赏析数学中的美.ppt

调查结果：调查结果：(1)(1)数学是重要的，同时又是抽象和枯燥的。数学是重要的，同时又是抽象和枯燥的。(2)(2)学数学意味着在题海中沉浮。学数学意味着在题海中沉浮。(3)(3)数学是深奥的枯燥理论和艰涩难懂符号的堆彻。数学是深奥的枯燥理论和艰涩难懂符号的堆彻。(4)(4)数学是机械记忆和解题训练加黑板上令人昏昏欲数学是机械记忆和解题训练加黑板上令人昏昏欲 睡的讲解睡的讲解(5)(5)数学只给我们压力，不给我们魅力。数学只给我们压力，不给我们魅力。另一方面另一方面:是大家对数学的望而却步。学生学习数是大家对数学的望而却步。学生学习数学是为了分数，没有乐趣，得不到享受，数学课没学是为了分数，没有乐趣，得不到享受，数学课没有情感体验和审美愉悦，每次上课之前，大家都会有情感体验和审美愉悦，每次上课之前，大家都会怀着一种期待得心情，期待着老师会带来一些新得、怀着一种期待得心情，期待着老师会带来一些新得、有魅力得东西，学生期望数学课能注入一些活力，有魅力得东西，学生期望数学课能注入一些活力，能多听到一种声音，能了解一些定义以外的东西。能多听到一种声音，能了解一些定义以外的东西。但往往期望越大失望也越大。但往往期望越大失望也越大。没有一门学科象数学那样，在大家的心目中没有一门学科象数学那样，在大家的心目中其重要性和亲近性竟产生这么大的分歧：其重要性和亲近性竟产生这么大的分歧：一方面一方面:全世界所有国家的中小学生都把数全世界所有国家的中小学生都把数学作为一门重要的基础课程学习着学作为一门重要的基础课程学习着 “数学是壮丽多彩，千姿百数学是壮丽多彩，千姿百态，引人入胜的态，引人入胜的”-华罗庚华罗庚 “正确地说，数学不仅拥有正确地说，数学不仅拥有真理，而且还拥有极度的美真理，而且还拥有极度的美一种冷静和朴素的美，一种冷静和朴素的美，犹如雕塑那样，虽然没有任犹如雕塑那样，虽然没有任何诱惑我们脆弱本性的内容，何诱惑我们脆弱本性的内容，没有绘画或音乐那样华丽的没有绘画或音乐那样华丽的外衣。但是，却显示了极端外衣。但是，却显示了极端的纯粹和只有伟大的艺术才的纯粹和只有伟大的艺术才能表现出来的严格的完美。能表现出来的严格的完美。”罗素认识到了数学中得美，他也曾尽力描绘出这种美：罗素认识到了数学中得美，他也曾尽力描绘出这种美：数学数学美的魅力是美的魅力是诱诱人的，人的，数学数学美的力量是巨大的美的力量是巨大的 数学数学美的思想是神奇的。美的思想是神奇的。它它可以改可以改变变我我们对数学们对数学枯燥枯燥 无味的成无味的成见见，让让我我们认识们认识到到数学数学也是一也是一个个五彩五彩缤纷缤纷的美的美 的是世界。由此的是世界。由此产产生生学习数学学习数学的的兴兴趣，趣，从从而促使外而促使外来动来动 机向机向内内在在动动机机转转化，化，并并成成为学习为学习的持久的持久动动力。力。数学是大千世界永恒的语言数学是大千世界永恒的语言 数学是一门工具性学科数学是一门工具性学科数学已经进入了文学，历史，考古、生物等学术界数学已经进入了文学，历史，考古、生物等学术界比如，比如，西游记西游记红楼梦红楼梦再如，日本文化的发祥地再如，日本文化的发祥地邪马台国位置的确定邪马台国位置的确定数学中的人文美数学中的人文美LOGO法国曾经拍过一部爱情电影法国曾经拍过一部爱情电影我爱上的是正切函数我爱上的是正切函数(C(C estest la la tangentetangente queque jeje prfre)prfre)讲的是一个花季少女同一个盛年男人的故事，讲的是一个花季少女同一个盛年男人的故事，说明他们并不是两个没有交集的集合，肯定说明他们并不是两个没有交集的集合，肯定这两个地球高级生物邂逅相遇而堕入情网的这两个地球高级生物邂逅相遇而堕入情网的概率不为零。电影最后暗示，数学同电磁场概率不为零。电影最后暗示，数学同电磁场一样，是一片美丽得动情的场一样，是一片美丽得动情的场!一元复始，一帆风顺；双喜临门、二度梅开；三阳开泰、三思而行；四通八通、四海为家；五世其昌、五官端正；六根清净、六艺、六韬、六合、六极；七情六欲、七曜、七略；八面玲珑、八面威风、八仙、八卦；九霄云外、九转金丹；十全十美。“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还。朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还。