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国家开放大学工程数学章节测试参考答案 第第 2 章章 矩阵矩阵（一）单项选择题（一）单项选择题（每小题每小题 2 分，分，共共 20 分）分）设，则（D）A.4 B.4 C.6 D.6 若，则（A）A.B.1 C.D.1 乘积矩阵中元素（C）A.1 B.7 C.10 D.8 设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B）A.B.C.D.设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（D）A.B.C.D.下列结论正确的是（A）A.若是正交矩阵，则也是正交矩阵 B.若均为阶对称矩阵，则也是对称矩阵 C.若均为阶非零矩阵，则也是非零矩阵 D.若均为阶非零矩阵，则 aaabbbccc1231231232aaaabababccc123112233123232323000100002001001aaa 12121124103521c23A B,nABAB111()ABBA11()ABAB111()ABA B111A B,nk 0k 1ABABABn A BkAk A kAkAn()AA1A B,nABA B,nABA B,nAB 0矩阵的伴随矩阵为（C）A.B.C.D.方阵可逆的充分必要条件是（B）A.B.C.D.设均为阶可逆矩阵，则（D）A.B.C.D.设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A）A.B.C.D.（二）填空题（二）填空题（每小题每小题 2 分，分，共共 20 分）分）7 。是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 。若为矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为 54 矩阵。二阶矩阵 1501。设，则 063518。设均为 3 阶矩阵，且，则 72 。13251325132553215321AA 0A 0A*0A*0A B C,n()ACB1()BA C111B CA11A CB111()()BCA111A B C,n()ABAABB2222()AB BBAB2()221111ABCCBA()22ABCC B A 21014000111111111xxA34B25AC B CA 11015AB124034120314,()AB A B,AB 32AB设均为 3 阶矩阵，且，则 -3 若为正交矩阵，则 0 矩阵的秩为 2 设是两个可逆矩阵，则 1112 （三）解答题（三）解答题（每小题每小题 8 分，分，共共 48 分）分）设，求；解：=0318 =6604 =171637 =2622120 =772312 =562115180 设，求 解：=（A+B）C=024201114321002=64102210 已知，求满足方程中的 解：X=12（3A B）=128322527115=432115217211252 写出 4 阶行列式 A B,AB 13,312()A BAa101a 212402033AA12,AOOA121ABC123511435431,ABAC23ACAB5AB()AB CABAC23ACAB5AB()AB CABC121012103211114321002,ACBCACBCAB 310121342102111211,32AXBX32AXB 中元素的代数余子式，并求其值 解：41=（1）4+1|020436253|=0 42=（1）4+2|120136053|=45 用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：；解：（1）1=192929291929292919 （2）1=2262617175201310214153 （3）1=1000110001100011 求矩阵的秩 解：1020143602533110aa4142,122212221123423121111102610001100111011111011011110110010121012113201（四）证明题（四）证明题（每小题每小题 4 分，分，共共 12 分）分）对任意方阵，试证是对称矩阵 若是阶方阵，且，试证或 若是正交矩阵，试证也是正交矩阵 第第 3 章章 线性方程组线性方程组（一）单项选择题（一）单项选择题(每小题每小题 2 分，分，共共 16 分分)用消元法得的解为（C）A.B.C.D.线性方程组（B）A.有无穷多解 B.有唯一解 C.无解 D.只有零解 向量组的秩为（A）A.3 B.2 C.4 D.5 AAAAnAAI A 11AAxxxxxx12323324102xxx123,1 02,7 22,11 22,1122xxxxxxx12313232326334100010001121304,设向量组为，则（B）是极大无关组 A.B.C.D.与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D）A.秩秩 B.秩秩 C.秩秩 D.秩秩 若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A）A.可能无解 B.有唯一解 C.有无穷多解 D.无解 以下结论正确的是（D）A.方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B.方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C.方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D.