二项分布泊松分布正态分布的关系及比较.docx

二项分布、泊松分布、正态分布的关系及比较内容摘要概率论中最基本的概率分布是二项分布、泊松分布以及正态分布这三种随机变量的分布，并且这三种分布也是生活中最常用的分布方式，这三种分布方式在一定的条件下，有着非常密切的联系，本文给出了这几种概率分布之间通过极限关系达成的近似，运用到了特征函数、分布函数、极限分布等知识，并根据三种分布之间的关系举出例子，便于更好地理解这三种概率分布。【关键词】二项分布 泊松分布 正态分布 极限The relation and comparison of binomial distribution, Poisson distribution and normal distribution AbstractProbability theory is the most basic probability distribution in the binomial distribution, Poisson distribution and normal distribution of the three, the distribution of random variables and distribution of the three distribution is the most commonly used in life, one of the three distribution under certain conditions, has a very close connection, the several kinds of probability distribution are given in this paper through the ultimate relationship between approximate, using the characteristic function, distribution function, the limiting distribution of knowledge, and according to the relationship between the distribution of three cite examples, to facilitate a better understanding of the three kinds of probability distribution.【 key words 】binomial distribution Poisson distribution normal distribution limit 目录1.相关概念及定理11.1二项分布11.2泊松分布11.3正态分布22.各概率分布间的关系22.1二项分布与泊松分布的关系22.2二项分布与正态分布的关系42.3泊松分布与正态分布的关系63.三种概率分布的比较94.总结9参考文献 11致谢 12二项分布、泊松分布、正态分布的关系及比较学生姓名：郑文馨 指导教师：王全虎1.相关概念及定理1.1二项分布二项分布一种离散型的概率分布，是概率论中常见的分布方式，它描述的情况是在一样的条件的情况下，重复地做n次试验，每次试验只发生两种相互对立的结果，即n重伯努利试验，假设实验成功记为A，成功的概率为PA=p，则不成功的概率A就为PA=1-p=q 0<p<1,在发生的n重伯努利实验中，试验能成功的次数是k（k是一个随机变量），并且PX=k=Cnkpkqn-k其中， X是事件A所发生的次数（X的可能的所有的取到的值是0,1,2，n），每一次的试验p为A发生的概率。可以得到，每一个pk=Cnkpkqn-k恰好是二项式p+qn展开式中的每一个项，将这种概率分布称为X服从参数为n，p的二项分布，并记作Xbn,p，当Xb1，p的时候，X服从参数为p的0-1分布。二项分布EX=np,DX=np1-p。1.2泊松分布离散型概率分布包括了泊松分布和二项分布，在实际当中的应用特别广泛，但有一点不同，泊松分布指的是某一个小概率事情在特定时间当中发生的次数这种变量的分布，举例说，大量的螺丝钉中不能用的物品出现的次数等都服从泊松分布。