两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”“飞流直下三千尺，疑是银河落九天飞流直下三千尺，疑是银河落九天”，“白发三千丈白发三千丈”“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。窗含两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船西岭千秋雪，门泊东吴万里船”，“霜皮溜雨四十围，黛色参天二千尺霜皮溜雨四十围，黛色参天二千尺”，“青松恨不高千尺，恶竹应须斩万竿青松恨不高千尺，恶竹应须斩万竿”“千山鸟飞绝，万径人踪灭。孤舟蓑笠翁，独钓千山鸟飞绝，万径人踪灭。孤舟蓑笠翁，独钓寒江雪寒江雪”“一身去国六千里，万死报荒十二年一身去国六千里，万死报荒十二年”“一封朝奏九重天，夕贬潮州路八千一封朝奏九重天，夕贬潮州路八千”“三十功名尘与土，八千里路云和月三十功名尘与土，八千里路云和月”，“三万里河东入海，五千仞岳上摩天三万里河东入海，五千仞岳上摩天”唐诗唐诗题百鸟归巢图题百鸟归巢图：“一只一只复一只一只一只复一只，五六七八九十只，凤凰何少鸟何多？食尽，五六七八九十只，凤凰何少鸟何多？食尽人间千万石。人间千万石。”读来妙题横生。读来妙题横生。“一片二片三四片，五六七八九十片，千片一片二片三四片，五六七八九十片，千片万片无数片，飞入梅花总不见。万片无数片，飞入梅花总不见。”一叶孤舟，坐着二三个骚客，启用四桨五帆，经过六滩七一叶孤舟，坐着二三个骚客，启用四桨五帆，经过六滩七湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟。十年寒窗，进了九八湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟。十年寒窗，进了九八家书院，抛却七情六欲，苦读五经四书，考了三番二次，家书院，抛却七情六欲，苦读五经四书，考了三番二次，今天一定要中。今天一定要中。一别以后，二地相悬，只说三四个月，又谁知一别以后，二地相悬，只说三四个月，又谁知五年六年。七弦琴无心弹，八行书无可传，九连环又五年六年。七弦琴无心弹，八行书无可传，九连环又从中折断，十里长亭望眼欲穿，百思想，千思念，万从中折断，十里长亭望眼欲穿，百思想，千思念，万般无奈把郎怨。万语千言说不完，百无聊赖十依栏，般无奈把郎怨。万语千言说不完，百无聊赖十依栏，重九登高看孤雁，八月中秋月圆人不圆，七月半烧香重九登高看孤雁，八月中秋月圆人不圆，七月半烧香秉烛问苍天，六伏天人人摇扇我心寒，五月石榴火红秉烛问苍天，六伏天人人摇扇我心寒，五月石榴火红偏遭阵阵雨浇花端，四月枇杷未黄我欲对镜心意乱。偏遭阵阵雨浇花端，四月枇杷未黄我欲对镜心意乱。急匆匆，三月桃花随水转，飘零零，二月风筝线儿断。急匆匆，三月桃花随水转，飘零零，二月风筝线儿断。噫！郎呀郎，巴不得下一世你为女来我为男。噫！郎呀郎，巴不得下一世你为女来我为男。大圆圈比小圆圈掌握的知识要多一点，但因为大圆圈的大圆圈比小圆圈掌握的知识要多一点，但因为大圆圈的圆周比小圆圈的长，所以它与外界空白的接触面也就比小圆周比小圆圈的长，所以它与外界空白的接触面也就比小圆圈大，因此更感到知识的不足，需要努力去学习圆圈大，因此更感到知识的不足，需要努力去学习。何事、何故、何人、何如、何时、何来、何去，好像弟何事、何故、何人、何如、何时、何来、何去，好像弟弟与哥哥。弟与哥哥。还有一个西洋派，姓名颠倒叫几何。还有一个西洋派，姓名颠倒叫几何。若向若向八贤常请教，虽是笨人少错误。八贤常请教，虽是笨人少错误。美国作家杰克美国作家杰克伦敦成名后，曾收到过一位女士的伦敦成名后，曾收到过一位女士的求爱信；求爱信；“你有一个出众的你有一个出众的名声，我有一个高贵的地位。名声，我有一个高贵的地位。这再者加起来，再乘上万能这再者加起来，再乘上万能的黄金，足以使我们建立起一个天堂都不能比拟的的黄金，足以使我们建立起一个天堂都不能比拟的美满家庭。美满家庭。杰克杰克伦敦连忙回信，他答得很妙：伦敦连忙回信，他答得很妙：“根据你列根据你列出的那道爱情公式，我看还要开平方！不过这出的那道爱情公式，我看还要开平方！不过这个平方根却是负数个平方根却是负数。（1 1）一斤花生二斤枣，好运经常跟你跑；三斤苹果四）一斤花生二斤枣，好运经常跟你跑；三斤苹果四斤梨，吉祥和你不分离；五斤橘子六斤桃，年年招财斤梨，吉祥和你不分离；五斤橘子六斤桃，年年招财又进宝；七斤葡萄八斤橙，愿你心想事就成；九斤芒又进宝；七斤葡萄八斤橙，愿你心想事就成；九斤芒果十斤瓜，愿你天天乐开花！果十斤瓜，愿你天天乐开花！