齐次线性方程组一定有解 若向量组线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出 A.至少有一个向量 B.没有一个向量 C.至多有一个向量 D.任何一个向量（二）填空题（二）填空题(每小题每小题 2 分，分，共共 16 分分)当 1 时，齐次线性方程组有非零解 向量组线性 相关 向量组的秩是 3 设齐次线性方程组的系数行列式，则这个方程组有 无穷多 解，且系数列向量是线性 相关 的 12341100001110101111,12,123,124,1AA()A()A()A()A()A()A()A()A 112,sxxxx121200120 0 01 1 1,1 2 31 2 01 0 00 0 0,1122330 xxx 1230123,向量组的极大线性无关组是 1，2 向量组的秩与矩阵的秩 相同 设线性方程组中有 5 个未知量，且秩，则其基础解系中线性无关的解向量有 2 个 设线性方程组有解，是它的一个特解，且的基础解系为，则的通解为（三）解答题（三）解答题(第第 1 小题小题 9 分，分，其余每小题其余每小题 11 分分)1设有线性方程组 为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?2判断向量能否由向量组线性表出，若能，写出一种表出方式其中 1231 00 10 0,12,s12,sAX 0()A 3AXbX0AX 0XX12,AXb11111112xyz123,83710271335025631123,3计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关；（2）求出该向量组的一个极大无关组。4求齐次线性方程组 的一个基础解系 解：1234112343789131303319636,xxxxxxxxxxxxxxx1234123412341243205230112503540 5求下列线性方程组的全部解 解：6求下列线性方程组的全部解 xxxxxxxxxxxxxxx12341234124123452311342594175361 xxxxxxxxxxxxxxxx123412341234123432638502412432 （四）证明题（四）证明题(本题本题 4 分分)试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解 第第 4 章章 随机事件与概率随机事件与概率（一）单项选择题（一）单项选择题(每小题每小题 2 分，分，共共 16 分分)为两个事件，则（B）成立 A.B.C.D.如果（C）成立，则事件与互为对立事件 A.B.C.且 D.与互为对立事件 袋中有 5 个黑球，3 个白球，一次随机地摸出 4 个球，其中恰有 3 个白球的概率为（A）A B,()ABBA()ABBA()ABBA()ABBAABAB ABUAB ABUAB A.B.C.D.10 张奖券中含有 3 张中奖的奖券，每人购买 1 张，则前 3 个购买者中恰有 1人中奖的概率为（D）A.B.C.D.同时掷 3 枚均匀硬币，恰好有 2 枚正面向上的概率为（D）A.0.5 B.0.25 C.0.125 D.0.375 已知，则（B）成立 A.B.C.D.对于事件，命题（C）是正确的 A.如果互不相容，则互不相容 B.如果，则 C.如果对立，则对立 D.如果相容，则相容 某随机试验每次试验的成功率为，则在3次重复试验中至少失败1次的概率为（B）A.B.C.D.（二）填空题（二）填空题(每小题每小题 2 分，分，共共 18 分分)从数字 1,2,3,4,5 中任取 3 个，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为 2/5 从个数字中有返回地任取 个数（，且个数字互不相同），则取到的个数字中有重复数字的概率为1 Prn/nr 有甲、乙、丙三个人，每个人都等可能地被分配到四个房间中的任一间内，则584C()38583C8433858()38C10320703.03.07032.307032.P BA A(),012P A B()10PAABP A BP A B()()()1212P A A B()120P A A B()121A B,A B,A B,ABABA B,A B,A B,A B,pp()01()13 p13 p3 1()p()()()111322pppppnrrnnr三个人分配在同一间房间的概率为 1/16 ，三个人分配在不同房间的概率为 3/8 已知，则当事件互不相容时，0.8，0.3 为两个事件，且，则 P(A)已知，则 1-P 若事件相互独立，且，则 P+q-Pq 若互不相容，且，则 0 ，若相互独立，且，则 P(B)9 已知，则当事件相互独立时，0.65，0.3 （三）解答题（三）解答题(第第 1、2、3 小题各小题各 6 分，分，其余题目各其余题目各 8 分，分，共共 66 分分)设 A,B 为两个事件，试用文字表示下列各个事件的含义：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）参考答案：参考答案：为三个事件，试用的运算分别表示下列事件：（1）中至少有一个发生；（2）中只有一个发生；P AP B().,().0305A B,P AB()P AB()A B,BAP AB()P ABP ABP Ap()(),()P B()A B,P Ap P Bq(),()P AB()A B,P A()0P B A()A B,P A()0P B A()P AP B().,().0305A B,P AB()P A B()ABABABAABABABABA B C,A B C,A B C,A B C,（3）中至多有一个发生；（4）中至少有两个发生；（5）中不多于两个发生；（6）中只有发生 参考答案：参考答案：袋中有 3 个红球，2 个白球，现从中随机抽取 2 个球，求下列事件的概率：（1）2 球恰好同色；（2）2 球中至少有 1 红球 参考答案：参考答案：（1）袋中有 3 个红球，2 个白球，现从中随机抽取 2 个球，所有可能的结果为，2 球恰好同色，即同为红球或同为白球，可能的结果有 。