假设随机变量X可以取到0,1,2,3，而取每一个值的概率为PX=k=ke-k!，k=0,1,2，其中，>0是常数，称作参数为的泊松分布被随机变量X服从，记作X。泊松分布EX=， DX=。1.3正态分布正态分布是一种连续型的分布，在生活中非常常见，很多的随机发生的事件都能够看作是正态分布。假设随机变量X的概率密度为fx=12e-x-222，-<x<，其中，（>0）为常数，称作X服从参数为，的正态分布或者高斯分布，记作XN，2。fx的图像有两种性质，第一是关于x=对称，这就说明对于任意h>0有P-h<X=P<X+h当x=时取到最大值f=12，x离越远，fx的值越小。正态分布的EX=， DX=2。如果是标准的正态分布，那么=0，2=1，记作X N，2。引理：假设XN，2，那么Z=X-N0,1证明：Z=X-的分布函数为PZx=PX-x=PX+x =12-+xe-t-222dt另t-=u，得PZx=12-xe-u22du=x就得到Z=X-N0,12.各概率分布间的关系2.1二项分布与泊松分布的关系定理1：泊松定理假设是一个常数，且>0，n是任意一个正整数，设npn=，那么对于任意一个固定的而且是非负整数的k，有limnnkpnk1-pnn-k=ke-k!证明：因为npn=，则pn=n，就有nkpnk1-pn-k=nn-1n-k+1k!nk1-nn-k =kk!11-1n1-k-1n1-nn1-n-k对于一个任意地固定的k，当n的时候11-1n1-k-1n1，1-nne-，1-n-k1所以，就可以从上述的近似中推导出limnnkpnk1-pnn-k=ke-k!从泊松定理中可知，条件是npn=，也就是说，当n重伯努利试验的次数非常大时，pn一定很小，那么，泊松定理就可以理解成，当实验次数n特别大，概率p非常小的时候，可以近似为nkpk1-pn-kke-k!公式中的=np。我们可以从泊松定理中看到，在这些条件之下，二项分布经过求极限的过程，就可以得到泊松分布。各项参数之间的关系可以记np，那么，从这个结论中我们就可以知道两种概率分布的近似值一样的话，它们的期望也就非常接近了。我们可以根据下面这组表的数据进行对比发现，在参数值n，p是怎样大小的一个数值时，二项分布可以通过极限方法近似地研究成泊松分布。表1：二项分布和泊松分布的比较表n=5,p=0.02n=20,p=0.1kb5,0.020.1kb20,0.1200.90390.904800.12160.135310.09220.090510.27020.270720.00380.004520.28520.2707从这两组数据中我们就可以分析出来，在这n，p两个参数中，无论n是多大，只要是p可以足够小，就可以利用泊松定理达成二项分布和泊松分布之间的近似，但是值得注意的问题是，需要在n足够大，但np不太大的情况时，才可以近似，如果两个参数不满足这个条件，也就不能运用泊松定理来近似相同，一般情况下，我们要求在p0.1，并且n越大时，两者近似程度越好，可以达到对精确的近似值。例1：已知我国有一种特殊疾病，这种特殊疾病的患者通过自己可以治好痊愈的概率为0.1，为了消灭这种特殊疾病，医院发明出一种特殊药物，为了测试这种特殊药物是否能够把疾病治疗好，医生把发明的药物给了10个患病病人服用，并且提前约定一个药物是否有效的准则：在这10个患病病人之中，至少应有3个人能够治好这种病，则认为此药物是有效的，可以提高痊愈率，若没有3个人能治好这种病，则药物无效，求药物本来是完全无效的，但是通过这个测验被认为药物有效的概率。解题思路：在题目中给出的可以痊愈的概率p和患病病人的总数n能看作构成二项分布的两个参数条件，也能将这两个条件作为将二项分布与成泊松分布之间近似的条件，所以应分别用二项分布和泊松分布的方法来解出所求问题，再将两种方法的结果去作比较。