二元函数的极限与连续性.docx

目 录摘要I关键词I第1章引言1第2章预备知识22.1 符号说明22.2 定义2第3章二元函数的极限33.1 二元函数重极限的基本性质33.1.1 海涅归结原理33.1.2唯一性定理53.1.3局部有界性定理53.1.4局部保号性定理53.2重极限与累次极限的关系6第4章二元函数的连续性104.1连续函数在有界闭域上的性质104.1.1 介值性定理104.1.2 一致连续性定理104.1.3 有界性与最值定理104.1.4 局部保号性定理114.2 二元函数对单个变量的连续性与该函数连续性的关系12第5章总结15参考文献16二元函数的极限与连续性狄花（数学与统计学院, 2016级数学与应用数学3班）摘要: 在多元函数的极限与连续性中, 着重讨论了二元函数的极限与连续性. 本文全面整理了二元函数的极限性质与连续性质, 试讨论了二元函数的两个极限关系与连续性问题.关键词： 二元函数; 极限; 连续性Limit and Continuity of Binary FunctionsDI Hua(Class three, Grad 2016, Major of Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and Statistics)Abstract: In the Limit and Continuity of Multivariate Functions, The Limit and Continuity of Binary Functions are discussed emphatically. In this paper, The Limit Properties and Continuous Properties of Binary Functions are comprehensively sorted out, Two Limit relations and Continuity problems of Binary Functions are discussed.Keywords: Binary Functions; Limit; Continuity西北师范大学本科毕业论文第1章 引言函数是数学领域的一个主要研究对象, 作为多元函数中最简单的一类函数, 二元函数一直用来当作打开多元函数领域的敲门砖. 例如在多元函数的极限与连续性以及多元函数微分学中, 都以二元函数为研究对象, 建立了二元函数的相关概念. 二元函数的极限与连续性是多元函数领域的基础, 因此许多文献也对其进行了论述, 研究方向大多围绕二元函数极限的求法,二元函数的重极限与累次极限的关系5, 二元函数的极限与连续的关系, 二元函数的单个变量连续与函数连续的关系4等, 也有些文献对一元函数和二元函数的相关概念进行了对比, 得出了一元函数和二元函数的一些异同点. 在数学分析一书中, 也将重点放在了二元函数的极限求法和几个重要问题上, 并未对二元函数的极限性质与连续性质进行系统的总结, 凡是有关内容都进行了简写, 或者让读者对比一元函数的相关性质自行进行补充. 由于二元函数产生了一些自己所独有的性质, 因此需要我们在一元函数相关性质的基础上, 探讨一下二元函数的连续性质与极限性质. 与此同时, 对二元函数的两个极限问题和二元函数的单个变量连续性与函数连续性问题进行探讨, 从而更好的掌握二元函数的极限与连续性, 这也有有助于快速打开多元函数领域的大门18第2章 预备知识2.1 符号说明 由于本文多次出现以下数学符号, 故将这些数学符号做一简要说明, 方便本文使用. 记R2=为全平面点集; 记E= R2为平面点集(下面出现的E统一为函数g(p, q)的定义域); 记g或g(p, q)为二元函数; 记A(p, q) E为E中任一点; 记(p,q)(p - p0)2+(q - q0)2<2为以点A0(p0, q0)为中心的圆领域; 记(p,q)p-p0<, q-q0<为以点A0(p0, q0)为中心的方领域; 记U°(A; )或U°(A)为点A的空心领域. 2.2 定义二元函数 设平面点集E R2, 若存在一个对应法则g, 使对E中的每一点A(p, q), 通过对应法则g, 存在唯一确定的w(w R)与之相对应, 则称g为定义在E上的二元函数.1 记作g: E R,A w,称E为g的定义域. A E所对应的w为g在点A处的函数值, 记作w = g(A)或者w = g(p, q). 全体函数值的集合为g的值域, 记作g (E) R. 并把A中的坐标p与q称为g的自变量, w称为因变量. 二元函数的重极限 设二元函数g(A)在区域E R2上有定义, A0是E的聚点. 若存在实数M, 使得对 > 0, > 0, A E U°(A0; ), 有:g(A)-M < ,则称二元函数g(A)存在有限极限M. 记为:limAA0g(A) = M 或 g( A) M ( A A0 ).