高考数学100个热点题型秒解技巧之利用公式法速解相间涂色问题.docx

化 难 为 易 化 繁 为 简 2019年4月版秒解高考数学100招 选择、填空篇 例（2016山东理7）函数的最小正周期是( )A. B. C. D.【秒解】根据口诀：和差不变,积商减半,易知以及的周期均为,则的周期为,选.四大特色助快速解题 100个秒解技巧 80个精妙二级结论 10年高考真题为例 700个例题深入剖析目录 CONTENTS61、集合 Þ 利用特值逆代法速解集合运算题22、集合 Þ 利用对条件具体化巧解集合运算题3、集合 Þ 运用补集运算公式简化集合计算4、简易逻辑 Þ 利用韦恩图巧解集合与数量关系题5、简易逻辑 Þ 借助数轴法巧解充要条件问题6、复数 Þ 利用逆代法、特值法速解含参型复数题7、复数 Þ 利用公式速解有关复数的模的问题8、复数 Þ 利用结论快速判断复数的商为实数或虚数9、复数 Þ 利用公式快速解决一类复数问题10、三视图 Þ 柱体和锥体的三视图快速还原技巧11、三视图 Þ 利用“三线交点”法巧妙还原直线型三视图12、不等式 Þ 利用逆代法巧解求不等式解集问题 13、不等式 Þ 利用特值法速解比较大小问题 14、不等式 Þ 利用数轴标根法速解高次不等式15、不等式 Þ 用代入法速解f型不等式选择题16、不等式 Þ 利用几何意义与三角不等式速解含有绝对值的不等式17、不等式 Þ 利用结论速解含双绝对值函数的最值问题18、不等式 Þ 利用“1的代换”巧解不等式中的最值问题19、不等式 Þ 利用“对称思想”速解不等式最值问题20、不等式 Þ 利用柯西不等式速解最值问题21、线性规划 Þ 利用特殊法巧解线性规划问题22、线性规划 Þ 高考中常见的线性规划题型完整汇总23、程序框图 Þ 程序框图高效格式化解题模式24、排列组合 Þ 排列组合21种常见题型解题技巧汇总25、排列组合 Þ 利用公式法速解相间涂色问题26、排列组合 Þ 速解排列组合之最短路径技巧27、二项式定理 Þ 二项式定理常见题型大汇总28、二项式定理 Þ 利用公式速解三项型二项式指定项问题29、平面向量 Þ 特殊化法速解平面向量问题30、平面向量 Þ 利用三个法则作图法速求平面向量问题31、平面向量 Þ 三点共线定理及其推论的妙用32、平面向量 Þ 平面向量等和线定理的妙用33、平面向量 Þ 向量中的“奔驰定理”的妙用34、平面向量 Þ 三角形四心的向量表示及妙用35、平面向量 Þ 利用极化恒等式速解向量内积范围问题36、空间几何 Þ 利用折叠角公式速求线线角37、空间几何 Þ 求体积的万能公式：拟柱体公式38、空间几何 Þ 空间坐标系中的平面的方程与点到平面的距离公式的妙用39、空间几何 Þ 利用空间余弦定理速求异面直线所成角40、空间几何 Þ 利用公式速解空间几何体的外接球半径41、函数 Þ 用特值法速解分段函数求范围问题42、函数 Þ 数形结合法速解函数的零点与交点问题43、函数 Þ 数型结合法巧解带f的函数型不等式44、函数 Þ 函数的周期性的重要结论的运用45、函数 Þ 利用特值法巧解函数图像与性质问题46、函数 Þ 通过解析式判断图像常用解题技巧47、函数 Þ利用结论 速解“奇函数C”模型问题48、函数 Þ 利用特值法速解与指数、对数有关的大小比较问题49、函数 Þ 巧用耐克函数求解函数与不等式问题50、函数 Þ 利用对数函数绝对值性质速解范围问题51、函数 Þ 巧用原型函数解决抽象函数问题52、函数 Þ 构造特殊函数巧解函数问题53、导数 Þ 特殊化与构造方法巧解导数型抽象函数问题54、导数 Þ 极端估算法速解与导数有关选择题55、导数 Þ 用母函数代入法巧解函数、导数中求范围问题56、导数 Þ 隐函数求导在函数与圆锥曲线切线问题中的妙用57、三角函数 Þ 利用口诀巧记诱导公式及其运用58、三角函数 Þ 利用结论速求三角函数周期问题59、三角函数 Þ 巧用特值法、估算法解三角函数图像问题60、三角函数 Þ 海伦公式及其推论在求面积中的妙用61、三角函数 Þ 借助直角三角形巧妙转换弦与切62、三角函数 Þ 特殊技巧在三角变换与解三角形问题中的运用63、三角函数 Þ 齐次式中弦切互化技巧64、三角函数 Þ 利用射影定理秒解解三角形问题65、三角函数 Þ 三角形角平分线定理的妙用66、三角函数 Þ 三角形角平分线长公式的妙用67、三角函数 Þ 三角形中线定理及其推论的妙用68、三角函数 Þ 利用测量法估算法速解三角形选择题69、三角函数 Þ 利用公式法速解三角函数平移问题70、数列 Þ 利用公式法速解等差数列与71、数列 Þ 利用列举法速解数列最值型压轴题72、数列 Þ 用特殊化法巧解单条件等差数列问题73、数列 Þ 等差数列性质及其推论的妙用74、数列 Þ 观察法速解一类数列求和选择题75、数列 Þ 巧用不完全归纳法与猜想法求通项公式76、数列 Þ 代入法速解数列选项含型选择题77、数列 Þ 一些数列选择填空题的解题技巧78、统计与概率 Þ 估算法速解几何概型选择题79、直线与圆 Þ 利用相交弦定理巧解有关圆的问题80、直线与圆 Þ 利用精准作图估算法速解直线与圆选择题81、直线与圆 Þ 利用两圆方程作差的几何意义速解有问题82、圆锥曲线 Þ 利用“阿波罗尼圆”速解一类距离比问题83、圆锥曲线 Þ 用点差法速解有关中点弦问题84、圆锥曲线 Þ 用垂径定理速解中点弦问题85、圆锥曲线 Þ 用中心弦公式定理速解中心弦问题86、圆锥曲线 Þ 焦点弦垂直平分线结论的妙用87、圆锥曲线 Þ利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程88、圆锥曲线 Þ 用公式速解过定点弦中点轨迹问题89、圆锥曲线 Þ 