴对称，则有（1）当时，即函数是关于的奇函数，则有；（2）当时，即函数是关于的偶函数，则有，其中为的上半平面区域。证明 假设区域，且为有界闭区域，其中，根据定义2得知，积分区域的分割方式与二重积分无关，而且对于如何选取分割点没有太大影响。现在将区域任意分割成个小区域，即，其中与，与，与是关于轴对称的，即是关于对称的。在区域上取点， ，由二重积分定义可得 得证。同理可证定理3.1.2和定理3.1.3。 例3 求解积分，区域D是由，所围而成。 0 图1解 观察区域知其没有对称性，在图1中作辅助线 ，我们可以把积分区域划分为都具有对称性的两个部分，和，在区域上是关于轴对称，而为关于x的奇函数；在部分上是关于x轴对称，是关于y的奇函数，则，由定理3.1.1可得。定理3.1.217 设为区域上的连续函数，若关于轴对称（1）当时，即函数是关于的奇函数，则有；（2）当时，即函数是关于的偶函数，则有，其中为的右半平面区域。 例4 计算，其中。 30 图2解 由图2的区域可知，是关于轴对称的，所以可以利用定理3.1.2求解，已知，则可看出被积函数是关于的奇函数，所以有。这是简单的套用定理的方法，首先判断积分区域的特点，然后再根据积分区域的特点分析被积函数，即可求解。定理3.1.317 当关于直线对称，设为区域上的连续函数，则（1）当时，则；（2）当时，则。例5 设函数是恒为正的连续函数，计算，其中。解 分析积分区域可知，它是关于对称的，所以可以把两个变量相互变换位置观察分析，根据定理3.1.3可得：，所以两边两加 ，则。对称性应用在二重积分中的基本思想不难掌握，只要分清基本步骤与实际作用。在计算二重积分过程中，利用定理3.1.1、定理3.1.2和定理3.1.3求解，同时还要考虑到空间的积分区域和被积函数的奇偶性的特点，简化运算。3.2三重积分计算中对称性的应用定义3 设，其中为有界闭区域，在上有意义，任意分割区域为个子域，的体积记为，在每个上任取点，作和式，若分割的模时，此和式存在极限，且此极限值与分割区域的方式无关，与每个区域上的点的选取无关，则称为在区域上的三重积分，记为，其中是被积函数，为积分区域，为体积微元。定理3.2.1 若积分区域关于对称，则（1）当函数为关于的奇函数时，则有；（2）当函数为关于的偶函数时，则有，其中是的部分区域。证明 设，为有界闭区域，函数在区域内，根据讨论三重积分定义可知，三重积分与区域的分割无关，与点的选取无关，现将区域分割为个小区域，其中与，与，与是关于对称，即为关于面对称。若在区域上分别选取点，由三重积分定义可得得证。同理可证明定理3.2.2和定理3.2.3。 例6 已知式子，是由曲面和围成的空间区域。 01 图3解 分析题目，观察画出的图，我们发现空间区域是关于面对称的，而是关于x的奇函数，因此由定理3.2.1可得。定理3.2.2 若积分区域关于对称，则（1）当函数为关于的奇函数时，则有；（2）当函数为关于的偶函数时，则有，其中是的的部分区域。定理3.2.3 若积分区域关于对称，则（1）当函数是关于y的奇函数时，则有）；（2）当函数是关于y的偶函数时，则有，其中是的的部分区域。 例7 求解，其中围成区域的是及，和。0 -11 图4解 分析积分区域，其是关于面对称的，被积函数是关于的偶函数，将在第一卦限中的区域记为，则。第四章 曲线积分中对称性的应用4.1第一型曲线积分中对称性的应用定义417 设是平面上的可求长度的曲线段，为定义在上的函数，对曲线段作分割，它把分成个可求长度的小曲线段，的弧长记为，分割的细度为，在上任取一点，若极限存在，且的值与分割与点的取法无关，则称此极限为在上的第一型曲线积分，记作。定理4.1.1 若光滑的平面曲线关于轴对称，其中是的右半平面部分，则（1）若是关于的奇函数，即，则；（2）若是关于的偶函数，即，则。证明 设区域，关于轴对称，假设，所以有，所以当有奇偶性时，得得证。同理可证明定理4.1.2和定理4.1.3。例8 设曲线为，周长为m，求。解 分析曲线，可以知道是关于轴对称，被积函数中是关于的奇函数，可变形为，所以。定理4.1.2 若光滑的平面曲线关于轴对称，其中是L的上半平面部分，则（1）若是关于的奇函数，即，则；（2）若是关于的偶函数，即，则。