第一章利息的基本概念.ppt

2022/12/251利息理论主讲人：张霞2022/12/252精算职业简介精算师的职业生涯被喻为“金领中的金领”。因为在发达国家，精算师既是商业保险界的核心精英，又可在金融投资、咨询等众多领域担任要职。精算职业在美国长期被评为第一或第二好的职业。我国保险法第八十五条规定：保险公司应当聘用经国务院保险监督管理机构认可的精算专业人员，建立精算报告制度。2022/12/253中国精算师考试体系简介中国精算师资格考试分为两个层次，第一层次为准精算师资格考试，第二层次为精算师资格考试。2011年起准精算师阶段共有八门课程，均为必考。A1数学、A2金融数学、A3精算模型、A4 经济学、A5 寿险精算、A6 非寿险精算、A7 会计与财务、A8 精算管理。2022/12/254利息理论课程介绍金融领域的许多计算问题具有共同的数学特征和模型，大量的计算和分析实践的基础是现金流分析和货币的时间价值（累积和贴现）计算。例如：银行的资产负债分析、融资成本和投资收益分析、金融市场产品的定价和保险精算分析等。本课程的基本目的是使学生掌握基本的金融计算的概念、术语和原则，同时对一些基础性的金融工具进行现金流价值分析。2022/12/255参考书目S.G Kellison 著，尚汉冀译，利息理论，上海科学技术出版社，1995刘占国，中国精算师资格考试用书利息理论，南开大学出版社，2000李晓林编著，复利数学，中国财政经济出版社，19992022/12/256第一章 利息的基本概念1.1 利息度量1.2 利息问题求解2022/12/2571.1 利息度量利息的基本概念利息的定义2022/12/258“利息”一词可以定义为向人借资本以供自用者给予出借资本者的报酬。这样，利息可被视为借款者付给出借者的租金，用以赔偿出借者由于不再能使用这笔出借的资本而蒙受的损失。从理论上说，资本和利息不一定要是同类的东西。例如，农夫A可以出借一台拖拉机给农夫B，用以收割B的小麦，而B则用收割到的小麦的一定的百分比给A作为回报。然而，在几乎所有的实际应用中，资本和利息都是用货币来表示的。2022/12/259利息是借款方支付给贷款方的报酬；利息是掌握和运用他人资金所付的代价或转让货币使用权得到的报酬；利息是货币资本投资的收益。利息的定义2022/12/25101.1 利息度量利息的基本概念利息的定义几个常用的专业术语2022/12/2511几个常用的专业术语本金初始投资的资本金额租用期或投资期利用本金的时间长度计息期在投资过程中，相邻两次计算利息的时间间隔每一计息期一般是等长度的，如有：日、周、月、季、半年、一年或几年不等2022/12/25121.1 利息度量利息的基本概念利息的定义几个常用的专业术语利率的定义2022/12/2513利率的定义单位时间单位本金所获得的利息年利率的计算公式 利率的一般计算公式2022/12/25141.1 利息度量利息的基本概念积累值与积累函数积累值2022/12/2515积累值本利和、积累值、累积值、积存值、终值一笔投资资金到投资期末的本金和利息之和基本关系式：终值本金利息 影响积累值的主要因素借款额（本金）；利率；借款时间（投资期的长度）；计息次数；计息方式。2022/12/25161.1 利息度量利息的基本概念积累值与积累函数积累值积累函数2022/12/2517积累函数积累函数随投资时间的长度 t 的变化而变化的积累值，记为A(t)单位积累函数单位本金的积累函数，记为a(t)单位积累函数的性质1)a(0)=12)一般的a(t)关于时间严格单调递增3)a(t)在多数情况下是连续函数2022/12/2518i=2.50%i=2.50%时刻t累计函数a(t)=1累计函数a(t)=1+it累计函数a(t)=(1+i)t011.0001.000111.0251.025211.0501.051311.0751.077411.1001.104511.1251.131611.1501.160711.1751.189811.2001.218911.2251.2491011.2501.2801111.2751.3121211.3001.3451311.3251.3791411.3501.4131511.3751.4481611.4001.4851711.4251.5221811.4501.5601911.4751.5992011.5001.6392022/12/25192022/12/25201.1 利息度量利息的基本概念积累值与积累函数积累值积累函数积累函数与单位积累函数的关系2022/12/2521积累函数与单位积累函数的关系与的关系，其中P为本金表示投资在第n期赚取的利息量与具有类似的性质表示投资本金在第n期里的当期利率（实际利率）2022/12/25221.1 利息度量利息的基本概念积累值与积累函数计息方法2022/12/2523计息方法单利复利标准复利一般复利连续复利2022/12/2524单利考虑投资1单位，使在每一时期中得到的利息为常数。