这个极限也常常叫做重极限. 3二元函数的累次极限 设有二元函数g (p, q)( (p ,q) E ), P和Q为E在横轴和纵轴上的投影, 即P = p(p ,q )E , Q = q(p ,q )E ,设p0 , q0 分别是P , Q 的聚点. 若对每一个q Q ( q q0) , 存在极限limpp0g( p , q) , 它一般与q有关, 故记作 (q) = limpp0g( p , q),如果进一步还存在极限K = limqq0 ( q ),则称此极限K为g (p , q) 先对p ( p0) , 后对q ( q0) 的累次极限, 记作K = limqq0limpp0g( p , q). 1同理, 若对每一个p P ( p p0) , 存在极限limqq0g( p , q) , 它一般与p有关, 故记作(p) = limqq0g( p , q),如果进一步还存在极限L = limPP0 ( p ),则称此极限L为g (p , q) 先对q ( q0) , 后对p ( p0) 的累次极限, 记作L = limpp0limqq0g( p , q).二元函数连续的定义 设g 为定义在平面点集E R2上的二元函数, 点 A0 E , 对 > 0, 总存在相应的正数 , 当 AA0 < 时 (点A A0 E) , 有 g(A )-g(A0) < , 就称二元函数g关于集合E在点 A0 处连续. 若g在E上任何点都关于集合E连续, 那么也称g为集合E上的连续函数. 1第3章 二元函数的极限 这部分主要介绍二元函数重极限的性质以及两个极限间的关系. 3.1 二元函数重极限的基本性质3.1.1 海涅归结原理定理1 limAA0AEgA = M的充要条件是: 对 D E(即D是E的任一子集), 只要A0是D的聚点, 就有limAA0ADgA = M. 1证明: 必要性 设有 limAA0AEgA = M, D E且以A0为聚点, 则对 > 0, > 0, 当A U°(A0; ) E时, 有g(A) - M < . 因此当A U°(A0; ) D时, 也有g(A) - M < 成立, 故有limAA0ADgA = M.充分性 假设limAA0AEgA M, 则0 > 0, 使对n, 存在An U°(A0; ) E满足g(An) - M 0,令D = Ann = 1, 2, 3, , 则满足D E且以A0为聚点, 由于当函数g限制在集合D上时, 就是数列g (An). 于是有limAA0ADgA = limng (An).但由于右边极限值不为M, 从而左边极限值也不是M, 这与已知矛盾, 故假设不成立, 即有limAA0AEgA = M.推论1 设D1 E, A0是D1的聚点, 若limAA0AD1gA 不存在, 则limAA0AEgA 也不存在. 推论2 若D1, D2 E, A0 是它们共同的聚点, 若存在极限limAA0AD1gA=M1 , limAA0AD2gA=M2 ,但M1M2, 则limAA0AEgA 不存在. 推论3 极限limAA0AEgA 存在的充要条件是: 对于E中任一满足条件An A0且limnAn = A0 的点列 An , 它所对应的数列 g(An) 都收敛. 3.1.2 唯一性定理定理2 若limp, qa, bg(p, q) 存在, 则其只有一个极限.证明: 设M1, M2都是二元函数g(p, q) 在点A0a, b 处的极限, 则对 > 0, > 0, 当(p, q) U°(A0; ) E时, 有g(p, q)-M1 < 2 , g(p, q)-M2 < 2 ,从而,M1-M2 M1-g(p, q) + g(p, q)-M2 < 2+2 = .由 > 0的任意性, 可知M1 =M2.3.1.3 局部有界性定理定理3 若limp, qa, bg(p, q) = M, 则存在点A0a, b 的某空心领域U°(A0; ), 使得g(p, q)在U°(A0; ) E上有界. 证明 设limp, qa, bg(p, q) = M, 则取 0 = 2, > 0, 对(p, q) U°(A0; ) E有g(p, q)-M < 0 = 2, 即M 2 < g(p, q) < M + 2.因此, 结论成立.3.1.4 局部保号性定理定理4 若 limp, qa, bg(p, q) = M > 0(或 < 0), 则对任意正数r(0 < r < M), 存在A0a, b的某空心领域U°(A0; ), 使得对一切A(p, q) U°(A0; ) E, 恒有g(A) > r > 0(或g(A) < r < 0). 