第六章 中心力场.pptx

第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun ReviewReview微观全同粒子具有不可分辨性，任何两个粒子交换，量子态不变,第1页全同粒子波函数，要么对称（Bose子），要么反对称（Fermi 子）。P表示对不同单粒子态的粒子进行对换的置换。第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第2页交换任意两个粒子，等价于行列式中相应两列对调，由行列式性质可知，行列式要变号，故是反对称化波函数。Pauli 不相容原理 不能有两个全同的Fermi子处在相同的状态。第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第六章第六章 中心力场中心力场教学内容教学内容第3页1 中心力场中粒子运动的 一般性质2 无限深球方势阱3 三维各向同性谐振子4 氢原子第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 1 中心力场中粒子运动的 一般性质一、角动量守恒与径向方程何谓中心力场 粒子的受力经过某个固定的中心（力心），其势能只是粒子到力心的距离r r的函数，即V(r)V(r)，为球对称势。（例如Coulomb场）第4页设质量为的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：经典理论中，中心力场中运动粒子角动量守恒，粒子运动为平面运动。第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 对于势能只与 r r 有关而与,无关的有心力场，使用球坐标求解较为方便。第5页l,H=0,l2,H=0l l及l2均为守恒量径向动能离心势能第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 取体系(自由度3)的力学量完全集为第6页求解中心力场中粒子的能量本征方程径向方程可写为：第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 求解方程时，可作以下替换，使得计算更方便，令：第7页不同中心力场V(r)，不同Rl(r)（l(r)）；方程中没有出现磁量子数m，能量本征值E与m无关。与l有关，给定l，m有2l+1个取值，中心力场的简并度一般为2l+1.选取对易守恒量完全集(H,l l2,lZ)之后，同一能级的各简并态就可标记清楚。第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 一定边界条件下求解径向方程，可求得能量本征值E及本征函数。非束缚态，E连续变化。束缚态，E取离散值。由于束缚态下边界条件，出现径向量子数nr,nr=0,1,2,，（代表波函数节点数），E依赖于nr和l，记为Enrl，l一定，E随nr增大而增大。nr一定，E随l（离心势能）增大而增大。光谱学习惯，把（l=0,1,2,3,4,5,6）的态记为s,p,d,f,g,h,i.第8页第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 径向波函数在径向波函数在r0r0邻邻域内的渐进行为域内的渐进行为假定V(r)满足第9页变为设当r0，第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 在任何体积元找到粒子的概率应为有限值。当r0，若Rl(r)1/ra，要求a=1时，Rl(r)r-(l+1)不满足要求。l=0时，R0(r)Y001/r，但此解并不满足能量本征方程第10页r0时，只有Rl(r)rl是物理上可以接受的。等价地，要求径向方程的一个定解条件。第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 两体问题化为单体问题两体问题化为单体问题 实际碰到的中心力场问题，通常是两体问题。两个质量分别为m1和m2的粒子，相互作用V(|r r1-r r2|)=V(r)只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程,第11页ET为体系的总能量。引入质心坐标R和相对坐标r 1xl+r1r2rR 2OyzI I 一个具有约化质量的粒子在场中的运动一个具有约化质量的粒子在场中的运动 II II 二粒子作为一个整体的质心运动。二粒子作为一个整体的质心运动。第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 可以证明：第12页证明：第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第13页以上结果带入到两粒子能量本征方程，第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 分离变量第14页描述质心运动（自由粒子能量本征方程）平面波解描述相对运动，E 是相对运动能量（单粒子能量本征方程）两体问题 单体问题第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun Review 中心力场中粒子运动一般性质中心力场中粒子运动一般性质1.中心力场 V(r)球对称势2.经典力学中，角动量守恒，平面运动3.量子力学中，l,H=0,ll,H=0,l2 2,H=0,H=0第15页第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第16页当r0，r0时，只有Rl(r)rl是物理上可以接受的。等价地，要求两体问题化为单体问题 第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 2 无限深球方势阱考虑质量为的粒子在半径为a的球形匣子中运动。这相当于粒子在一个无限深球方势阱中运动，(束缚态)第17页考虑s态（l=0）。径向方程势阱内部，第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 方程的解可以表示为 sin(kr)sin(kr)的形式，再根据r=ar=a处的边界条件，sin(ka)=0sin(ka)=0,有第18页粒子能量本征值为归一化，第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun l0l0时，径向方程为第19页引入无量纲变量=kr,=kr,球Bessel方程，解可取为球Bessel函数j jl l()与球Neumann 函数 n nl l(),),0 0时时，球方势阱的解取为第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 当a取有限值时，k只能取一系列离散值，令jl()=0的根为第20页粒子的能量本征值为相对应的径向本征函数为第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun L Ln nr r0 01 12 23 3023414.4937.72510.90414.06625.7679.09512.32315.51536.98810.41713.69816.924第21页10第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun A5.