1单位的积累值在第一时期末为1+i，在第二时期末为1+2i，如此等等。对一般情形，得到线性积累函数a(t)1+it（对整数t0）象这种类型产生的利息称为单利。2022/12/2525相应单利的累积函数为时间的线性函数注 常数的单利率并不意味着常数的实际利率！因为相应于单利的第n 个时期的实际利率in为为什么在每一个时期中所获的利息金额相等可实际利率却越来越小呢？是一个关于n 的单调递减的函数，并且当n 的取值较大时实际利率in 将变得较小问题问题2022/12/2526注 当计算实际利率in时是把第n 期开始时的资本总额作为投资额来计算相应的所得利息与期初投资额之比。随着资本总额的不断增加常数的利息必将导致单调递减的实际利率。注 上面的讨论虽然只是在整点时刻上进行观察，但由于所产生的利息被认为是在该期间的各个小区间上按比例产生的，从而上面给出的关于整数t 的单利的生成方式可以认为是对于所有的t0 都成立的利息产生方式。单利的直观表述不同的时期所获利息金额的大小只与所历经的时期的长短有关系而与该时期的具体位置无关2022/12/2527单利是由满足如下条件的连续函数a(t)所相应的累积函数所给出的：注 上式意味着经过时间t+s所产生的利息等于经过时间t 产生的利息与经过时间 s 产生的利息之和。或等价的从上述性质可以推出函数a(t)满足单利是由满足如下条件的连续函数a(t)所相应的累积函数所给出：及2022/12/2528 例1-1 若单利年息为8，求投资2000元在4年后的积累值。注 每年所获得的利息金额都是160元解按照单利的计算公式有A(4)=2000a(4)=2000(1+8%4)=2640（元）其中所获得的利息金额为I=20008%4=640（元）注 利息金额=本金金额利率时期2022/12/2529计息方法单利复利标准复利一般复利连续复利2022/12/2530复利单利具有这样的性质：利息并不再投资以赚取附加的利息。例如，考虑$100的本金以10的单利投资2年。对于单利而言，投资者在两年中每一年末将收入$10，但实际上，投资者在第2年中是有$110可用以投资的。显然，如果用10的利率投资$110将会更好，因为投资者将在第2年收入$11而不是$10。复利理论用假设得到的利息自动再投资来处理这个问题。“复”这个词在这里是指利息再投资以得到额外利息的过程。对复利而言，在任何时侯本金和到该时为止得到的利息，总是都用去投资。2022/12/2531计息方法单利复利标准复利一般复利连续复利2022/12/2532时间单位为一年，每年利息转换一次的复利一年终所得利息I1=Pi一年终本利和A(1)=P+Pi=P(1+i)二年终所得利息 I2=P(1+i)i二年终本利和 A(2)=P(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)2t 年终本利和 A(t)=P(1+i)t本金为P，年利率为i注 t 可以不是整数。注 隐含假设：所赚利息能以相同利率再投资。标准复利2022/12/2533计息方法单利复利标准复利一般复利连续复利2022/12/2534一般复利在标准复利中，计息期为一年，即每隔一年计息一次，并将利息转为本金计算复利。但在金融实务中，也存在着一年计息多次或多年计息一次的计息方式，即存在着一年利息转换多次或多年利息转换一次的复利。一般复利计息期不为一年的计息方式2022/12/2535一年分12期结算，每期利率为1期终利息1期终本利和2期终本利和12期终本利和t 年终本利和本金为P，年利率为i一年均分为m期（m为正整数），由以上推算法得：t 年终本利和2022/12/2536计息方法单利复利标准复利一般复利连续复利2022/12/2537连续复利在一般复利计息方式中，当复利期的时间间隔趋近于零，即利息转换在每时每刻不断进行着，这种方式增长的利息称为连续复利。