（2）祝一帆风顺，二龙腾飞，三羊开泰，四季平安，）祝一帆风顺，二龙腾飞，三羊开泰，四季平安，五福临门，六六大顺，七星高照，八方来财，九九同五福临门，六六大顺，七星高照，八方来财，九九同心，十全十美。心，十全十美。（3）新年到了，送你一个饺子平安皮儿包着如意馅，用真情煮熟，吃一口快乐两口幸福三口顺利然后喝全家健康汤，回味是温馨，余香是祝福。（4）传说薰衣草有四片叶子：第一片叶子是信仰，第二片叶子是希望，第三片叶子是爱情，第四片叶子是幸运。送你一棵薰衣草，愿你猴年快乐！（5）新的1年开始，祝好事接2连3，心情4季如春，生活5颜6色，7彩缤纷，偶尔8点小财，烦恼抛到9霄云外！（6）新的1年就要开始了，愿好事接2连3，心情4春天阳光，生活5颜6色，7彩缤纷，偶尔8点小财，一切烦恼抛到9宵云外，请接受我10全10美的祝福。（7 7）在新的一年里，祝你十二个月月月）在新的一年里，祝你十二个月月月开心，五十二个星期期期愉快，三百六开心，五十二个星期期期愉快，三百六十五天天天好运，八千七百六十小时时十五天天天好运，八千七百六十小时时时高兴，五十二万五千六百分分分幸福，时高兴，五十二万五千六百分分分幸福，三千一百五十三万六千秒秒秒成功三千一百五十三万六千秒秒秒成功 （8 8）如果一滴水代表一个祝福，我送你）如果一滴水代表一个祝福，我送你一个东海；如果一颗星代表一份幸福，我一个东海；如果一颗星代表一份幸福，我送你一条银河；如果一棵树代表一份思念，送你一条银河；如果一棵树代表一份思念，我送你一片森林。祝你新年快乐！我送你一片森林。祝你新年快乐！（9）新年到了，想想没什么送给你的，又不打算给你太多，只有给你五千万：千万要快乐！千万要健康！千万要平安！千万要知足！千万不要忘记我！（10）圣旨到！奉天承运，皇帝诏曰：猴年已到特赐红包一个，内有幸福万两，快乐万两，笑容万两，愿卿家饱尝幸福快乐之微笑，钦此！数学内在美1、对称美、对称美（一）数和式的对称美，象二项式定理，杨辉三角。（一）数和式的对称美，象二项式定理，杨辉三角。（二）图形的对称美。如毕达哥拉斯学派认为，一（二）图形的对称美。如毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形最美的是圆形。圆是中心对称圆形圆心是它圆心是它的对称中心，原也是轴对称图形的对称中心，原也是轴对称图形任何一条直任何一条直径都是它的对称轴。径都是它的对称轴。（三）数学思想和方法的对称美。如分析法和综合（三）数学思想和方法的对称美。如分析法和综合法，直接法和反证法，逻辑思维和逆向思维等。法，直接法和反证法，逻辑思维和逆向思维等。（一）有一些数字，往往要通过计算。通过不同（一）有一些数字，往往要通过计算。通过不同数字的组合，才可以得到一些非常奇妙的排列，数字的组合，才可以得到一些非常奇妙的排列，令人看后叫绝，回味无穷。令人看后叫绝，回味无穷。111 1111121 11111112321 111111111234321 1111111111123454321 11111111111112345654321 111111111111111234567654321 1111111111111111123456787654321 11111111111111111112345678987654321 99788 9896888 987958888 98769488888 9876593888888 987654928888888 98765439188888888 9876543290888888888 19211 1293111 123941111 12349511111 1234596111111 123456971111111 12345679811111111 1234567899111111111 1234567899101111111111 9981 99999801 999999998001 9999999999980001 99999999999999800001 999999999999999998000001 9999999999999999999980000001 1819 128298 12383987 1234849876 123458598765 12345686987654 1234567879876543 123456788898765432 12345678989987654321 v在自然界中，大凡美的东西都具在自然界中，大凡美的东西都具有对称性，有对称性，v比如花卉、叶片、动物、艺术品、比如花卉、叶片、动物、艺术品、建筑物等。建筑物等。