所以，2 球恰好同色的概率为 4/10=0.4。（2）2 球中至少有 1 红球，即 1 红 1 白或者 2 红，可能的结果有。所以，2 球中至少有 1 红球的概率为 9/10=0.9。一批产品共 50 件，其中 46 件合格品，4 件次品，从中任取 3 件，其中有次品的概率是多少?次品不超过 2 件的概率是多少?参考答案：参考答案：有次品的概率为：1 346350 A B C,A B C,A B C,A B C,C次品不超过 2 件的概率为：1 34350 设有 100 个圆柱圆柱形零件，其中 95 个长度合格，92 个直径合格，87 个长度直径都合格，现从中任取一件该产品，求：（1）该产品是合格品的概率；（2）若已知该产品直径合格，求该产品是合格品的概率；（3）若已知该产品长度合格，求该产品是合格品的概率 参考答案：参考答案：设长度合格为 A 事件，直径合格为 B 事件，则长度直径都合格为 AB 事件，根据题意有：P(A)=0.95，P(B)=0.92，P(AB)=0.87。（1）该产品是合格品的概率为；（2）已知该产品直径合格，则该产品是合格品的概率为；（3）已知该产品长度合格，则该产品是合格品的概率为。加工某种零件需要两道工序，第一道工序的次品率是 2%，如果第一道工序出次品则此零件为次品；如果第一道工序出正品，则由第二道工序加工，第二道工序的次品率是 3%，求加工出来的零件是正品的概率 参考答案：参考答案：设事件 A1=第一道工序为正品；事件 A2=第二道工序为正品；事件 B=加工出来的零件为正品。所以，加工出来的零件是正品的概率为：市场供应的热水瓶中，甲厂产品占 50%，乙厂产品占 30%，丙厂产品占 20%，甲、乙、丙厂产品的合格率分别为 90%,85%,80%，求买到一个热水瓶是合格品的概率 参考答案：参考答案：设事件 A1=甲厂产品;事件 A2=乙厂产品;事件 A3=丙厂产品;事件 B=买到一个热水瓶是合格品。所以，买到一个热水瓶是合格品的概率为：一批产品中有 20%的次品，进行重复抽样检查，共抽得 5 件样品，分别计算这5 件样品中恰有 3 件次品和至多有 3 件次品的概率 参考答案：参考答案：5 件样品中恰有 3 件次品的概率为：；5 件样品中至多有 3 件次品的概率为：。加工某种零件需要三道工序，假设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%,3%,5%，并假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率 参考答案：参考答案：设事件 A1=第一道工序为正品;事件 A2=第二道工序为正品;事件 A3=第三道工序为正品;事件 B=加工出来的零件为正品。加工出来的零件的次品率为：第第 5 章章 随机变量及其数字特征随机变量及其数字特征（一）单项选择题（一）单项选择题(每小题每小题 2 分，分，共共 14 分分)设随机变量，且，则参数与分别是（A）A.6,0.8 B.8,0.6 C.12,0.4 D.14,0.2 设为连续型随机变量的密度函数，则对任意的，（A）A.B.C.D.在下列函数中可以作为分布密度函数的是（B）A.B.C.D.设连续型随机变量的密度函数为，分布函数为，则对任意的区间，则（D）A.B.C.D.设为随机变量，则（D）A.B.C.D.设为 随 机 变 量，当（C）时，有 A.B.XB n p(,)E XD X().,().48096npf x()Xa b ab,()E X()xf xx()dxf xxab()df xxab()df xx()df xxx()sin,2320其它f xxx()sin,020其它f xxx()sin,0320其它f xxx()sin,00其它Xf x()F x()(,)a bP aXb()F aF b()()F xxab()df af b()()f xxab()dXDX()2323D X()2D X()23D X()4D X()XE XD X(),()2E YD Y(),()01YXYX C.D.7.设是随机变量，设，则（B）(A)(B)(C)(D)（二）填空题（二）填空题(每小题每小题 2 分，分，共共 14 分分)已知连续型随机变量的分布函数，且密度函数连续，则 F(x)随机变量，则的分布函数(0,1)0 其它 若，则 6 ，则 0.9974 二维随机变量的相关系数，则称 相互独立 称为二维随机变量的 协方差 7.设连续型随机变量的密度函数是，则()（三）解答题（三）解答题(每小题每小题 8 分，分，共共 72 分分)某射手连续向一目标射击，直到命中为止已知他每发命中的概率是，求所需设计次数的概率分布 参考答案：参考答案：Px=1=PA1=p Px=2=P12=(1-p)p Px=2=P123=(1-p)2p 设随机变量的概率分布为 YXYX2X2)(XDYaXb)(YDab2a22a2ba22XF x()f x()f x()XU(,)0 1XF x()XB(,.)20 03E X()XN(,)2P X()3(,)X YX Y,0X Y,EXE XYE Y()()(,)X YX)(xf)(bXaPpXX012345601015020301201003.