2022/12/25381.1 利息度量利息的基本概念积累值与积累函数计息方法单利复利标准复利一般复利连续复利各种计息方法的比较2022/12/2539各种计息方法的比较（一）对终值进行比较2022/12/2540（一）对终值进行比较2022/12/2541 例1-2：某人2003年1月1日从银行借款1000元，假设年利率为12%，试分别以单利和复利计算：（1）2003年5月20日时，他需还银行多少钱？（2）2005年1月1日时，他需还银行多少钱？（3）几年后需还款1500元？解：（1）从2003年1月1日到5月20日共计140天，故计息天数为139天，单利：（元）复利：（元）2022/12/2542单利：（2）从2003年1月1日到2005年1月1日为两年，单利：复利：复利：（3）（元）（元）（年）（年）2022/12/2543各种计息方法的比较（一）对终值进行比较（二）对积累函数的性质进行比较2022/12/2544（二）对积累函数的性质进行比较复利的可分离变量性复利是由满足如下条件的非零连续函数a(t)所相应的累积函数所给出的注 复利终值不受人为的利息转换行为的影响。注 单利不具备该性质2022/12/2545各种计息方法的比较（一）对终值进行比较（二）对积累函数的性质进行比较（三）对所产生的利息量进行比较2022/12/2546（三）对所产生的利息量进行比较本金为P，年利率为i，则第n年里产生的利息量为：单利：注 与n无关，说明单利投资期内任何一年所产生的利息都相等2022/12/2547标准复利：一般复利：连续复利：注 复利在投资期第n年内的利息量随着n的增大而单调增加2022/12/2548各种计息方法的比较（一）对终值进行比较（二）对积累函数的性质进行比较（三）对所产生的利息量进行比较（四）对利率的变化情况进行比较2022/12/2549（四）对利率的变化情况进行比较年利率为i，则第n年的利率为：单利：标准复利：一般复利：连续复利：2022/12/2550各种计息方法的比较（一）对终值进行比较（二）对积累函数的性质进行比较（三）对所产生的利息量进行比较（四）对利率的变化情况进行比较（五）复利计息方式的优缺点2022/12/2551（五）复利计息方式的优缺点优点体现了资金的时间价值每年的实际利率不变终值不受人为利息转换方式的影响符合资本增殖的内在规律，满足资金融通的客观要求缺点计算较复杂2022/12/2552各种计息方法的比较（一）对终值进行比较（二）对积累函数的性质进行比较（三）对所产生的利息量进行比较（四）对利率的变化情况进行比较（五）复利计息方式的优缺点（六）单利计息方式的优缺点2022/12/2553（六）单利计息方式的优缺点优点计算较简单缺点实际利率逐年下降终值受人为因素影响不符合资本增殖的内在规律，不满足资金融通的客观要求2022/12/25541.1 利息度量利息的基本概念积累值与积累函数计息方法实际利率与名义利率（一）实际利率2022/12/2555（一）实际利率（实质利率、有效利率）定义一定义一金额与此时期开始时投资的本金金额之比。实际利率i是某时期内得到利息的注投资到n期末的积累函数的值等于各期积累因子的乘积2022/12/2556定义二定义二实际利率i是指在某一时期开始时投资1单位本金时，在此时期内应获之利息，此处利息是在期末支付的。或即注1“实际”这一术语用于利率是指利息在每一度量时期之末支付。这与“名义”利率不同，后者利息的支付比每个度量时期一次更为频繁。2利率和实际利率无量纲，常用百分比来表示。3本金在整个时期内视为常数，即在此期间既无新的本金加入也不抽回本金。4本课程中的实际利率由计息方式决定。货币金融学中的实际利率是扣除通货膨胀因素后的利率。2022/12/25571.1 利息度量利息的基本概念积累值与积累函数计息方法实际利率与名义利率（一）实际利率（二）名义利率2022/12/2558（二）名义利率 储蓄、保险、债券投资等金融业务通常会涉及许多不同的期限，比如，目前银行开设的人民币整存整取定期储蓄业务包括3个月、6个月、1年、2年、3年和5年六个档期，它们各自的利率相互之间如何比较？