而在数学中，很多曲线和而在数学中，很多曲线和曲面曲面，比如二，比如二次曲线、次曲线、双纽线双纽线、玫瑰线玫瑰线、雪花曲线雪花曲线等等，也具有对称性。等等，也具有对称性。v梯形的面积公式：梯形的面积公式：S S v等差数列的前项式：等差数列的前项式：v其中是上底边长其中是上底边长a a，是下底边长，其中，是下底边长，其中 是首项，是首项，是第项，这两个等式中，与是第项，这两个等式中，与 是对称的，与是对称的，与 是对称的。是对称的。vh h与与n n是对称的。是对称的。Company LogoCompany Logov对称不仅美，而且有用。对称不仅美，而且有用。v电磁波的波动方程：电磁波的波动方程：v其中，为磁场强度，为电场强度，为光速。其中，为磁场强度，为电场强度，为光速。这个方程中与是对称的，麦克斯韦用纯数学这个方程中与是对称的，麦克斯韦用纯数学的方法从这些方程中推导出可能存在的电磁波，的方法从这些方程中推导出可能存在的电磁波，这种电磁波后来被赫芝发现，由此可得电场与磁这种电磁波后来被赫芝发现，由此可得电场与磁场的统一性。场的统一性。Company LogoCompany Logo欧拉给出的公式：欧拉给出的公式：V V堪称堪称“简单美简单美”的典范。世的典范。世间的多面体有多少？没有人间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数能说清楚。但它们的顶点数、棱数、面数，都必、棱数、面数，都必须服从欧拉给出的公式，一须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？在数学能不令人惊叹不已？在数学中，像欧拉公式这样形式简中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。比如：圆的定理还有许多。比如：圆的周长公式：周长公式：C=2RC=2R勾股定理：直角三角形两直角边的平方和勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。等于斜边平方。平均不等式：对任何正数平均不等式：对任何正数正弦定理：正弦定理：的外接圆半径，的外接圆半径，Copyright by ARTCOM PT All rights reserved.www.art-com.co.krCompany LogoCopyright by ARTCOM PT All rights reserved.www.art-com.co.krCompany Logo (1)(1)数论大师数论大师赛尔伯格赛尔伯格曾经说，他喜欢数曾经说，他喜欢数学的一个动机是以下的公式：学的一个动机是以下的公式：这个公式实在美极了，奇数这个公式实在美极了，奇数1 1、3 3、5 5、这样的组合可以给出，对于一个数学家来这样的组合可以给出，对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景。说，此公式正如一幅美丽图画或风景。Copyright by ARTCOM PT All rights reserved.www.art-com.co.krCompany Logo (2)(2)欧拉公式：欧拉公式：曾获得曾获得“最美的数学定理最美的数学定理”称号。称号。ei+1=0 ei+1=0 这个等式被评这个等式被评为为20032003年全世界自然科学界十大最美公式中的第一名。它美年全世界自然科学界十大最美公式中的第一名。它美在哪儿？在哪儿？请看：请看：“1”1”是自然数中最基本的正整数，是自然数中最基本的正整数，“0”0”是复是复数系中最关键的整数，数系中最关键的整数，“、e”e”是最常用、最重要是最常用、最重要的无理数，的无理数，“i”i”却是虚数单位。这样几个复数系中却是虚数单位。这样几个复数系中最重要、最特殊的数又简洁、又和谐、又奇异地统一最重要、最特殊的数又简洁、又和谐、又奇异地统一在同一个等式中，多么奇妙、多么精彩、多么迷人，在同一个等式中，多么奇妙、多么精彩、多么迷人，大有大有“神来之笔神来之笔”之感，令人拍案叫绝。这不仅仅是之感，令人拍案叫绝。这不仅仅是数学家的一个伟大发现，而是数学本身所具有的内在数学家的一个伟大发现，而是数学本身所具有的内在美，这就是数学美。美，这就是数学美。Copyright by ARTCOM PT All rights reserved.www.art-com.co.krCompany Logo 欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。