巧用通径公式速解离心率等问题90、圆锥曲线 Þ 巧用三角形关系速求离心率91、圆锥曲线 Þ 构造相似三角形速解离心率92、圆锥曲线 Þ 用平面几何原理巧解圆锥曲线问题93、圆锥曲线 Þ 利用焦点弦公式速解焦点弦比例问题94、圆锥曲线 Þ 利用焦点弦公式速解焦半径与弦长问题95、圆锥曲线 Þ 椭圆焦点三角形面积公式的妙用96、圆锥曲线 Þ 双曲线焦点三角形面积公式的妙用97、圆锥曲线 Þ 离心率与焦点三角形底角公式的妙用98、圆锥曲线 Þ 用离心率与焦点三角形顶角公式速求离心率范围99、圆锥曲线 Þ 用特值法巧解圆锥曲线选填题100、圆锥曲线 Þ 用对称思想速解圆锥曲线问题25、排列组合 Þ 利用公式法速解相间涂色问题【结论】:（1）中心为点的环状涂色问题涂法总数公式: (n2,m3) (其中为不同区域数,为不同颜色数)（2）中心为块的环状涂色问题涂法总数公式: (n3,m>4) （为除中心外的区域数,为不同颜色数,）（3）用种不同颜色涂棱锥的顶点涂法总数公式: (n3,m>4) 例1 结论1中时证明:如图,把一个圆分成个扇形,每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色,要求相邻扇形不同色,有多少种染色方法？【解析】设分成个扇形时染色方法为种（1）当时、有=12种,即=12（2）当分成个扇形,如图,与不同色,与 不同色,与不同色,共有种染色方法, 但由于与邻,所以应排除与同色的情形;与同色时,可把、看成一个扇形,与前个扇形加在一起为个扇形,此时有种染色法,故有如下递推关系： 1234 例1 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内,每个区域涂一种颜色,相邻两个区域涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法？【秒解】根据结论公式,又可得【通解】可把问题分为三类：（1）四格涂不同的颜色,方法种数为;（2）有且仅两个区域相同的颜色,即只有一组对角小方格涂相同的颜色,涂法种数为;（3）两组对角小方格分别涂相同的颜色,涂法种数为,因此,所求的涂法种数为ABCDEF 例3 如图,6个扇形区域A、B、C、D、E、F,现给这6个区域着色,要求同一区域涂同一种颜色,相邻的两个区域不得使用同一种颜色,现有4种不同的颜色可供选择,则共有 种涂色方法.【秒解】根据结论公式,又可得【通解】（1）当相间区域A、C、E着同一种颜色时,有4种着色方法,此时,B、D、F各有3种着色方法,此时,B、D、F各有3种着色方法故有种方法.（2）当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时,有种着色方法,此时B、D、F有种着色方法,故共有种着色方法.（3）当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有种着色方法,此时B、D、F各有2种着色方法.此时共有种方法.故总计有108432192=732种方法. 例4 用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边,每条边只涂一种颜色,且使相邻两边涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法？【秒解】该问题相当于用四种颜色给图中四个扇形位置涂色问题,根据结论公式,又,可得. 例5 用5种不同的颜色给图中标、的各部分涂色,每部分只涂一种颜色,相邻部分涂不同颜色,则不同的涂色方法有多少种？【秒解】题目中图形等价于下图情形：选给图中、三个位置涂色,根据结论公式：,又4号位置只需与3号位置颜色不同,故有种方法.【通解】先给号区域涂色有5种方法,再给号涂色有4种方法,接着给号涂色方法有3种,由于号与、不相邻,因此号有4种涂法,根据分步计数原理,不同的涂色方法有2 例6 四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域,且相邻两个区域不能同色.【秒解】中心为块的环状涂色问题涂法总数公式: （为除中心外的区域数,为不同颜色数）120【通解】依题意只能选用4种颜色,要分四类：（1）与同色、与同色,则有;（2）与同色、与同色,则有;（3）与同色、与同色,则有;（4）与同色、与同色,则有;（5）与同色、与同色,则有;所以根据加法原理得涂色方法总数为5=12024315 例7 如图所示,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着方法共有多少种？【秒解】中心为块的环状涂色问题涂法总数公式: （为除中心外的区域数,为不同颜色数）72 例8 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是多少？SCDAB【秒解】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图,对这五个区域用5种颜色涂色, 根据中心为块的环状涂色问题涂法总数公式： （为除中心外的区域数,为不同颜色数）42053214 例9 四棱锥,用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上,要求相邻不同色,有多少种涂法？ 【秒解】这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题,如右图,区域1、2、3、4相当于四个侧面,区域5相当于底面;根据中心为块的环状涂色问题涂法总数公式: （为除中心外的区域数,为不同颜色数,）420