问题的提出：2022/12/2559现行人民币储蓄存款利率：项目年利率（）活期存款0.81定期存款（整存整取）三个月半年一年2.61二年三年五年3.603.154.234.955.492022/12/2560分析：若存三个月的实际利率为2.61%而存1 年的实际利率为3.60%，恐怕就不会有人存1 年期的定期了。因为在1 年期间可以通过反复存取得到四个3 个月定期，这样的话，按照复利公式可以得到1 年下来1 个单位的本金的累积值为利息收入远远超过存一个1 年的定期。五年期定期的利率仅为5.49%，而1 年期定期的利率为3.60%，难道还会有人存五年的定期吗？这样理解肯定是有问题的。2022/12/2561 实际利率考虑的是在一个计息期内所真实获得的全部利息与期初本金金额之比。名义利率考虑的是在一个单位时间内当支付利息的次数不止一次或不足一次时如何计算利率。一笔给定了单位时间上的利率的投资项目，由于计息方式不同，在该单位时间上所产生的实际利率也不同。我们称原给定的单位时间上的利率为名义利率。2022/12/2562 表示每一时期付m次利息的名义利率，其中m是l的正整数 指一个每 时期支付一次的利率，也就是说，对于每 时期付的利息是 ，而不是 注每一时期 的名义利率就等于每 时期 的实际利率2022/12/2563时间点：利息量：积累值：2022/12/25642 年期定期2 年的实际利率为3 年期定期3 年的实际利率为5 年期定期5 年的实际利率为1年期定期1 年的实际利率为半年期定期半 年的实际利率为三个月定期三个月的实际利率为2022/12/2565期限 银行挂牌利率等价年实利率0.252.61%2.64%0.53.15%3.17%13.60%3.60%24.23%4.14%34.95%4.72%55.49%4.97%2022/12/2566 例1-3 有以下两种5 年期的投资选择：A 年利率7%，每半年计息一次；B 年利率7.05%，每年计息一次。试比较两种选择的收益。解方法一：比较等价的年实利率已知方法二：比较实际收益结论：A收益高2022/12/2567 人民币储蓄按存款期限不同分为活期储蓄和定期储蓄两大类，定期储蓄又包括了整存整取、零存整取、整存零取、存本取息、定活两便等。补充银行储蓄常识 活期储蓄存款由储蓄机构发给存折，凭存折存取开户后可以随时存取。活期储蓄存款帐户每年结算利息四次，分别在3 月、6月、9月和12月的21 日，利息并入本金一并生息。整存整取定期储蓄存款由储蓄机构发给存单，存期分3个月、半年、1年、2年、3年、5年六档期，本金一次存入，到期凭存单支取本息。各种储蓄存款除活期（存折）年度结息可将利息转入本金生息外，其它各种储蓄不论存期如何，一律于支取时利随本清，不计复息。不足一个计息期的活期储蓄按单利计息。2022/12/2568 按储蓄管理条例规定存款的计息起点为元，元以下角分不计利息。利息金额算至分位，分以下尾数四舍五入。定期储蓄存款提前支取的，按支取日挂牌公告的活期储蓄存款利率计付利息。部分提前支取的，提前支取的部分按支取日挂牌公告的活期储蓄存款利率计付利息，其余部分到期时按开户日挂牌公告的整存整取定期储蓄存款利率计付利息，部分提前支取以一次为限。存期的计算采用算头不算尾的方法，即是从存款存入银行的当日算起直至取款日前一天为止，取款当日不计利息。2022/12/2569 除约定自动转存外，定期储蓄存款过期支取的其过期部分的利息按活期存款计算。例：一年期定期储蓄挂牌利率为3.60%，税后实际利率为 从1999 年11 月1 日起，储蓄存款利息所得按照每次取得的利息所得额征收20%的个人所得税。定期储蓄存款在存期内如遇利率调整，仍按存单开户日挂牌公告的相应的定期储蓄存款利率计算利息。活期储蓄存款在存入期间遇有利率调整按结息日挂牌公告的活期储蓄存款利率计算利息。2007年8月15日起，利息税调整为5。2022/12/25701.1 利息度量利息的基本概念积累值与积累函数计息方法实际利率与名义利率现值与贴现（一）现值与现值函数2022/12/2571（一）现值与现值函数 在实务中常常要回答诸如投资者最初应投资多少本金才能在n年末获得单位金额的终值。在标准复利下，若实际利率为i，1单位本金在n年末的积累值为 。因此，单位本金在n年末的积累值为1。称 为n年末的终值1在投资期初的现值或现时值，记为 。