西安交大复变函数课件5-3留数在定积分计算上的应用.ppt

一、形如 的积分 二、形如 的积分三、形如 的积分第三节第三节 留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用四、小结与思考1一一、形如、形如 的积分的积分思想方法思想方法:封闭路线的积分封闭路线的积分.两个重要工作两个重要工作:1)积分区域的转化积分区域的转化2)被积函数的转化被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条把定积分化为一个复变函数沿某条2形如形如当当历经变程历经变程时时,的的正方向绕行一周正方向绕行一周.z 沿单位圆周沿单位圆周3z的有理函数的有理函数,且在且在单位圆周上分母不单位圆周上分母不为零为零,满足留数定满足留数定理的条件理的条件.包围在单位圆周包围在单位圆周内的诸孤立奇点内的诸孤立奇点.4例例1 计算积分计算积分解解则则56例例2 计算计算解解 令令7极点为极点为:(在单位圆内在单位圆内)(在单位圆外在单位圆外)8例例3 解解 故故积分有意义积分有意义.91011因此因此12若有理函数若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次的分母至少比分子高两次,并且并且分母在实轴上无孤立奇点分母在实轴上无孤立奇点.一般设一般设分析分析可先讨论可先讨论最后令最后令即可即可.二、形如二、形如 的积分的积分132.积分区域的转化积分区域的转化:取一条连接区间两端的按段光滑曲线取一条连接区间两端的按段光滑曲线,使与区间使与区间一起构成一条封闭曲线一起构成一条封闭曲线,并使并使R(z)在其内部除有在其内部除有限孤立奇点外处处解析限孤立奇点外处处解析.(此法常称为此法常称为“围道积分法围道积分法”)1.被积函数的转化被积函数的转化:(当当z在实轴上的区间内变动时在实轴上的区间内变动时,R(z)=R(x)可可取取 f(z)=R(z).14xy.这里可补线这里可补线(以原点为中心以原点为中心,R为半径为半径的在的在上半平面的半圆周上半平面的半圆周)与与一起构成封闭曲线一起构成封闭曲线C,R(z)在在C及其及其内部内部(除去有限孤立奇点）处处解析除去有限孤立奇点）处处解析.取取R适当大适当大,使使R(z)所有的在上半平面内的极点所有的在上半平面内的极点都包在这积分路线内都包在这积分路线内.15根据留数定理得根据留数定理得:当当 充分大时充分大时,总可使总可使1617例例4 计算积分计算积分解解 在上半平面有二级极点在上半平面有二级极点一级极点一级极点1819xy.积分存在要求积分存在要求:R(x)是是x的有理函数而分母的次的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次数至少比分子的次数高一次,并且并且R(z)在实轴上在实轴上无孤立奇点无孤立奇点.与与曲线曲线C,使使R(z)所有的在上半平面内的极点所有的在上半平面内的极点包在这积分路线内包在这积分路线内.同前一型同前一型:补线补线一起构成封闭一起构成封闭都都三、形如三、形如 的积分的积分20对于充分大的对于充分大的 ,且且 时时,有有21从而从而22由留数定理由留数定理:23例例5 计算积分计算积分解解 在上半平面只有二级极点在上半平面只有二级极点又又24注意注意 以上两型积分中被积函数中的以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴在实轴上无孤立奇点上无孤立奇点.25例例6 计算积分计算积分分析分析 因因在实轴上有一级极点在实轴上有一级极点应使封闭路应使封闭路线不经过奇点线不经过奇点,所以可取图示路线所以可取图示路线:26解解 封闭曲线封闭曲线C:由柯西由柯西-古萨定理得古萨定理得:由由2728当当 充分小时充分小时,总有总有 29即即30例例7证证 如图路径，如图路径，3132令两端实部与虚部分别相等，得令两端实部与虚部分别相等，得菲涅菲涅耳耳(fresnel)积分积分33四、小结与思考四、小结与思考 本课我们应用本课我们应用“围道积分法围道积分法”计算了三类实计算了三类实积分积分,熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难点点.34思考题思考题35思考题答案思考题答案放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.36