解：用随机变量X来表示10个病人中服用药物后痊愈的人数，那么用二项分布的方法来表示，即Xb10，0.1，那么，可以根据条件求出PX3=1-k=02C10k×0.1k×0.910-k=0.0702运用两种分布之间的近似关系能够求到PX3=k=310C10k×0.1k×0.910-k k=3101kk!e-1 0.0803从分别用两种概率分布计算出的结果来看，用二项分布的方法来解觉这个题目比较繁琐，但是运用另一种二项分布与泊松分布的近似条件的方法，让题目的二项分布方法转换成泊松分布来解决，就能够很简单的计算出来，并且近似的效果也是很良好的。例2：某公司回馈客户，现在有以下的一个活动：老客户中有10000人可以参加这一活动，每个人每年需要交200元的活动费用，在接下来一年的时间里，如果客户发生了一些意外状况，那么公司将会给客户的亲属赔偿10000元，现在如果在一年内客户发生意外的概率为0.001，那么公司亏本的概率是多少？ 解题思路：题目中参加活动的人数10000和发生意外的概率0.001分别作为二项分布的参数，就有Xb10000,0.001，由于试验次数非常大，所以可以用二项分布和泊松分布的近似关系解题。解：公司在这一年里可以赚2000000元，其亏本的概率为PX>20=1-PX20 =1-k=02010kk!e-10 =1-0.998=0.0022.2二项分布与正态分布的关系定理2：棣莫弗-拉普拉斯定理假设以n，p（0<p<1）为参数的二项分布由随机变量n(n=1,2,)服从，那么有任意一个x，符合limnPn-npnp1-px=12-xe-t22dt=x即对于任意的a<b，limnPa<n-npnp1-p<b=12abe-t22dtnNnp，np1-p（近似）证明：在前面的学习中知道，二项分布的Xk只依赖于第k次试验，而每一次的试验都是相互独立的，并且，X=X1+X2+Xn，那么就知道X1，X2，Xn之间独立， n个互相独立且都服从以p为参数的0-1分布的随机变量的和可以由二项分布分解得到。在这一公式下，n个相互独立并且服从同一个分布的随机变量X1，X2，Xn的和能够由n分解出来，并且n=k=1nXk， PXk=i=pi1-p1-i是其分布律，（ i=0,1）因为EXk=p，DXk=p1-p，由中心极限定理能够得到limnPn-npnp1-px=limnPk=1nXk-npnp1-px =12-xe-t22dt=x这一定理表明，如果将概率p固定不变，定理中，nbn,p,当n非常大时，n可以近似成正态分布。即如果X为二项分布并且是以n，p为参数的，当n很大的时候，PXa=PX-npnp1-pa-npnp1-pa-npnp1-p但由于二项分布这种概率分布是属于离散的，而正态分布不同，是连续的，所以在使用二项分布近似于正态分布时需要注意做一些改变，才能加以利用。比如，在计算Panb时，先将其改变一个区间，变成Panb=Pa-0.5<n<b+0.5，之后再利用定理做近似。运用这一定理，可以进行这一类近似的计算，即对于概率值的估计：假设n重伯努利试验中，某事件X为可能发生的概率，记作P0<P<1，那么，我们可以得到，这一时间发生的次数在a1和a2之间发生的概率为Pa1Xa2，用二项分布的概率来表示Pa1Xa2=a=a1a2Cnapa1-pn-a，当a1a2，并且n很大时，用二项分布的方法计算难免会有些困难，这时，就可以利用极限定理来近似计算Pa1<X<a2=Pa1-npnp1-p<X-npnp1-pa2-npnp1-p =xdx =-其中，=a1-npnp1-p，=a2np1-p，x=12ex22。还有值得注意的一点是，运用近似时，因为概率P和次数a是固定的，而当Cnapa1-pn-a中的实验次数n时，它的值是趋近于0的，所以，对于这样的式子就可以运用上述极限定理进行近似计算。当n很大，且np和n1-p都比较大的时候，用极限定理所近似出来的结果是比较精确的近似值。通过查询，我们一般认为当0.1p0.9，np1-p3时，可以运用棣莫弗-拉普拉斯定理得到一个相对精确的近似值。例3：某一个公司内有1000名员工，在一个特定的时间内，每个员工去公司洗浴室洗澡的概率是0.05，假设每一个员工去不去洗浴室洗澡是相互独立的。那么这个洗浴室最少要有多少个位置才能让员工来洗澡的时候都有位置的概率不低于0.95的概率？