一般地，投资单位积累函数的倒数 的本金能在t个单位时间末获得积累值1。称 为现值函数。2022/12/2572 上面定义的“积累值”严格地只与过去的付款有关；而“现时值”则严格地只与将来的付款有关。这就是我们使用这些术语的意义。某些作者所用的“现时值”既可以与过去有关，也可以与将来有关；倘若要达到这个目的，则我们将用“当前值”这个说法。若一笔投资在t个单位时间末的积累值为F，则它的现值 为：2022/12/2573复利下 与 的联系 很明显，的值将 延拓到t的负值。这样，复利的积累函数对所有t均有意义。2022/12/25741.1 利息度量利息的基本概念积累值与积累函数计息方法实际利率与名义利率现值与贴现（一）现值与现值函数（二）贴现与贴现率2022/12/2575（二）贴现与贴现率 在债券发行时，以面值为基数给买主一个折扣，买债券者在持有债券期间得不到任何利息，债券到期时债券的发行人付给债券所有者面值的金额。折扣债券（零息债券）：例如一张面值为1000元的债券，一年后到期，现在卖900元，买债券的人现在以900元买下，一年以后得1000元，也就是债券的面值。美国短期国债，即国库券为典型的折扣债券。我们称以折扣方式进行投资的金融行为为贴现。其折扣量为贴现量，折扣率为贴现率，记为d。2022/12/2576贴现率的一般计算公式年贴现率的计算公式标准复利下2022/12/2577 在期初开始时应投资多少，才能使得在1 个时期结束时本金和利息总额恰好为1 个单位的货币量？考虑积累的反问题：若实际利率为i，则在期初投资的1 个单位的本金在期末将累积到1+i。积累因子把1+i 称为是积累因子，即2022/12/2578把称为贴现因子，即贴现因子如果在期初投资累积至1。则期末时恰好2022/12/2579对于等价的利率i 和贴现率d 有如下关系式：一对利率和贴现率被称为等价的，如果无论按哪种方式，相同的原始本金初值经过相同的计息期产生相同的终值。（1）设期初货币量为1，则由利率定义可知利息量恰为利率i，从而期末货币量应为 。所以由贴现率的定义可得注2022/12/2580（2）设期末货币量为1，则由贴现率定义可知利息量恰为贴现率 d，从而期初货币量应为 。所以由利息率的定义可得（3）因为贴现因子注注2022/12/2581 例1-4 假设期初借款人从贷款人处借入10000元并约定一年到期时还10500元（即利率i=5%）。如果借款人希望期初时即付给贷款人利息，1 年到期时偿还本金10000元，问：期初借款人实际可得金额是多少？解贴现因子贴现率从而借款人在期初实际可得（元）2022/12/2582（4）（5）注上式即为注 若i1与d1等价，i2与d2等价，则i1i2当且仅当d1d2。2022/12/2583解 从贴现的角度看，零息债券的贴现率 d=5%，债券投资优于储蓄。从年利率的角度看，债券投资优于储蓄。例1-5 若现有面额为100 元的零息债券在到期前一年的时刻价格为95 元，同时短期一年储蓄利率为5.25%，如何进行投资选择？蓄的贴现率而储零息债券2022/12/25841.1 利息度量利息的基本概念积累值与积累函数计息方法实际利率与名义利率现值与贴现（一）现值与现值函数（二）贴现与贴现率（三）贴现方式与贴现函数2022/12/2585（三）贴现方式与贴现函数利用贴现率建立起来的现值函数称为贴现函数。贴现方式也分为单贴现和复贴现，其中复贴现又包括标准复贴现、一般复贴现和连续复贴现等贴现方式。标准复贴现一般复贴现连续复贴现单贴现2022/12/25862022/12/25871.1 利息度量利息的基本概念积累值与积累函数计息方法实际利率与名义利率现值与贴现实际贴现与名义贴现（一）实际贴现率2022/12/2588（一）实际贴现率（实际折扣率、有效贴现率）某一单位时间上所取得的利息量与该单位时间末的投资可收回金额（本利和）之比称为该单位时间上的实际贴现率。注比较实际贴现率与实际利率的异同。2022/12/2589注投资到n期时，其贴现函数值等于各期贴现因子的乘积。注实际贴现率具有与实际利率类似的一些性质。利息按期初余额计算而在期末支付。贴现按期末余额计算而在期初支付。2022/12/25901.1 利息度量利息的基本概念积累值与积累函数计息方法实际利率与名义利率现值与贴现实际贴现与名义贴现（一）实际贴现率（二）名义贴现率2022/12/2591（二）名义贴现率 名义贴现率 ，是指一个每 时期支付一次的贴现率，即对每 时期的实际贴现率是 。