证明 设M > 0, 令0 = Mr, 利用二元函数极限的定义得: > 0, 对一切A(p, q) U°(A0; ) E, 有g(A)-M < 0 = M r,故当A(p, q) U°(A0; ) E时, 有g (A) > M (M r) = r > 0,同理, 当M < 0时, 此时有M > 0且M > r , 令1 = Mr , 利用二元函数极限的定义得: 1 > 0, 对一切A(p, q) U°(A0; 1) E, 有g(A)-M < 1 = M r,故当A(p, q) U°(A0; 1) E时, 有g (A) < (M r) + M = r < 0.3.2 重极限与累次极限的关系二元函数定义了重极限和累次极限两个极限, 并且关于这两个极限的存在性问题也没有必然的联系. 下面将列举相关二元函数说明这一点.(1) 在(0, 0)点二元函数的两个累次极限都存在, 但不存在重极限;例如: g (p, q) = q2p2 + q2 ; 当动点(p, q)沿着直线q = k p趋于定点(0, 0)时, g (p, q) = g (p, k p) = k21 + k2(k 0).即该二元函数的极限值与斜率k的取值有关. 因此, 当(p, q)(0, 0)时, 函数g(p, q)的重极限不存在, 但累次极限:limp0limq0g( p , q) = 0, limq0limp0g( p , q) = 1.(2) 在(0, 0)点二元函数的两个累次极限都不存在, 但重极限存在;例如: g (p, q) = (p + q)sin 1psin1 q;函数的两个累次极限都不存在. 又 (p + q)sin 1p sin1 q p+q 0, (p, q) (0, 0).故lim（p, q)(0, 0) (p + q)sin1p sin 1 q = 0.(3) 在(0, 0)点二元函数的两个累次极限和重极限都不存在;例如: g (p, q) = ep-eqsinpq;累次极限为:limp0limq0 ep-eqsinpq 不存在,limq0limp0 ep-eqsinpq 不存在,即函数g(p, q)的两个累次极限均不存在, 当动点(p, q)沿横轴正向趋于(0, 0)时, lim(p, q)(0, 0) ep-eqsinpq 不存在, 故函数g(p, q)不存在重极限.(4) 在(0, 0)点二元函数只存在重极限和一个累次极限;例如: g (p, q) = qsin1p;累次极限为:limp0limq0 qsin1p = limp00 = 0,limq0limp0 qsin1p 不存在.又qsin1p q 0 (p, q) (0, 0), 因此lim(p, q)(0, 0) qsin1p = 0. 故函数g(p, q)的重极限存在且为0.虽然这两个极限的存在性之间没有什么必然的蕴含联系, 但在某些情况下, 二元函数的这两个极限之间也是有些许关系的.关系1: 若二元函数g(p, q)在点(p0, q0)存在重极限lim(p, q)(p0, q0)g (p, q)与累次极限limpp0limqq0 g (p, q),则这两个极限必相等. 推论: 如果(1) lim(p, q)(p0, q0)g (p, q) 存在且等于M; (2) q在q0的某领域内, 有limpp0g (p, q) = (q), 则limqq0limpp0 g (p, q) = M. 2证明 由条件(1)知: 对 > 0, 1 > 0, 当p-p0 < 1, q-q0 < 1, 且(p, q) (p0, q0)时, 有 g(p, q)-M < . 又由条件(2)知: 当q在q0的某领域内时, 有limpp0g (p, q) = (q)存在, 设q0 的这个领域为U(q0; 2). 令 = min1, 2, 则当q-q0 < 时, 在式中, 令pp0, 得(q)-M < ,由极限的定义知: limqq0 (q) = M, 即limqq0limpp0 g (p, q) = M.关系2: 若累次极限limpp0limqq0 g (p, q), limqq0limpp0 g (p, q)和重极限lim(p, q)(p0, q0)g (p, q)都存在, 则它们相等.关系3: 若累次极限limpp0limqq0 g (p, q) 与 limqq0limpp0 g (p, q)存在但不相等, 则重极限lim(p, q)(p0, q0)g (p, q)一定不存在. 关系4: 设二元函数g(p, q)在点A0(p0, q0)的某空心领域U0(A0)上有定义, 且满足: ( i ) 在U0( A0 )上, 对每个q q0, 存在极限limpp0 g (p, q) = (q);( ii ) 在U0( A0 )上, 关于p一致地存在极限limqq0 g (p, q) = (p)(即对 > 0, > 0, 当 0 < q- q0 < 时, 对所有的p, 只要(p, q) U0( A0), 都有g(p, q) - (p) < 成立).则有limpp0limqq0 g (p, q) = limqq0limpp0 g (p, q). 6证明 先证明limqq0 (q)存在. > 0, 由条件( ii ), > 0, 当0 < q - q0 < 时, 且(p, q) U0( A0 ), 就有g(p, q) - (p) < .