定理4.1.3 若曲线具有轮换对称性，则积分也可以轮换，即。例9 计算，为光滑的曲线：。解 分析题目可知，曲线具有对称性，则有或，由定理4.1.3可知，所以。4.2第二型曲线积分中对称性的应用定义5 设函数是定义在平面有向可求长度曲线上，对作分割，把分割成个小弧段，其中。记表示第i段的弧长，表示分割的细度。又设的分点，并记。在每个小弧段 上任取一点 ，若极限存在，且与分割与点的取法无关，则称此极限为函数沿有向曲线段上的第二型曲线积分，记为 或。定理4.2.1 设L是平面上分段光滑的曲线，函数连续且L关于轴对称，其中是平面的上平面部分，则（1）当时，即表示函数是关于的奇函数，则；（2）当时，即表示函数是关于的偶函数，则。证明 假设区域，则得证。同理可证明定理4.2.2和定理4.2.3。例10 计算曲线积分，其中，曲线取逆时针方向。解 简化积分 ，图5如上图5可知曲线是关于轴对称的， 是关于的偶函数，曲线中，所以，因此。定理4.2.2 设L是平面上分段光滑的曲线，连续且L关于轴对称，其中是平面上的右半平面部分，则（1）当时，即表示函数是关于的奇函数，则；（2）当时，即表示函数是关于的偶函数，则。例11 计算曲线积分，方向是逆时针方向。 10 图6解 作图分析，我们把积分曲线分为上下两个对称的区域，如图所示，在对称点上，被积函数的大小相等，而投影元素在上半圆是负区域，下半圆是正区域。所以，在对称的两个半圆上大小相等，方向相反，即为关于的奇函数，满足。同理，在对称的左右两个半圆上大小相等，方向相反，即为关于的奇函数，满足，所以。第五章 曲面积分中对称性在的应用5.1 第一型曲面积分中对称性的应用定义617 设是空间上可求面积的曲面，是定义在上的函数，对曲面作分割，它把分成个小曲面块，小曲面的面积记为，分割的细度为，在上任取一点，若存在极限，且与分割和点的选取方法无关，则称此极限为函数在上的第一型曲面积分，记作。常用的计算方法：设光滑曲面，函数是上的连续函数，则。定理5.1.1 若积分曲面关于对称，则（1）当时，即表示函数是关于的奇函数，则；（2）当时，即表示函数是关于的偶函数，则，其中是的上半部分。证明 设，与是关于面对称的曲面，即，和在面上的投影为，函数在区域上存在一阶连续偏导数，则所以当函数存在奇偶性时，上式化为得证。同理可证明定理5.1.2和定理5.1.3。 例12 求积分，区域与平面所截部分。1 01 图7解 观察区域可知，它是关于坐标面对称的，是关于与的偶函数，根据定理5.1.2可得 ， 其中为的第一象限部分。定理5.1.2 若积分曲面关于对称，则（1）当时，即表示函数是关于的奇函数，则；（2）当时，即表示函数是关于的偶函数，则其中是的上半部分。定理5.1.3 若积分曲面关于对称，则（1）当时，即表示函数是关于y的奇函数，则；（2）当时，即表示函数是关于y的偶函数，则，其中是的上半部分。z例13 求，其中，。0ayx 图8解 分析曲面的区域，可知其上半球面是关于面及面对称的，原点在内，所以可以得到，所以 ，这里运用到了积分的性质，这个结论在二重积分计算中被众多人广泛使用。5.2 第二型曲面积分中对称性的应用定义717 假设是定义在双曲面上的函数，在双曲面上的指定一部分区域进行分割，把它随机分割成个小曲面区域，分割的细度为，把分别表示成在三个坐标面上的投影部分的面积，它们的符号是根据的方向来确定的。如果的法线与z轴的正方向所成的角是锐角，那么它在平面的投影区域的面积为正值。反之，如果法线与z轴的正方向所成的角是钝角，那么它在平面的投影区域的面积是负值。在各个小曲面上任取一点。若存在，且与在上的取法和曲面的分割无关，就称此极限为函数在曲面所指定的区域上的第二型曲面积分，记作，在计算第二类曲面积分时，我们通常把它转化成二重积分来进行计算，如此便可以简化运算。定理5.2.1 设分段光滑的空间曲面关于面对称，则（1）当时，即表示关于的偶函数，则（2）当时，即表示关于的奇函数，则证明 设的法线方向是正向，和在面上的投影区域分别为和，且相同，则，所以当函数存在奇偶性时，上式化为得证。同理可证明定理5.2.2和定理5.2.3。例14 求积分，其中为椭圆柱面介于之间部分区域的外侧。 