时间点：利息量：积累值：2022/12/25921.1 利息度量利息的基本概念积累值与积累函数计息方法实际利率与名义利率现值与贴现实际贴现与名义贴现（一）实际贴现率（二）名义贴现率（三）各种“率”之间的等价问题2022/12/2593（三）各种“率”之间的等价问题等价的重新定义：如果对给定的投资金额，在同样长的时间内，对于某两种不同的“率”下产生相同的投资终值，则这两种“率”是等价的。相同计息期内等价的条件下有如下的关系式：2022/12/2594则有关系式：及 计息期内等价的实际利率与实际贴现率与为2022/12/2595（2）例1-6（1）求每月结算的年利率为12的实际利率；（2）求每季结算的年贴现率为10的实际贴现率；（3）求相当于每月结算的年利率为12的半年结算的年贴现率。解：（3）（1）2022/12/25961.1 利息度量利息的基本概念积累值与积累函数计息方法实际利率与名义利率现值与贴现实际贴现与名义贴现利息强度（一）利力2022/12/2597（一）利力 连续型利息模型，即利息的产生是连续地依赖于时间的，但利息的支付却不必是连续的。连续利息计算 考虑理想的情形即每个瞬间都可以进行利息的换算，如何来度量利息在每一个小瞬间的变化的强度？设累积函数a(t)为t 的连续可微函数，时刻t的利息力定义为定义2022/12/25Copyright by Liu Ning98积累函数的变化率等于积累函数与其利力的乘积单位本金在n个单位时间内所获得的利息量被积表达式 为资金 在利力 作用下t时刻瞬间的利息，0到n的积分（累加），即为n个单位时间内获得的利息总量2022/12/2599例1-7 求单利在时刻t 的利力解从而时刻t 的利力为单利的利力关于时间为递减函数注2022/12/25100例1-8 求标准复利在时刻t 的利力解从而时刻t 的利力为注标准复利的利息力关于时间为常值函数2022/12/251011.1 利息度量利息的基本概念积累值与积累函数计息方法实际利率与名义利率现值与贴现实际贴现与名义贴现利息强度（一）利力（二）贴现力2022/12/25102（二）贴现力时刻t 的贴现力定义为：利息力与贴现力相等注2022/12/25103若利力为常数，即 ，则(1)(2)(3)常数利力 与实际利率i 的关系式为：注2022/12/25104例1-9 基金F以利力函数 累计；基金G 以利力函数 累计。分别用 和 表示两个基金在时刻 的累计函数，令：，计算使h(t)达到最大的时刻T。解由题设条件有由此可以求出使 h(t)达到最大的时刻根据h(t)定义得以及2022/12/25105第一章 利息的基本概念1.1 利息度量1.2 利息问题求解2022/12/25106 1使读者熟悉更复杂类型的金融业务，包括一些在实践中碰到的术语的定义。利息理论中的基本规则相对来说是比较少的。在第一节中，分析了利息的各种定量度量。第二节将讨论求解利息问题时应当遵循的一般规则。本节的目的是要发展一种系统的方法，利用这种方法可将第一节中的基本原理应用于更复杂的金融业务。如对第一章有了透彻的了解，就可以解大多数利息问题。相继的各章有两个主要的目的：2提供对这些金融业务的系统分析，它使人们能够对问题作出比直接采用基本原理更有效的处理。2022/12/25107现金流量（一）现金流量的概念1.2 利息问题求解2022/12/25108（一）现金流量的概念 现金流量就是在不同时期的（系列）支出或收入的现金金额，简称为现金流。流入量、流出量、净现金流量几个概念：2022/12/25109现金流量（一）现金流量的概念（二）现金流量的现值1.2 利息问题求解2022/12/25110（二）现金流量的现值离散型 若在时刻 处的现金流入量为 ，现金流出量为 ，则在 时刻的净现金流量为 。如果 ，则在时刻 有净现金流入；如果 ，则在时刻 有净现金流出。若离散的净现金流量为 ，则此现金流量的净现值 为：2022/12/25111连续型 若在0时刻到 时刻之间净现金流量是连续地支付款项，在 时刻的付款率（即现金流速）为每单位时间 。用 代表净现金流量从0时刻到 时刻的支付总额，则：整个现金流量的净现值为：其中 为贴现函数。