解题思路：从题目中能够直接得出一个结论，这个概率可以看作服从以员工人数1000,洗澡概率0.05为参数的二项分布，也可以将前面的条件作为用二项分布去近似成为正态分布的条件，可以分别用二项分布和正态分布两种方法解答，但是由于作为二项分布来说，试验次数很大，用二项分布的解法会有点困难，所以用二项分布近似正态分布的棣莫弗-拉普拉斯定理解答是很好的办法。解： 假设a为洗浴室至少需要有的位置数，则将条件代入棣莫弗-拉普拉斯定理可以得到Pa-npnp1-px=x通过查找标准正态分布表可以得到1.65=0.9505，然后将这一数据代入上式中计算出a为62，即至少需要有62个位置才可以。例4：某一个化妆品公司有200台相互之间独立制造化妆品的机器，每一台机器都有0.6的概率可以正常的运转，并且每台机器正常运转需要消耗1000瓦的电，那么，要保证公司有0.999的概率能够正常生产化妆品，最少应该供应多少瓦的电？解题思路：从题目中能够得出一个结论，这个概率能够看作服从以机器数量1000,正常运转概率0.05为参数的二项分布，也可以作为用二项分布去近似成为正态分布的条件。解：假设最少要供应q千瓦的电才能正常运转，那么代入棣莫弗-拉普拉斯定理可以得到PXq=P0xq =P0-12048X-12048q-12048 =q-120480.999通过查找标准正态分布表可以得到q-120483.1，然后计算出q为142，即最少应该供应142千瓦的电。2.3泊松分布与正态分布的关系之前的内容我们已经研究过了三种分布两两之间的关系，二者都是通过极限的方式达成的近似，那么，猜想后两者之间能否通过同样的方式达成近似呢？因为运用正态分布方法得到的概率值与泊松分布在一定条件下计算得到的概率值相似，所以将这种方法被称为泊松分布的正态近似。定理3：假设以参数的泊松分布由随机变量X所服从，那么对于其中任意的一个随机变量X都有limPX-<x=12-xe-t22dt证明：如果随机变量X服从以为参数的泊松分布，那么，说明X的特征函数是Xt=eeit-1，另 Y=X-，那么，可以从泊松的特征函数公式中推导出Y的特征函数是Yt=Xte-it=e-iteeit-1=eeit-1-it根据泰勒公式，得到eit=1+it-t22!+t2，然后得到eit-1-it=-t22+1，当时，eit-1-t22，所以limYt=e-t22当分布是标准正态分布N0,1时，它的特征函数是e-t22。根据定理3的证明，我们能够知道当参数的泊松分布的非常大时，可以知道两种分布之间的近似关系。能够知道，当p很小，并且n不太大的时候，np的值就不是很大，从刚刚证明的定理中可以知道，泊松分布和正态分布间的近似就不会比较精确。下面为了能够更加直观地观察到三种概率分布的近似比较，我们用一组数据进行试验表2：三种分布比较表kb2500,0.02N50,750250.00000.00010.0000300.00060.00100.0007350.00520.00570.0054400.02120.02050.0215450.04600.04420.0458500.05690.05700.0563550.04240.04420.0422600.01990.02050.0201650.00610.00570.0063泊松分布于正态分布之间的近似关系在另外一个方面表现成两者分布函数之间的相似，这就牵扯到了随机变量的特征函数这一板块。特征函数有一个特别重要的性质： 定理4：唯一性定理F1x和F2x是两个分布函数，它们是恒等的1x和2x它们的特征函数，且它们是恒等的。定理的证明在文献4中已经给到。例5：某家工厂里新接了一笔订单，甲方要求供给的螺钉每10个中间不能超过6个残缺的物品。在以前的质检数据中提到了，该厂的螺钉以每10个螺钉为一组，平均每10个螺钉有8个是有残缺的，如果该厂不将制造螺钉的技术改进，那么预计将有多少个产品会是不合格产品？解题思路：根据题目中所给出的数据发现，可以利用以参数为8的泊松分布来解决问题，但是用泊松分布计算需要将每10个当中分别有0，1，6个残缺的概率都计算出来，未免会有一些繁琐，那么可以根据泊松分布和正态分布的近似关系，将题目用正态分布来解决，可以看到参数的值是大于二者近似条件的。解：用泊松分布的方法P0x6=P0+P1+P6Pk=0=ke-k!