教育专题：直线、平面垂直的判定及其性质.ppt
高中数学模块高中数学模块2 2第二章第二章2.3.12.3.1直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 生活中有很多直线与平面垂直的实例生活中有很多直线与平面垂直的实例实例引入实例引入旗杆与地面垂直旗杆与地面垂直大桥的桥柱与水面垂直大桥的桥柱与水面垂直 生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？几个吗？2.3.12.3.1直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定A构构建建直直线线与与平平面面垂垂直直的的概概念念1、定义、定义：如果直线 与平面内的任意一条直线都垂直，（1）阳光下，旗杆与它在地面上的影子所成的角度是多少？思思考考记作：.就说直线直线 与平面与平面 互相垂直互相垂直。（2）随着时间的变化，影子的位置会移动，而旗杆与影子所成的角度是否发生了改变。（3）旗杆AB与地面上不过点B的任意一条直线位置关系如何？它们所成的角为多少度？A A平面的垂线平面的垂线直线的垂面直线的垂面垂足垂足 2 2、画法：画直线与平面垂直时，通常把直线、画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示图所示判断：1.1.如果一条直线如果一条直线 l 和一个平面内的和一个平面内的无数条无数条直线都垂直线都垂直，则直线直，则直线 l 和平面和平面 互相垂直（互相垂直（）BCl 直线直线 l 垂直于平面垂直于平面，则直线，则直线 l 垂直于平垂直于平面面中的任意一条直线中的任意一条直线 如下图，请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做一个试验：ABCD 过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起来放置在桌面上（BD,DC与桌面接触）。折痕AD与桌垂直吗？如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面 垂直？探探究究直直线线与与平平面面垂垂直直的的判判断断定定理理折图ABCD发现：发现：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，这样翻折之后竖立的折痕AD才不偏不倚地站立着，即AD与桌面垂直，其他位置都不能使AD与桌面垂直。一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。折痕AD与桌面上的一条直线垂直，是否足以保证AD垂直桌面?定理：定理：探探究究直直线线与与平平面面垂垂直直的的判判断断定定理理思思考考注意:定理中的”两条相交直线”这一条件不可忽视。ABCD由折痕ADBC，翻折之后这一垂直关系是一个不变关系，即有ADCD，ADBD，你能得到什么结论呢？ABCD若a ,b ,ab=p,a,b,则 .abp简记为简记为：线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直判断：3.1.1.如果一条直线如果一条直线 l 和一个平面内的和一个平面内的无数条无数条直线都垂直线都垂直，则直线直，则直线 l 和平面和平面 互相垂直（互相垂直（）BCl 直线直线 l 垂直于平面垂直于平面，则直线，则直线 l 垂直于平垂直于平面面中的任意一条直线中的任意一条直线 （）bamn例1 如图，已知a/b,a ,求证b .又因为 b/a,所以 b m,b n.又m ,n ,m,n 是两条相交直线，所以 b .证明：在平面 内作两条相交直线m,n.如图，直四棱柱ABCD-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，AC BD?CAABDBCD因为直线a ，根据直线与平面垂直的定义知 a m,a n.判判定定定定理理的的应应用用C1、如图，空间中直线、如图，空间中直线l和三角形的两边和三角形的两边AC,BC同时垂直，则这条直线同时垂直，则这条直线和三角形的第三边和三角形的第三边AB的位置关系是（的位置关系是（）A 平行平行 B 垂直垂直 C 相交相交 D 不确定不确定AB练习练习3.如图，圆如图，圆O所在一平面为所在一平面为 ，AB是圆是圆O 的直径，的直径，C 是圆上一点是圆上一点 ,且且PA AC,PA AB,求证：（求证：（1）PA BC （2）BC 平面平面PACPABCOBPABCO3.如图，圆如图，圆O所在一平面为所在一平面为 ，AB是圆是圆O 的直径，的直径，C 是圆上一点是圆上一点 ,且且PA AC,PA AB,求证：（求证：（1）PA BC （2）BC 平面平面PAC 如图，直四棱柱ABCD-ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，AC BD?CAABDBCD判判定定定定理理的的应应用用PAO四、直线和平面所成的角：四、直线和平面所成的角：如图所示，一条直线如图所示，一条直线PAPA和平面和平面 相交，但不垂直，相交，但不垂直，这这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点A A叫做斜足。叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点过斜线上斜足以外的一点P P向平面引垂线向平面引垂线PO PO，过垂，过垂足足O O和斜足和斜足A A的直线的直线AOAO叫做斜线在这个平面上的射影。叫做斜线在这个平面上的射影。斜线和射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角。斜线和射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角。斜线斜线斜足斜足射影射影一条直线垂直于平面，它们一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角所成的角是直角所成的角是直角所成的角是直角一条直线和平面平行，或在平面内，它们一条直线和平面平行，或在平面内，它们所所所所成的角是成的角是成的角是成的角是0 0 的角的角的角的角直线和平面所成角直线和平面所成角的范围是的范围是0，90 回顾反思回顾反思 通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？法？法？法？1.1.定定义义：如如果果一一条条直直线线垂垂于于一一个个平平面面内内的的任任何何一一条条直直线线，则则此直线垂直于这个平面此直线垂直于这个平面.2.2.判定定理判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么此直线垂直于这个平面。那么此直线垂直于这个平面。3.3.如如果果两两条条平平行行直直线线中中的的一一条条垂垂直直于于一一个个平平面面，那那么么另另一一条条也垂直于同一个平面。也垂直于同一个平面。归纳整理、整体认识归纳整理、整体认识(1)请同学们归纳一下，获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。直观感知直观感知-操作确认操作确认-获得判定定理获得判定定理(2)直线与平面垂直的判定定理，体现的数学思想方法是什么？定理体现了定理体现了“直线与平面垂直直线与平面垂直”与与“直线与直线直线与直线垂直垂直”互相转化的数学思想。互相转化的数学思想。1.对于任意的直线l与平面,在平面内必有直线m,使m与l()A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线3.两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？若两条直线平行，则它们与一个平面所成的角一定相等吗？4.如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC,AB=BC,求证 VB ACVABC当堂检测当堂检测(1题)2.如图，PA 面ABC,ABC中，ACB=90，则图中Rt的个数为_个.（2题）PABCB44.如图，在空间四边形如图，在空间四边形ABCD中中,PA面面ABC,ACBC,若若AE PB,AF PC 求证：求证：EFPBAFEPCB练习练习1.在正方形ABCD-A1B1C1D1中，求证：BD 面ACC1A1.AA1BB1DCC1D1（1题）2.平行四边形ABCD的对角线交点为O,点P在平行四边形ABCD所在平面外,且PA=PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的位置关系是_.ABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCD返回