2022/12/25112现金流量（一）现金流量的概念（二）现金流量的现值（三）现金流量的终值与当前值1.2 利息问题求解2022/12/25113（三）现金流量的终值与当前值 当一个现金流量所经历的时间是一有限区间时，则可求出这个现金流量到它所经历的最后时刻T处的终值。其中 为积累函数。若现金流量在标准复利下，且利率为i，则：2022/12/25114现金流量价值方程（一）价值方程的概念1.2 利息问题求解2022/12/25115（一）价值方程的概念利息理论的基本原理：利息理论的基本原理：任何时刻资金（或现金流）的积累值依赖于其所经历的时间。此即我们常说的“货币的时间价值”。问题的提出：多笔金融业务发生在不同时刻，如何来统一处理？2022/12/25116 显然，两个或更多个在不同时刻支付的金额是不能相互比较的，只有当它们积累或贴现到同一时刻，才能进行比较。这个“同一时刻”常称为“比较日”。即为比较日的当前值。一般地，要衡量多个时刻付款（现金流）的总价值时，总是先选取一个比较日，然后分别将各次付款积累或贴现到比较日，得到的和就是总价值，此过程中得到的等式称为“价值方程”。2022/12/25117利息计算的基本要点1）投资开始时的现值（货币金额）2）投资经过的时间（时间长度）3）利率（货币的时间价值尺度）4）投资结束时的终值（货币金额）计算的关键：的值。已知其中任意三个量求第四个量2022/12/25118注1：期初与期末是两个特殊的比较日，中间其他时刻都可以作为比较日。现值方程与终值方程是将比较日选为期初或期末的两种特殊的价值方程。注2：采用复利计算，最终计算结果与比较日的选取无关；采用单利计算，比较日的选取将直接影响到计算结果。2022/12/25119时间流程图具体做法：1）用一条直线表示时间（从左到右），上面的刻度为事先给定的时间单位（如年、季、月等）2）发生的现金流量写在对应时间的上方或下方（取决于资金的流向）3）画一个小箭头代表比较日注：时间流程图对于资金流动频繁的复杂情况的分析及确定相应的价值方程有帮助2022/12/25120例：某资金帐户现金流如下：在时刻0有100元资金支出，在时刻5有200元资金支出，在时刻10有最后一笔资金支出；作为回报，在时刻8有资金收回600元。假定半年结算年名义利率为8，试计算时刻10的支出金额大小。解：设时刻10的支出金额为X，则整个业务的现金流程图如下：012345678910100200X6002022/12/251211依复利方式计算：半年结算年名义利率8半年期实际利率4半年期积累因子半年期贴现因子选取不同的比较日t的价值方程（收支平衡）：1）t0100012345678910200X6002022/12/251222）t5100012345678910200X6003）t10100012345678910200X600结论：不同比较日的价值方程的计算结果相同2022/12/251232依单利方式计算：半年期单利率i4选取不同的比较日t的价值方程（收支平衡）：1）t0100012345678910200X600由此可以解得：2022/12/251242）t5100012345678910200X6003）t10100012345678910200X600结论：不同比较日的价值方程的计算结果不同由此可以解得：由此可以解得：2022/12/25125现金流量价值方程（一）价值方程的概念（二）投资期的确定1.2 利息问题求解2022/12/25126（二）投资期的确定 在利息问题求解中，通常以1年作为时间的单位，但在实务中常会遇到投资期不为整数年的情况，这就需要计算天数和将天数转化为年数。一般来说，在投资期不足1年时，通常使用单利来计息，因此国际金融领域一般有三种计算方法2022/12/251271、严格单利法 严格按实际的投资天数计算，一年为365 天或366天（闰年）英国法“实际/实际”法2022/12/251282、常规单利法大陆法大陆法假设每月有30天，一年为360天注：两个给定日期之间的天数的计算公式为Y2、M2、D2分别代表支取日的年、月、日，而Y1、M1、D1 则分别代表存入日的年、月、日“30/360”法2022/12/25129例：存入日：1999年3月11日支取日：2000年6月20日存取天数360(20001999)+30(63)+(2011)360909 459例：存入日：1999年6月20日支取日：2000年3月11日存取天数360(20001999)+30(36)+(11 20)360909 261注：大月日历日30日与31日被视为同一天；二月当月存入、当月取出的，按照实际存款天数计算，跨月存入、取出的，则按照30天计算。