=e-8×800!=0.000335Pk=1=ke-k!=e-8×811!=0.002684Pk=2=ke-k!=e-8×822!=0.010735Pk=3=ke-k!=e-8×833!=0.028626Pk=4=ke-k!=e-8×844!=0.057252Pk=5=ke-k!=e-8×855!=0.091603Pk=6=ke-k!=e-8×866!=0.122138P0x6=P0+P1+P6=0.313373那么，就有68.66%的产品属于不合格品。与正态分布的近似用两种分布的近似时，需要将泊松分布的概率区间进行改变，改变之后正态分布的概率区间就是P-0.5x6.5，P-0.5x6.5=P-0.5-88z6.5-88=P-3.01z-0.53通过查正态分布表得P-3.01z0=P0z3.01=0.4987P-0.53z0=P0z0.53=0.2019P-3.01z-0.53=0.4987-0.2019=0.2968通过正态分布的计算，有70.32%的产品不合格。这两种方法的计算结果误差已经很小了。3.三种概率分布的比较二项分布和泊松分布分布所可能取到的值都是有限个或者可以列出来无限多个，不能按照一定的次序将它们排列出来，那么，这两种概率分布想计算出来，就需要知道随机变量X的所有可能的取值以及每一个可能取到的值的概率。在结果只有两种情况，也就是发生或者不发生的情况下，用二项分布的思路就能够解决问题，相比于二项分布来说，泊松分布在实际生活应用中更加常见，它发生事件的概率比较小，基本上我们实际遇到的问题都可以用泊松分布来解决。正态分布是这三种常见的概率分布中唯一的一个连续型的概率分布，很多随机现象都服从正态分布，当有很多细小因素的影响，但不会对事件结果产生很大的差别的情况下，这类事件就服从正态分布，所以正态分布在很多实际的应用方面都有着非常重要的地位。4.总结综上所述，二项分布bn,p中的参数n和p，无论n是多大，只要是p可以足够小，就能利用定理1泊松定理来达成二项分布与泊松分布的近似，还有另外一个条件是，需要在n足够大，但np不太大的情况时，才可以近似，如果两个参数不满足这个条件，也就不能运用泊松定理来近似相同，一般情况下，我们要求在p0.1，并且n越大时，两者近似程度越好，可以达到对精确的近似值。当n已经很大时，n便可以近似地用做正态分布，当n非常大，且np和n1-p都比较大的时候，用极限定理所近似出来的结果是比较精确的近似值。在p非常小并且n非常大时，二项分布与泊松分布和正态分布的近似计算都能够达到比较精确的近似值。当参数非常大时，一般认为>5的时候，泊松分布就可以和正态分布之间达成近似来计算。参考文献1张丹.几种常见概率统计分布之间的关系J.咸阳师范学院学报,2019,34(02):51-54.2李玲.常见概率分布间的极限关系J.科技资讯,2019,17(08):221-222.3李晓辉,任伟和.浅谈二项分布与正态分布之间的关系J.石家庄理工职业学院学术研究,2014,9(02):1-3.4于洋.浅析二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系J.企业科技与发展,2008(20):108-110.5梁好翠.三种重要概率分布的关系及其应用J.钦州学院学报,2007(03):9-11.6孙红伟.二项分布两种近似计算的讨论J.河南教育学院学报(自然科学版),2007(01):28-29.7马小霞.有关二项分布的近似计算J.楚雄师范学院学报,2007(03):23-26.致谢美好总是短暂的，大学时光很快就告一段落。首先，感谢我的指导老师王全虎老师，从选题到收集资料，从初稿到最终敲定，都提出了很多建议，细心、不厌其烦地指导修改我的论文，使我可以顺利地完成这项任务，也在这段时间里，我从老师的身上学到了很多可贵的品质，过硬的专业知识，耐心指导时的平易近人，工作中的矜矜业业，都让我受益匪浅，再次对我的老师说一声感谢！另外，感谢我的同窗们，在写论文中给了我许多的帮助。我会继续努力，无论今后怎样发展，我从老师和朋友们身上学习到的东西都会伴随我，时刻提醒我不畏困难，这也是我给自己的最大的鼓励。14