与欧拉公式有关的棣美弗欧拉公式调、有序。与欧拉公式有关的棣美弗欧拉公式是是（）。这个公式把人们以为没有什么共（）。这个公式把人们以为没有什么共同性的两大类函数同性的两大类函数三角函数与指数函数紧密三角函数与指数函数紧密地结合起来了。对他们的结合，人们始则惊诧，地结合起来了。对他们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹继而赞叹确是确是“天作之合天作之合”，因为，由他们，因为，由他们的结合能派生出许多美的，有用的结论来。比如，的结合能派生出许多美的，有用的结论来。比如，由公式（）得由公式（）得 Copyright by ARTCOM PT All rights reserved.www.art-com.co.krCompany Logol由这两个公式，可把三角函数的定义域扩展到复由这两个公式，可把三角函数的定义域扩展到复数域上去，即考虑数域上去，即考虑“弧度弧度”为复数的为复数的“角角”。新。新定义的余弦函数与我们早已熟悉的通常的余弦函定义的余弦函数与我们早已熟悉的通常的余弦函数和谐一致。数和谐一致。Copyright by ARTCOM PT All rights reserved.www.art-com.co.krCompany Logo 3 3）著名的黄金分割比，即）著名的黄金分割比，即.61803398.61803398被达被达 芬奇称为芬奇称为“神圣比例神圣比例”他认为他认为“美感完全美感完全建立在各部分之间神圣的比例关建立在各部分之间神圣的比例关系上系上”。维纳斯的美被所有人所公认，她维纳斯的美被所有人所公认，她的身材比也恰恰是黄金分割比。的身材比也恰恰是黄金分割比。Copyright by ARTCOM PT All rights reserved.www.art-com.co.krCompany Logol在正五在正五边形中，形中，边长与与对角角线长的比是的比是黄黄金分割比。金分割比。黄黄金分割比在金分割比在许多多艺术作品中、作品中、在建筑在建筑设计中都有广泛的中都有广泛的应用。巴黎用。巴黎圣圣母母院、北京故院、北京故宫的的构构图都融入了都融入了黄黄金分割的金分割的匠心；孕育着生命的水，液匠心；孕育着生命的水，液态的的温温度范度范围是是0 0100100度，其度，其两个黄两个黄金分割点之一的金分割点之一的温温度度为3838度左右，正度左右，正与与人体正常体人体正常体温温吻合；吻合；人的人的脑电图波，若高低波，若高低频率之比率之比为1 1：0 0618618时，则是身心愉是身心愉悦悦的的时刻刻真真是奇妙无比是奇妙无比 又如：在又如：在椭圆：中，中，记左焦点左焦点为F，右右顶点点为A，短短轴上上方的端点方的端点为B，若若该椭圆的离心率的离心率为 则 ABF 。这样的的椭圆不妨称之不妨称之为“优美美椭圆”。Oyx对双曲线也有对双曲线也有“优美双曲线优美双曲线”：的左顶点为的左顶点为A，右焦点为，右焦点为F，B是虚轴的一个端点，且双曲线的离心是虚轴的一个端点，且双曲线的离心率为率为 它也有类似的性质：它也有类似的性质：ABF yABFxO 数学是一门同人民大众贴得很近的学科，数学是一门同人民大众贴得很近的学科，它所讨论的宇宙，远比现实的所谓宇宙它所讨论的宇宙，远比现实的所谓宇宙宏伟雄大。宏伟雄大。通常通常所说的宇宙只是三维空所说的宇宙只是三维空间，而数学则建立起了四维、五维乃至间，而数学则建立起了四维、五维乃至n n维空间，并且，集合论的超限数的空间，维空间，并且，集合论的超限数的空间，远远超过了通常无穷大的空间，它们都远远超过了通常无穷大的空间，它们都远比我们现实的宇宙更具有庄严美、雄远比我们现实的宇宙更具有庄严美、雄伟美。伟美。全世界有很大影响的两份全世界有很大影响的两份杂志曾志曾联合邀合邀请全世界的全世界的数学家数学家们评选“近近50年的最佳数学年的最佳数学问题”，其中有，其中有一道相当一道相当简单的的问题:有哪些分数有哪些分数 不合理地把不合理地把b约去得到，结果却是对约去得到，结果却是对的？的？