拉普拉斯定律.ppt

第七节 拉普拉斯定理、行列式的乘法一、拉普照拉斯定理一、拉普照拉斯定理定义1 在n阶行列式D=中任取K行、K列，位于这些行、列相交处的元素按原来的相对次序构成的K阶行列式S称为D的一个K阶子式；在D中去掉S所在的行与列，剩下的元素按原来的相对次序构成的n-k阶行列式M称为S的余子式；设S来自D的第 行和第 列，这里 ，我们把 称为S的代数余子式。定理1(拉普拉斯定理)在n阶行列式D中任取K个行(或K个列)(1Kn),由这K行(列)元素构成的K阶 子式(共有 个)与它们的代数余子式 的乘积之和等于行列式D.即D=为某K个行构成的K阶子式;分别是它们的代数余子式.例1 把行列式按第1,2两行展开.解:由第1,2两行可以得到 =6个2阶子式:因为所以只需求出 的代数余子式于是二二 行列式的乘法公式行列式的乘法公式定理2 两个n阶行列式的乘积等于一个n阶行列式其中 是 的第i行元素与 的第j列对应元素的乘积之和,即证明:作2n阶行列式利用拉普拉斯定理把 按前n行展开.由于 的前n 行中除了左上角的n阶子式 之外,其余子式全为零,所以下面我们来证 .为此,对于I=1,2,n,将 的第n+1行的 倍,第n+2行的 倍,第2n行的 倍加到第i行,得 其中其中 把上把上面的行列式按前面的行列式按前n行展开行展开,由拉普拉斯定理由拉普拉斯定理,得得