2022/12/251303、银行家规则按实际的投资天数计算，但一年设为360 天欧洲货币法“实际/360”法注：不是所有的利息计算都需要计算天数（如银行储蓄、债券交易会涉及投资天数的计算），许多金融业务是自动依月、季、半年或一年进行的2022/12/25131现金流量价值方程求解价值方程的方法（一）解价值方程的主要方法1.2 利息问题求解2022/12/25132（一）解价值方程的主要方法设价值方程为：F(x)=0，其中x为方程的未知量。Newton-Raphson法：1选取迭代初值x12将x1代入迭代公式：得到x23重复步骤 2，直至适用条件：F(x)可导且不为02022/12/25133现金流量价值方程求解价值方程的方法（一）解价值方程的主要方法（二）未知利率问题1.2 利息问题求解2022/12/25134（二）未知利率问题根据不同的实际问题选用不同的方法，求解未知利率方法一：直接对价值方程进行指数或对数运算例：以什么样的按季度结算的年名义利率，可以使当前的1000元在六年后本利和为1600元？解：令，比较日为第六年年底，则价值方程为由此可得故或 7.912022/12/25135方法2：用代数方法求解例：已知两年后的2000元和四年后的3000元的现值之和为4000元，试计算年利率。解：比较日为初始时刻，则价值方程为可化简为v2的二次方程：由此可得或（舍去）故或7.302022/12/25136方法3：求数值解例：如果现在投入1000元，三年底投入2000元，在第十年底的全部收入为5000元。计算半年计息一次的年名义利率。解：令，比较日为第十年年底，则价值方程为此方程可转化为，无法直接求解记，则根据Newton-Raphson法，构造迭代公式2022/12/25137取x11.05，代入迭代方程，可得故，2022/12/25138现金流量价值方程求解价值方程的方法（一）解价值方程的主要方法（二）未知利率问题（三）未知时间问题1.2 利息问题求解2022/12/25139（三）未知时间问题例：假设有两种投资方式（1）分别在时刻t1，t2，tn投入s1，s2，sn 元（2）在时刻t一次性投入s1+s2+sn 元若两种方式的投资价值相等，求时刻t（某时刻的一次性支付与不同时刻的多次支付等价）解：两者在时刻0价值相等的基本价值方程为故精确解为：2022/12/25140通常用所谓的“等时间法”作上式的近似计算，即：其中注1：等时间法相当于用各个时刻的货币量作为权数对所有时刻加权求和作为t的近似值t注2：这一概念在金融工程中被称为“久期”2022/12/25141 例：预定在第2、3、8年末分别付款$100、$200和$500。假设实际利率为年率5，试确定一个一次付款$800的时刻，使它(1)按等时间方法，(2)按精确方法为等价。解：（1）等时间法给出的近似解为（2）精确解为注：可以证明近似解总比精确解偏大2022/12/25142例：在给定利率下，求货币价值增加一倍的时间间隔解：设所求时间间隔为t，则基本价值方程为解之，可得2022/12/25143进一步的分析：上式可变形为取，从而有该算法称为“72算法”，当利率在一定范围变化时，72算法近似度较高。利率（）46810121872算法t181297.264精确算法t17.67 11.909.017.276.124.19注：可以证明，当利率小于8时得到的近似估计值偏大，而当利率大于8时得到的近似估计值偏小2022/12/25144 问题1 为了在第4年末得到2000元及在第10年末得到5000元，投资者愿意立即投资3000元，并在第3年末追加一笔投资。如果 ，试确定追加投资的数额。问题2 按某一利率以下两种付款方式的现值相等：（1）第5年末付200元，再加第10年末付500元，（2）第5年末付400.94元。现若以同样利率投资100元并加上在第5年末投资120元，将在第10年末积累到P。试计算P。2022/12/25145问题1设追加投资的数额为x，依题意：2022/12/25146问题2设利率为i，依题意：