经过一种简单，可以找到四个分数：经过一种简单，可以找到四个分数：这个问题涉及到这个问题涉及到“运算谬误，结果正确运算谬误，结果正确”的歪正着，的歪正着，还有一些还有一些“歪打正着等式歪打正着等式”，蒲丰蒲丰 投针试验投针试验1977年的一天，蒲丰忽发奇想，把许多宾朋邀请年的一天，蒲丰忽发奇想，把许多宾朋邀请到家中，做一个叫人感到奇怪的试验，他把事先到家中，做一个叫人感到奇怪的试验，他把事先画好一条条等距离的平行线的白纸，铺在桌面上，画好一条条等距离的平行线的白纸，铺在桌面上，又拿出准备好的质量均匀而长度为平行线距离一又拿出准备好的质量均匀而长度为平行线距离一半的小针，请客人把小针一根一根的随便地随便半的小针，请客人把小针一根一根的随便地随便仍在纸上，而蒲丰则在一旁专注观察着记着数，仍在纸上，而蒲丰则在一旁专注观察着记着数，投完后统一计数为：共投投完后统一计数为：共投2212次，其中与任意平次，其中与任意平行线相交的有行线相交的有704次，蒲丰又做了一个简单的除次，蒲丰又做了一个简单的除法，法，22127043142然后宣布：然后宣布：“这就是圆这就是圆周率的近似值周率的近似值”他又说：他又说：“不信，还可以再试试，不信，还可以再试试，投的次数越多，越准确投的次数越多，越准确.”1901年，意大利人拉查年，意大利人拉查尼投了尼投了3408次，得出估计值是次，得出估计值是3.1415929,已很接已很接近祖冲之的密率。近祖冲之的密率。人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同，人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同，它们的轨道可能是椭圆、双曲线或抛物线，这几它们的轨道可能是椭圆、双曲线或抛物线，这几种曲线的定义如下：种曲线的定义如下：到定点距离与它到定直线的距离之比是常数的到定点距离与它到定直线的距离之比是常数的点的轨迹，点的轨迹，当时，形成的是椭圆当时，形成的是椭圆当时，形成的是双曲线当时，形成的是双曲线当时，形成的是抛物线当时，形成的是抛物线 n例例1：在：在 ABC中，中，BAC120，AD是是 BAC的平分线，若，则的平分线，若，则 。（如图。（如图1）ABCD例例2 2、若直线、若直线L L分别与两坐标轴的正半轴交分别与两坐标轴的正半轴交于点于点 ，直线，直线 与直线与直线L L交点交点的横坐标为，则的横坐标为，则LyOx例例3、设抛物线、设抛物线 与直线与直线y=kx+b相交于两点，它们的横坐标分别为，该直线与相交于两点，它们的横坐标分别为，该直线与x轴交点横坐标为，则轴交点横坐标为，则 （如图（如图3）yxO(图图3)n例例4 4、圆内接正七边形的边长为，长、圆内接正七边形的边长为，长、短对角线长分别为短对角线长分别为 ，则，则 图4数学名题数学名题蝴蝶定理蝴蝶定理 在这个世界里，你碰到的将不再是欧几里在这个世界里，你碰到的将不再是欧几里得几何学的直线、圆、长方体等简单规则的得几何学的直线、圆、长方体等简单规则的图形，而是海岸线、云彩、花草树木等复杂图形，而是海岸线、云彩、花草树木等复杂的自然形体，它们被称为分形（的自然形体，它们被称为分形（fractal）.分形几何趣谈分形几何趣谈 那晶那晶莹莹剔透的雪花曾引起无数剔透的雪花曾引起无数诗诗人的人的赞叹赞叹。但若。但若问问起雪花的形状是怎起雪花的形状是怎样样的，能的，能回答上来的同学不一定很多。也回答上来的同学不一定很多。也许许有人会有人会说说，雪花是六角形的，雪花是六角形的，这这既既对对，但又不完，但又不完全全对对。雪花到底是什么形状呢？。雪花到底是什么形状呢？1904年瑞年瑞典数学家科赫典数学家科赫讲讲述了一种描述雪花的方法。述了一种描述雪花的方法。雪花到底是什么形状雪花到底是什么形状?先画一个等先画一个等边边三角形三角形，把，把边长为边长为原来三角形原来三角形边长边长的三分之的三分之一的小等一的小等边边三角形三角形选选放在原来三角形的三条放在原来三角形的三条边边上，由此得上，由此得到一个六角星；再将到一个六角星；再将这这个六角星的每个角上的小等个六角星的每个角上的小等边边三角三角形按上述同形按上述同样样方法方法变变成一个小六角星成一个小六角星如此一直如此一直进进行下行下去，就得到了雪花的形状。去，就得到了雪花的形状。从上面的描述从上面的描述过过程我程我们们可以看出：原来雪花的可以看出：原来雪花的每一部分每一部分经过经过放大都可以与它的整体一模一放大都可以与它的整体一模一样样，小小的雪花竟然有小小的雪花竟然有这这么多学么多学问问。现现在已在已经经有了有了一个一个专门专门的数学学科来研究像雪花的数学学科来研究像雪花这样这样的的图图形，形，这这就是就是20世世纪纪70年代由美国年代由美国计计算机算机专专家曼德布家曼德布罗罗特特创创立的分形几何。所立的分形几何。所谓谓分形几何就是研究分形几何就是研究不不规则规则曲曲线线的几何学。目前分形几何已的几何学。目前分形几何已经经在很在很多多领领域得到了域得到了应应用。用。