因此, 当0 < q* - q0 < 时, 且(p, q*) U0( A0 ), 有g(p, q)- g(p, q*) g(p, q) - (p) + (p) - g(p, q*) < 2.令p p0, 由条件( i )得(q) - (q*) < 2, 根据柯西准则, 可得limqq0 (q)存在, 不妨设limqq0 (q) = M.下面证明limpp0 (p) = M.对 > 0, 因为(p) - M (p) - g(p, q) + g(p, q) - (q) + (q) - M,利用( ii )及前面的结论, 当(p, q) U0( A0 )且q与q0 充分接近时, 可使(p) - g(p, q) < 3 , (q) - M < 3 ,再将q固定, 由条件( i ), > 0, 当0 < p - p0 < 时, 有g(p, q) - (q) < 3 ,因此(p) - M < . 即limpp0 (p) = M.故有limpp0limqq0 g (p, q) = limqq0limpp0 g (p, q)第4章 二元函数的连续性这部分主要讨论有界闭域上连续函数的性质. 在此基础上, 探讨二元函数对单个变量的连续性与该函数连续性的关系.4.1有界闭域上连续函数的性质4.1.1 介值性定理定理5 设E R2是有界闭域, 二元函数g在E上连续, 且m和M分别是函数g在有界闭域上取得的最大值和最小值, 即存在p1, p2 E, 使得g(p1) = m, g(p2) = M, 且有g(p1) < g(p2), 则对任何满足不等式g (p1) < < g (p2)的实数, 必存在点p0 E, 使得g(p0) = . 4.1.2 一致连续性定理定理6 设有有界闭域E R2, 若二元函数g在E上连续, 则g一致连续. 用数学符号语言表示为: 对 > 0, > 0(与的取法有关), 使得对 P , Q , 只要(P, Q) < , 就有g(P) - g(Q) < . 4.1.3 有界性和最值定理定理7 设有有界闭域E R2, 且二元函数g在E上连续, 则g在E上有界, 且能取得最大值M与最小值m. 即存在p1 E, p2 E, 使得g(p1) = m, g(p2) = M, 且对E中任意一点P, 恒有m = g(p1) g(p) g(p2) = M. 推论 若E R2 是有界闭域, g为E上的连续函数, 且g不是常值函数, 则g(E)不仅有界, 而且还是闭区间.证明 若函数g在E上不是常值函数. 由已知定值可得: g在E上有界且能取得最大、最小值, 分别设为M和m, 则m < M且m g(p) M(P为E中任意一点), 即g(E) m, M.下证m, M g(E).对 m, M, 由介值性定理得, 必存在P0 E, 使得g(P0) = , 从而 g(E), 故m,M g(E) , 于是g(E) = m, M.4.1.4局部保号性定理定理8 若二元函数g(p, q) 在点 A0(p0, q0) 处连续, 而且g(A0) 0, 则函数g(p, q)在点A0(p0, q0)的某一领域U(A0; )内与g(p0, q0)同号, 并存在某个正数r( g(p0, q0) > r), 使得对任意(p, q) U(A0; ), 有g(p, q) r > 0.证明 设g(p0, q0) > 0, 则存在r, 使得g(p0, q0) > r > 0, 取 = g(p0, q0) r, 因为g(p, q)在点(p0, q0)处连续, 所以 > 0, 使得当(p, q) U0(A0; )时, 有g(p, q) -g(p0, q0) < = g(p0, q0) r,从而当(p, q) U(A0; )时,g (p, q) g(p0, q0) (g(p0, q0) r) = r > 0,当g(p0, q0) < 0, g(p0, q0) > 0 . 任取0 < r < g(p0, q0), = g(p0, q0)- r. 由上可知 U(A0; ), 使得在其上g(p, q) -g(p0, q0) < = -g(p0, q0) r,即当(p, q) U(A0; )时, 有g (p, q) -g(p0, q0)r + g(p0, q0) = r < 0.可见g在U(A0; )上与g(p0, q0)同号且g(p, q) r > 0.4.2 二元函数对单个变量的连续性与该函数连续性的关系对于二元函数g(p, q)来说, 若g在其定义域的内点(p0, q0)处连续时, 则g(p, q0)在p0 和g(p0, q)在q0都连续. 但是反过来, 若函数g(p, q0)在p0 处连续, 且函数g(p0, q)在q0连续, 但二元函数g(p, q)在其定义域的内点(p0, q0)处却不一定连续, 这是因为所给出的条件并不能推出二元函数连续. 因此需要在此基础上再加一些条件.条件1 设有定义在 R2上的二元函数g(p, q), 函数g满足在 R2上对自变量p和q都连续, 并且当固定自变量p时, 函数g对自变量q还是单调的, 则g(p, q)在 R2 上连续. 