合流超几何函数合流超几何函数合流超几何微分方程为第22页，为参数。在z0邻域，令y=zs,可得第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun s=0 时的级数解，第23页要求方程左边各次项为0，由此可得c0=1,得出级数解，合流超几何函数第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第24页k,ck/ck-11/k，这与ez的幂级数展开系数比值一致，s=1-时级数解为第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 3 三维各向同性谐振子质量为的粒子在三维各向同性谐振子势V(r)中运动，第25页是刻画势阱强度的参量。径向方程为，r=0的邻域，物理上可以接受的径向波函数的渐近行为是r时，自然单位，=1第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 束缚态边界条件要求第26页方程的解写为化为合流超几何方程。第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 方程有两个解，第27页u2，是物理上不能接受的解。方程的解只能为无穷级数解合流超几何函数第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 要满足束缚态边条件，要求F(F(,)中断为 一个多项式。要求=0or=0or负整数第28页这就要求这就是三维各向同性谐振子的能量本征值。第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 能级简并度能级均匀分布，间隔。能级一般是简并的，能量本征值只依赖于nr和l的特殊组合N=2nr+l.给定能级EN,nr=0,1,2,3,，(N-1)/2orN/2l=N-2nr=N,N-2,N-4,N-6,1(N奇)or0(N偶)N偶时，能级简并度（N奇同样结果）第29页径向波函数为归一化后第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 直角坐标系直角坐标系采用直角坐标系，三维各向同性谐振子可分解为相同的三个彼此独立的一维谐振子第30页本征函数可以分离变量，相当于选取（Hx,Hy,Hz）为对易守恒量完全集，共同本征态为第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 相应的能量本征值为第31页能级简并度给定 N，nx=0,1,2,，N-1,Nny+nz=N,N-1,N-2,，1,0(ny,nz)种数 N+1,N,N-1,，2,1能级简并度为第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 练习练习（习题5.7）中心力场V(r)中粒子运动的径向方程可以写为第32页利用Feynman-Hellmann 定理（p.95,习题4.7）证明对处在能量本征态下的三维各向同性谐振子，第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 4 氢原子 量子力学发展史上最突出的成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意的解释。氢原子是最简单的原子，其Schrdinger方程可以严格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。氢原子问题是典型的中心力场问题。氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有一个电子绕着它运动。它与电子的库仑吸引能为（取无穷远为势能零点）第33页第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 具有一定角动量的氢原子的径向波函数满足下方程：第34页若E0:自由定态,电子从原子内电离,连续能谱若E0:束缚定态,电子被束缚在原子内,分立能谱考虑氢原子的束缚态，即E0的情况，按1有关结果，r0方程渐进行为：第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun rr时，方程化为第35页方程的解可以表示成第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 再令第36页这正是合流超几何方程合流超几何方程的解为合流超几何函数F(,)，故方程的解为第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第37页当k时 和e的级数展开系数的比值相同因此，当时（即r），u()=F(,)的渐进行为和e 相同，即这和波函数有限性条件矛盾，所以须将F(,)切断为多项式，只需令第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 另一方面第38页令得到氢原子束缚定态的能量(本征值)：(是电子的约化质量)Bohr半径此即著名的Bohr氢原子能级公式，n 称为主量子数第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 因此与En相应的径向波函数可表示为：第39页归一化的径向波函数为a是Bohr半径第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 综上，氢原子束缚定态的波函数第40页a是Bohr半径第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 最低的几条能级的径向波函数是：最低的几条能级的径向波函数是：第41页第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 氢原子内电子状态的光谱学标记氢原子内电子状态的光谱学标记第42页l=0 l=1 l=2 l=3 l=4 l=5 spdfghn=1 1sn=2 2s 2pn=3 3s 3p 3dn=4 4s 4p 4d 4fn=5 5s 5p 5d 5f 5gn=6 6s 6p 6d 6f 6g 6h第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 能级简并能级简并能量只与主量子数n 有关，而本征函数与n,l,m有关，故能级存在简并。