按传统科学方法来考虑是极其简单的可是按传统科学方法来考虑是极其简单的可是美籍法国数学家曼德尔布罗特美籍法国数学家曼德尔布罗特1967年在国际权年在国际权威的美国威的美国科学科学杂志上发表的论文杂志上发表的论文英国的英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数维数海岸线有多长？统计自相似性与分数维数中，中，得出的答案却令人惊异：英国的海岸线长度是得出的答案却令人惊异：英国的海岸线长度是不确定的！它依赖于测量时所用的尺度不确定的！它依赖于测量时所用的尺度 海岸线的长度问题海岸线的长度问题原来，海岸线由于海水长年的冲涮和陆地自身的运动，形原来，海岸线由于海水长年的冲涮和陆地自身的运动，形成了大大小小的海湾和海岬，弯弯曲曲极不规则测量其成了大大小小的海湾和海岬，弯弯曲曲极不规则测量其长度时如以公里为单位，则几米到几百米的弯曲就会被忽长度时如以公里为单位，则几米到几百米的弯曲就会被忽略不能计入在内，设此时得长度略不能计入在内，设此时得长度L1；如改用米作单位，结如改用米作单位，结果上面忽略了的弯曲都可计入，但仍有几厘米、几十厘米果上面忽略了的弯曲都可计入，但仍有几厘米、几十厘米的弯曲被忽略的弯曲被忽略,此时得出的长度此时得出的长度L2L1；同样的，用厘米同样的，用厘米作单位，所得长度作单位，所得长度L3L2L1,采用的单位越小，计采用的单位越小，计入的弯曲就越多，海岸线长度就越大入的弯曲就越多，海岸线长度就越大,可以设想，用分子、可以设想，用分子、原子量级的尺度为单位时，测得的长度将是一个天文数字原子量级的尺度为单位时，测得的长度将是一个天文数字这虽然没有什么实际意义，但说明随测量单位变得无穷这虽然没有什么实际意义，但说明随测量单位变得无穷小，海岸线长度会变得无穷大，因而是不确定的所以长小，海岸线长度会变得无穷大，因而是不确定的所以长度已不是海岸线的最好的定量特征，为了描述海岸线的特度已不是海岸线的最好的定量特征，为了描述海岸线的特点，需要寻找另外的参量点，需要寻找另外的参量 海岸线长度问题，曼德尔布罗特最初是在英国科学海岸线长度问题，曼德尔布罗特最初是在英国科学家理查逊家理查逊LFrichardson）的一篇鲜为人知的文章的一篇鲜为人知的文章中遇到的这个问题引起他极大的兴趣，并进行了潜中遇到的这个问题引起他极大的兴趣，并进行了潜心的研究他独具慧眼地发现了心的研究他独具慧眼地发现了1961年理查逊得出的年理查逊得出的边界长度的经验公式边界长度的经验公式 L(r)=Kr1-a中的中的a就可以作为描就可以作为描述海岸线特征的这种参量，他称之为述海岸线特征的这种参量，他称之为“量规维数量规维数”，这就是著名的分数维数之一这一问题的研究，成为这就是著名的分数维数之一这一问题的研究，成为曼德尔布罗特思想的转折点，分形概念从这里萌芽生曼德尔布罗特思想的转折点，分形概念从这里萌芽生长，使他最终把一个世纪以来被传统数学视为长，使他最终把一个世纪以来被传统数学视为“病态病态的的”、“怪物类型怪物类型”的数学对象，的数学对象，康托尔三分集、康托尔三分集、科赫曲线等统一到一个崭新的几何体系中，让一门新科赫曲线等统一到一个崭新的几何体系中，让一门新的数学分支的数学分支分形几何学跻身于现代数学之林分形几何学跻身于现代数学之林三分康托尔集等数学怪物的出现，使相当一部分传统三分康托尔集等数学怪物的出现，使相当一部分传统数学家感到数学家感到“直觉的危机直觉的危机”的同时，也引起了一些数的同时，也引起了一些数学家的兴趣学家的兴趣.19151916年，波兰数学家谢尔宾斯基年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)将三分康托尔集的构造思想推广到二将三分康托尔集的构造思想推广到二维平面，构造出谢尔宾斯基维平面，构造出谢尔宾斯基“垫片垫片”和谢尔宾斯基和谢尔宾斯基“地毯地毯”它被用作超导现象和非晶态物质的模型它被用作超导现象和非晶态物质的模型 谢尔宾斯基谢尔宾斯基“垫片垫片”谢尔宾斯基谢尔宾斯基“地毯地毯”数学家门杰（数学家门杰（K.Menger）从三维的单位立方体出从三维的单位立方体出发，用与构造谢尔宾斯基地毯类似的方法，构造了发，用与构造谢尔宾斯基地毯类似的方法，构造了门杰门杰“海绵海绵”（1999年以前除年以前除加加凯依著凯依著分形分形漫步漫步外的大部分分形论著中，均称之为谢尔宾斯外的大部分分形论著中，均称之为谢尔宾斯基海绵，曼德尔布罗特在基海绵，曼德尔布罗特在大自然的几何学大自然的几何学1998年最新修订版中对此加以了更正，并特别予年最新修订版中对此加以了更正，并特别予以说明以说明.）