证明 设(p0, q0)为二元函数g(p, q)的定义域 R2内的任意一点, 由于二元函数g(p, q)关于自变量q连续, 从而一元函数g(p0, q)在q0处连续. 即对 > 0, 1 > 0, 当 q - q0 < 1时, 有 g(p0, q) - g(p0, q0) < 2 . 对于点( p0 , q0 - 1 )和点( p0 , q0 + 1 ), 由于二元函数g(p, q)关于自变量p连续, 从而一元函数g(p, q0 - 1)和g(p, q0 + 1)在点p0 处连续. 即对上述的, 2 > 0, 当p - p0 < 2 , 有 g(p, q0 - 1) - g(p0, q0 - 1) < 2 . g(p, q0 + 1) - g(p0, q0 + 1) < 2 . 令 = 1, 2, 则当p < , q < 时, 由于二元函数g(p, q)关于q单调, 所以有 g(p0 + p ,q0 + q) - g(p0, q0) max g(p0+p, q0+1)-g(p0, q0), g(p0+p,q0-1)-g(p0,q0).于是由、得: g(p0 + p ,q0 ± 1) - g(p0, q0) g(p0+p ,q0±1) - g(p0, q0 ± 1) + g(p0,q0±1) - g(p0, q0) < 2 + 2 = .故当p < , q < 时, 就有 g(p0 + p ,q0 + q) - g(p0, q0) < . 因此, g(p, q) 在点(p0, q0) 处是连续的. 由点(p0, q0) 的任意性知, g(p, q)为R2 内的二元连续函数.条件2 设二元函数g(p, q) 在区域E R2上对p连续, 对q满足利普希茨条件:g(p, q') - g(p, q'') L q' - q'',其中(p, q'), (p, q'') E, L为常数, 则二元函数g在E上处处连续.证明 任取A0(p0, q0) E, 对固定的q0, 由于二元函数g(p, q)在区域E上对p连续, 故一元函数g(p, q0)在p0处连续. 于是对 > 0, 1 > 0, 当p-p0 < 1时, 有gp,q0-gp0,q0 < 2 ,又由于二元函数g对q满足利普希茨条件, 则对上述的, 取2 < 2L , 当q-q0 < 2时, 有g(p, q)- g(p, q0) L q-q0 < L2= 2 .现取 = min1, 2, 则当p- p0 < , q - q0 < 时, 有g(p, q)-g(p0, q0) g(p, q)- g(p, q0) + g(p, q0) - g(p0, q0)< 2 + 2 = .所以g(p, q)在点(p0, q0)处连续, 由点(p0, q0)的任意性知: g(p, q)在E内处处连续.条件3 设有闭矩形域S = a, b×c, d, g(p, q)为定义在S上的二元函数. 若函数g对q在c, d上处处连续, 对p在a, b上(且关于q)为一致连续, 则函数g在S上处处连续.证明 任取(p0, q0) S, 当固定p0时, g(p0, q)为关于q的一元连续函数, 故对 > 0, 1 > 0, 当q-q0 < 1, 且(p0, q) S时, 有g(p0, q)-g(p0, q0) < 2 .又由于函数g对p(关于q)为一致连续, 故对上述的, 2 > 0, 对满足q-q0 < 1的任何q, 只要p-p0 < 2, 且(p, q) S, 便有gp,q-gp0,q < 2 ,现取 = 1, 2 , 只要p-p0 < , q-q0 < , 且(p, q) S时, 总有gp,q-gp0,q0 gp,q-gp,q0 + gp,q0-gp0,q0< 2 + 2 = ,因此, 函数g在点(p0, q0)处连续, 由(p0, q0)的任意性知, g在S上处处连续. 第5章 总结在多元函数的有关理论中, 多元函数的极限与连续性内容所占比重不大, 但其在研究多元函数的连续性、可微性和可积性等分析性质中发挥了很大的作用.二元函数一直是研究多元函数性质的对象, 因此充分掌握二元函数的极限理论与连续性质是研究多元函数微积分学的基础. 同一元函数相比, 二元函数的自变量由一个变为两个, 也正是因为自变量的增加, 导致二元函数有了不同于一元函数的一些性质, 二元函数的极限性质与连续性质也有了些许的变化, 所以读者不能照抄照搬一元函数的相关性质, 需要认真理解和整理二元函数的性质. 另外, 由于二元函数的自变量个数变为两个, 使得二元函数定义了累次极限与重极限这两个极限, 它们之间的关系也一直作为重点内容被大家探讨. 在本文中, 对这两个极限之间的关系进行了讨论, 整理了二元函数的一些性质. 同样, 由于自变量个数变为两个, 使得二元函数的连续性也变得些许不同, 二元函数两个变量的连续性与函数的连续性问题也成为了困扰大家的问题. 文中对这一问题进行了简单讨论, 并对二元函数的