zz=3z=1y0x图9解 因为是关于x的偶函数，关于面对称，所以根据定理5.2.2得；类似的，因为是关于y的偶函数，关于面对称，所以根据定理5.2.3得；由于在面上的投影是圆周，可知投影部分区域的面积是，根据定理5.2.1，可得，所以有。定理5.2.2 设关于面对称的分段光滑的空间曲面为，则（1）当时，即表示关于的的奇函数，则（2）当时，即表示关于的偶函数，则定理5.2.3 设分段光滑的空间曲面关于面对称，则（1）当时，即表示关于的奇函数，则（2）当时，即表示关于的偶函数，则 例15 求积分，其中是曲面和平面所围成立的表面外侧。h 图10 解 由于，取定下侧，上侧。由题可知是关于x的偶函数，则，是关于面对称，显然又可知在面上的投影面积是，所以由定理得；类似的可求得；记在面上的投影区域为，由对称性定理得，所以解得。根据归纳整理，我们发现第一型曲面积分的积分变量没有方向性，但第二型具有方向性，且积分区域上的法线所成夹角的角度，决定积分的方向。我们要认真理清理解这两个积分之间的异同，合理运用，切莫混乱，影响解答。第六章 总结对称性是数学海洋中一种独特的美，这种没使得数学散发出更迷人的魅力，美在外表，更美在内在，它在积分求解中，可以说是有着锦上添花的作用。从被发现以来，对称性一直渗透在数学知识中，积分中的应用仅是一部分，现如今，对称性已经被广泛运用。在计算积分过程中，越来越容易发现对称性的影子，尤其是在一些多元函数中，在遇到一些复杂的计算问题时，尤其是讨论到多元积分问题时，如果我们运用以前学到的普遍简单的方法来解答会显得比较冗杂，那么根据这种情况，我们常常会考虑运用对称性思想来求解。本文研究对称性，主要从定积分、重积分、曲线积分和曲面积分这四个方面入手，分类讨论，我们发现对称性与函数奇偶性相关密切，他们之间有着不可分割的联系。本文对四个积分的定义、特点及其对称性性质进行了归纳总结，并举例说明了对称性在这些积分中的应用。观察这些积分，不难发现，它们的对称性特点及理论也有很多共同点，非常类似，这有助于我们学习和理解。对称性是积分中有着重要的角色，我们要合理并加大它的使用强度。运用到对称性求解，要充分地掌握对称性的特点，结合积分区域和被积函数的奇偶性，作为判断求解的前提，然后通过掌握积分对称性的定理，合理运用到运算过程中去。如果两者只有其中一种时怎么办？这时我们需要因题而异，不局限其他的方式求解，灵活且合理的完成运算即可。将对称性运用到积分运算中，能给我们很大的益处，不仅减少了计算量，还降低了运算难度，值得我们认真学习并加以掌握。参考文献1赵丽丽,对称性在定积分近似计算中的应用J，赤峰学院学报(自然科学版),2017,33(4)：3-5.2汪永高,对称性在定积分中的应用J，防灾技术高等专科学校学报,2000,14(3)：25-27.3常浩,对称性在积分学中的应用J，高等数学研究,2011,14(2)：59-63.4李海红,对称性和奇偶性在积分中的应用J，时代教育(教育教学),2010,(6)：151-152.5梁应仙,辛兰芬,对称性在三重积分计算中的应用J，沈阳大学学报,2003,15(4)：100-101.6薛春荣,王芳,对称性在定积分及二重积分计算中的应用J，科学技术与工程,2010,10(1)：172-175.7李玲,对称性在二重积分中的应用J，南宁师范高等专科学校学报,2002,8(3)：78-80.8马德炎,对称性在重积分及曲面积分中的应用J，高等数学研究,2011,14(4)：93-94.9陈琼,积分区域的对称性和被积函数的奇偶性在积分计算中的应用J，洛阳工业高等专科学校学报,2007,(3)：23-24,40.10潘鹉屏,三重积分计算中奇偶性对称性的应用J，工科数学,1985,（1）：46-53.11程希旺,对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应用J，遵义师范学院学报,2007,9(5)：72-75.12解加芳,邹杰涛,李冱岩等，对称性及其在曲面积分计算中的应用J，数学的实践与认识,2013,卷缺失(14)：295-298.13邓业胜,赵保魁,对称性在曲线及曲面积分计算中的应用J，民营科技,2007,(5)：206.14杨卫疆,奇偶性对称性在曲线积分和曲面积分中的应用J