（图）（图16）这种）这种“百孔千窗百孔千窗”，“有皮没有皮没有肉有肉”的结构表面积无穷大，是化学反应中催化剂的结构表面积无穷大，是化学反应中催化剂或阻化剂最理想的结构模型或阻化剂最理想的结构模型.门杰门杰“海绵海绵”1890年，意大利数学家皮亚诺（年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了著名构造了著名的皮亚诺曲线，这条曲线最终能填满整个平面区域的皮亚诺曲线，这条曲线最终能填满整个平面区域.n 这些形体，传统的欧氏几何图形已无法对它们进行恰当的这些形体，传统的欧氏几何图形已无法对它们进行恰当的模拟，遗憾地留下了一道道各学科的难题模拟，遗憾地留下了一道道各学科的难题.而分形几何学却而分形几何学却另辟蹊径，用新的观念，从新的角度，为解决这些难题提另辟蹊径，用新的观念，从新的角度，为解决这些难题提出了新的思路和方法，在许多领域获得了意想不到的成功出了新的思路和方法，在许多领域获得了意想不到的成功.分形成为当代科学最有影响和感召力的基本概念之一，分分形成为当代科学最有影响和感召力的基本概念之一，分形几何学成为探索复杂性的有效工具形几何学成为探索复杂性的有效工具.在这个充满新奇的问在这个充满新奇的问题，新的视角，新的思路的几何学世界里，你将受到一种题，新的视角，新的思路的几何学世界里，你将受到一种挑战传统的教育，你的思维将冲破传统的羁绊挑战传统的教育，你的思维将冲破传统的羁绊.让我们一起让我们一起来领略她的丰采吧！来领略她的丰采吧！几何画板课件几何画板课件六、统一美：六、统一美：数的概念从自然数、分数、负数、无理数，数的概念从自然数、分数、负数、无理数，扩大到复数，经历了无数次坎坷，范围不断扩扩大到复数，经历了无数次坎坷，范围不断扩大了，在数学及其他学科的作用也不断地增大。大了，在数学及其他学科的作用也不断地增大。那么，人们自然想到能否再把复数的概念继续那么，人们自然想到能否再把复数的概念继续推广。推广。Company LogoCompany Logov英国数学家哈密顿苦苦思索了英国数学家哈密顿苦苦思索了1515年，没能获得成年，没能获得成功。后来，他功。后来，他“被迫作出妥协被迫作出妥协”，牺牲了复数集，牺牲了复数集中的一条性质，终于发现了四元数，即形为中的一条性质，终于发现了四元数，即形为a1+a2i+a3j+a4k a1+a2i+a3j+a4k （a1 a1，a2i a2i，a3j a3j ，a4k a4k 为为实数）的数，其中、如同复数中的虚数实数）的数，其中、如同复数中的虚数单位。若单位。若a3 a3 a4 a4，则四元数则四元数a1+a2i+a3j+a4k a1+a2i+a3j+a4k 是一般的复数。四元数的研究推是一般的复数。四元数的研究推动了线性代数的研究，并在此基础上形成了线性动了线性代数的研究，并在此基础上形成了线性结合代数理论。物理学家麦克斯韦利用四元数理结合代数理论。物理学家麦克斯韦利用四元数理论建立了电磁理论。论建立了电磁理论。Company LogoCompany Logov数学的发展是逐步统一的过程。统一的目的也数学的发展是逐步统一的过程。统一的目的也正如希而伯特所说的：正如希而伯特所说的：“追求更有力的工具和追求更有力的工具和更简单的方法更简单的方法”。爱因斯坦一生的梦想就是爱因斯坦一生的梦想就是追求宇宙统一的理论。他用简洁的表达式追求宇宙统一的理论。他用简洁的表达式E=mc2E=mc2揭示了自然界中质能关系，这不能不说揭示了自然界中质能关系，这不能不说是一件统一的艺术品。但他还是没有完成统一是一件统一的艺术品。但他还是没有完成统一的梦想。人类在不断探寻着纷繁复杂的世界，的梦想。人类在不断探寻着纷繁复杂的世界，又在不断地用统一的观点认识世界，宇宙没有又在不断地用统一的观点认识世界，宇宙没有尽头，统一美也需要永远的追求。尽头，统一美也需要永远的追求。Company LogoCompany Logov七、创新美：七、创新美：v欧几里得几何曾经是完美的经典几何学，其中欧几里得几何曾经是完美的经典几何学，其中的公理的公理5 5：“过直线外一点有且只有一条直线过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行与已知直线平行”和结论和结论“三角形内角和等于三角形内角和等于二直角二直角”，这些似乎是天经地义的绝对真理。，这些似乎是天经地义的绝对真理。但罗马切夫斯基却采用了不同公理但罗马切夫斯基却采用了不同公理5 5的结论：的结论：“过直线外一点至少有两条直线与已知直线平过直