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线性分组码一、 教学目标：1明确分组码的概念和性质。2掌握监督矩阵H和生成矩阵G3掌握校验子S。4 理解汉明码二、教学重点、难点：重点掌握监督矩阵H和生成矩阵G。三、 教学过程设计：1基本概念分组码是一组固定长度的码组，可表示为（n , k），通常它用于前向纠错。在分组码中，监督位被加到信息位之后，形成新的码。在编码时，k个信息位被编为n位码组长度，而n-k个监督位的作用就是实现检错与纠错。当分组码的信息码元与监督码元之间的关系为线性关系时，这种就称为线性分组码。 对于长度为n的二进制线性分组码，它有种可能的码组，从码组中，可以选择M=个码组（k<n）组成一种码。这样，一个k比特信息的线性分组码可以映射到一个长度为n码组上，该码组是从M=个码组构成的码集中选出来的，这样剩下的码组就可以对这个分组码进行检错或纠错。2 主要性质线性分组码是建立在代数群论基础之上的，各许用码的集合构成了代数学中的群，它们的主要性质如下：（1） 任意两许用码之和（对于二进制码这个和的含义是模二和）仍为一许用码，也就是说，线性分组码具有封闭性；（2） 码组间的最小码距等于非零码的最小码重。对偶校验时的监督关系。在接收端解码时，实际上就是在计算：S = bn-1+bn-2+b1+b0 式1其中，、 表示接收到的信息位， 表示接收到的监督位，若S0，就认为无错；若S1就认为有错。式1被称为监督关系式，S是校正子。由于校正子S的取值只有“0”和“1”两种状态，因此，它只能表示有错和无错这两种信息，而不能指出错码的位置。3监督矩阵H和生成矩阵G将（7，4）码的三个监督方程式可以重新改写为如下形式： 式2对于式2可以用矩阵形式来表示： 式3上式可以记作：或，其中 式4通常H称为监督矩阵，A称为信道编码得到的码字。在这个例子中H为r×n阶矩阵，P为r×k阶矩阵，Ir为r×r阶单位矩阵，具有这种特性的H矩阵称为典型监督矩阵，这是一种较为简单的信道编译码方式。典型形式的监督矩阵各行是线性无关的，非典型形式的监督矩阵可以经过行或列的运算化为典型形式。也可以用矩阵形式来表示：式5或表示成为：式6 这时Q = PT，如果在Q矩阵的左边再加上一个k×k的单位矩阵，就形成了一个新矩阵G：式7这里G称为生成矩阵，利用它可以产生整个码组 式8利用上式产生的分组码必为系统码，也就是信息码元保持不变，监督码元附加在其后。 4校验子S在发送端信息码元M利用式8，实现信道编码，产生线性分组码A；在传输过程中有可能出现误码，设接收到的码组为B。则收发码组之差为：式9这里 ，表示i位有错，表示i位无错。基于这样的原则接收端利用接收到的码组B计算： 式10因此，校正子仅与E有关，即错误图样与校正子之间有确定的关系。4 汉明码汉明码是一种能够纠正单个错误的线性分组码。它有以下特点：（1） 最小码距，可以纠正一位错误；（2） 码长n与监督元个数r之间满足关系式：。如果要产生一个系统汉明码，可以将矩阵H转换成典型形式的监督矩阵，进一步利用Q = PT的关系，得到相应的生成矩阵G。通常二进制汉明码可以表示为：四、课后作业或思考题：1、一码长n=15的汉明码，监督位r应为多少？编码速率为多少？写出监督码元与信息码元之间的关系。2、已知（7，3）码的生成矩阵为列出所有许用码组并求监督矩阵。五、本节小结：本节主要介绍了线性分组码的基本概念和性质，通过（7，4）码的三个监督方程式推导出监督矩阵和生成矩阵。明确校正子与错误图样的关系。明确汉明码的概念和特点。