试求 参考答案：参考答案：P（X4）=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）+P（X=3）+P（X=4）=1-P（X=5）-P（X=6）=0.87 P（2X5）=P（X=2）+P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）=0.72 P（X3）=1-P（X=3）=0.7 设随机变量具有概率密度 试求 参考答案：参考答案：Px1/2=1202xdx=x|120=1/4 P1/4x2=1142+0=x|120=1-1/16=15/16 已知随机变量的概率分布为 求 参考答案：参考答案：由公式有 E(X)=10=1=10=12 110=21010=1=11 由于 E(X2)=10=12=10=1(2)2110=154 因此 D(X)=E(X2)-(E(X)2=154-112=33 设，求 P XPXP X(),(),()4253Xf xxx(),2010其它P XPX(),()12142XP Xkk()(,)1102 4 618 20E XD X(),()Xf xxx(),2010其它E XD X(),()参考答案：参考答案：E(X)=10 2=1022=233|10=23 D(X)=10(23)2 2=10(23832+89)=(42893+492)|10=118 已知 100 个产品中有 5 个次品，现从中任取 1 个，有放回地取 3 次，求在所取的 3 个产品中恰有 2 个次品的概率 参考答案：参考答案：每次取一次然后放回，该事件符合几何分布，设随机变量 X 为取得次品的数量。则，P(x=2)=23(5100)295100=0.007125 某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为 0.8，该运动员投篮 4 次，求投中篮框不少于 3 次的概率；至少投中篮框 1 次的概率 参考答案：参考答案：投中篮框不少于 3 次的概率：P(A)=34(0.8)3(1 0.8)=0.4096 至少投中篮框 1 次的概率：P(B)=1 (0.2)4=0.9984 设，计算；参考答案：参考答案：=P(0.2 8 81.8 8)=P(99 8 91)=(91)(-99)=1 (91)1+(99)=(99)(91)(查表)0=1 P(X 0)XN(,.)20 022PX(.)0218P X()0PX(.)0218P X()0 =1 P(8 100)=1 (100)=(100)=1 9.设是独立同分布的随机变量，已知，设，求 参考答案：参考答案：第第 6 章章 统计推断统计推断（一）单项选择题（一）单项选择题(每小题每小题 2 分，分，共共 6 分分)设是来自正态总体（均未知）的样本，则（A）是统计量 A.B.C.D.设是来自正态总体（均未知）的样本，则统计量（D）不是的无偏估计 A.B.C.D.3.对正态总体方差的检验用的是（C）(A)检验法 (B)检验法(C)检验法 (D)检验法 XXXn12,E XD X(),()112XnXiin11E XD X(),()xxxn12,N(,)2,2x1x1x122x1xxx123,N(,)2,2max,xxx1231212()xx212xxxxx123UT2F（二）填空题（二）填空题(每小题每小题 2 分，分，共共 14 分分)1统计量就是 不含未知参数的样本的函数 2参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 常用的参数点估计有 矩估计法_和 最大似然估计法 两种方法 3比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性，有效性 4设是来自正态总体（已知）的样本值，按给定的显著性水平检验，需选取统计量U=0/5假设检验中的显著性水平为“弃真”错误，即事件（当 H0为真时拒绝 H0）发生的概率 6当方差已知时，检验所用的检验量是 t 检验量 。7 若 参 数的 估 计 量满 足 E(1,2,)=，则称为的无偏估计。（三）解答题（三）解答题(每小题每小题 10 分，分，共共 80 分分)1设对总体得到一个容量为 10 的样本值 4.5,2.0,1.0,1.5,3.5,4.5,6.5,5.0,3.5,4.0 试分别计算样本均值和样本方差 参考答案：参考答案：2在测量物体的长度时，得到三个测量值：3.00 2.85 3.15 若测量值，试求的最大似然估计值 参考答案：参考答案：xxxn12,N(,)22HH0010:;:20100:,:HH),(21nxxx),(21nxxxXxs2XN(,)2,2 3设总体的概率密度函数为 试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数 参考答案：参考答案：4测两点之间的直线距离 5 次，测得距离的值为（单位：m）：108.5 109.0 110.0 110.5 112.0 测量值可以认为是服从正态分布的，求与的估计值并在；未知的情况下，分别求的置信度为 0.95 的置信区间 参考答案：参考答案：Xf xxx(;)(),1010其它N(,)22225.2 5测试某种材料的抗拉强度，任意抽取 10 根，计算所测数值的均值，得 假设抗拉强度,试以 95的可靠性估计这批材料的抗拉强度的置信区间。参考答案：参考答案：10120101iixx10122521101iixxs.)(6 设某产品的性能指标服从正态分布，从历史资料已知，抽查 10个样品，求得均值为 17，取显著性水平，问原假设是否成立 参考答案：参考答案：7某零件长度服从正态分布，过去的均值为 20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取 8 个样品，测得的长度为（单位：cm）：20.0,20.2,20.1,20.0,20.2,20.3,19.8,19.5 问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（）参考答案：参考答案：N(,)2 4 005.H020:005.8从一批袋装食盐中随机抽取 5 袋称重，重量分别为（单位：g）1000，1001，999，994，998 假设这批食盐的重量服从正态分布，试问这批食盐重量的均值可否认为是1000g?().参考答案：参考答案：05.0