给定能级En(即给定主量子数n)，角量子数l第43页第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 而磁量子数m 有（2l+1）个可能值：第44页因此，属于En的量子态nlm数目即氢原子能级n2度简并。但基态能级不简并，E1=e4/22=-13.6eV，相应基态波函数是100=R10Y00。第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第45页第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 氢原子内电子位置的几率分布氢原子内电子位置的几率分布在束缚定态 nlm(r)下，氢原子内的电子在位置r附近的体积元d 内出现的概率为：第46页A.径向位置概率分布考虑在(r,r+dr)的球壳内（不管方向）找到电子的概率，结果为 第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第47页径向位置的概率分布函数第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第48页s 电子的径向位置概率分布曲线（l=0）第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第49页lp 电子的径向位置概率分布曲线(l=1)第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第50页d 电子的径向位置概率分布曲线(l=2)第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 径向概率分布函数的基本特征：径向概率分布函数的基本特征：（1）径向概率分布函数在r=0和r=两点都等于零。（2）径向几率分布函数除了r=0和r=两点外还有(nl1=nr)个节点（零点），因而有(nl)个极大值。第51页（3）对于l=n1（即nr=0）的态，径向几率分布函数有唯一极大值，可以求出 取极大值的径向位置第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第52页C 是常数极值位置：最可几半径最可几半径与玻尔氢原子量子论中电子圆周运动轨道半径完全一致。因而l=n1（nr=0）的态称为“圆轨道”，除两端外，它们无节点。第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 角向位置概率分布角向位置概率分布在束缚定态 nlmnlm(r)(r)下，在空间立体角元d d 中（不管径向位置r r），找到电子的概率，第53页角向位置的概率分布函数与 角无关，故角分布函数绕z z轴旋转对称。第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun =0,m=0=0,m=0：|Y|Y0000|2 2=(1/4=(1/4)，与 也无关，球对称分布。第54页xyzs态电子第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun =1,m=1=1,m=1时，|Y|Y1,11,1()|()|2 2=(3/8)sin=(3/8)sin2 2 。在=/2=/2时，有最大值。在 =0=0（z z向）时，Y Y1,11,1=0=0第55页第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun =1,m=0=1,m=0时，|Y|Y1,01,0()|)|2 2=(3/4)=(3/4)coscos2 2。正好与上面相反，在=0=0时，最大；在=/2=/2时，等于零。第56页第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第57页=2第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 电流分布与原子磁矩电流分布与原子磁矩在 nlmnlm态下，电子的电流密度第58页在球坐标中，易知j j 是绕z z轴的环电流密度（如图）rrsindjzo第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 通过细环截面d d 的电流为：第59页rrsindjzo对磁矩的贡献为：氢原子在束缚定态nlm下总磁矩的大小为：第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第60页 轨道磁矩s s态电子(l=0,m=0l=0,m=0)，轨道磁矩为0 0 回转磁比值或g因子 Bohr磁子第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 类氢离子类氢离子核外只有一个电子，而核电荷数Z大于1的离子，如He+，Li+，Be+等。势能算符为：第61页因此氢原子的结果都适用于类氢离子，但需做代换第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第62页类氢离子：e2 Ze2其中a 是Bohr半径a a/Z第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 例题1：氢原子处在基态 ，求：(1)r的平均值；(2)势能的平均值；(3)最可几半径；第63页解：(1)第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第64页利用积分公式(2)(3)最可几半径 第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第65页例题2：设氢原子处于状态 求氢原子能量、角动量平方及角动量z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。解：（1）显然该状态是能量本征态，故氢原子能量有确定值En（n=2）：第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第66页（2）态(r,)也是角动量平方的本征态，故氢原子角动量平方有确定值：(3）但态(r,)非角动量z分量的本征态（磁量子数m不统一），故氢原子角动量z分量的可能值：对应态第一个分量对应态第二个分量相应的出现概率第6章 中心力场 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun 第67页lz的平均值