广东省惠州市崇雅中学高中数学 232 双曲线的简单几何性质课件 新人教A选修21.ppt
2021/8/8 星期日1复习回顾：双曲线的标准方程复习回顾：双曲线的标准方程:形式一：形式一：（焦点在（焦点在x轴上，（轴上，（-c，0）、）、（c，0）形式二：形式二：（焦点在（焦点在y轴上，（轴上，（0，-c）、（）、（0，c）其中其中 双曲线的图象特双曲线的图象特点与几何性质点与几何性质?现在就用方现在就用方程来探究一下程来探究一下!类似于椭圆几何性质的研究类似于椭圆几何性质的研究.2021/8/8 星期日2YXF1F2A1A2B1B2焦点在x轴上的双曲线图像2021/8/8 星期日3 2、对称性、对称性 一、研究双曲线一、研究双曲线 的简单几何性质的简单几何性质1、范围、范围关于关于x轴、轴、y轴和原点都是对称轴和原点都是对称.x轴、轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心,又叫做双曲线的又叫做双曲线的中心中心.xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)(下一页下一页)顶点顶点2021/8/8 星期日43、顶点、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点顶点xyo-bb-aa如图，线段如图，线段 叫做双曲线叫做双曲线的实轴，它的长为的实轴，它的长为2a,a叫做叫做实半轴长；线段实半轴长；线段 叫做双叫做双曲线的虚轴，它的长为曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长叫做双曲线的虚半轴长.（2）(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线等轴双曲线.(下一页下一页)渐近线渐近线2021/8/8 星期日54、渐近线、渐近线xyoab利用渐近线可以较准确的画出利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图双曲线的草图(2)渐近线对双曲线的开口的影响渐近线对双曲线的开口的影响(3)双曲线上的点与这两双曲线上的点与这两直线有什么位置关系呢直线有什么位置关系呢?(下一页下一页)离心率离心率如何记忆双曲线的渐近线方程？如何记忆双曲线的渐近线方程？2021/8/8 星期日65、离心率、离心率e是表示双曲线开口大小的一个量是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大越大开口越大ca0e 1（4）等轴双曲线的离心率等轴双曲线的离心率e=?2021/8/8 星期日7XYF1F2OB1B2A2A1焦点在y轴上的双曲线图像2021/8/8 星期日8焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答 双曲线标准方程：YX双曲线性质：1、范围：ya或y-a2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点B1（0，-a），B2（0，a）4、轴：实轴 B1B2;虚轴 A1A2A1A2B1B25、渐近线方程：6、离心率：e=c/aF2F2o如何记忆双曲线的渐进线方程？2021/8/8 星期日9小小 结结xyo或或关于关于坐标坐标轴和轴和原点原点都对都对称称性性质质双双曲曲线线范围范围对称对称 性性 顶点顶点 渐近渐近 线线离心离心 率率图象图象 xyo2021/8/8 星期日10例例1 求双曲线求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐进线方程焦点坐标、离心率、渐进线方程.可得实半轴长可得实半轴长a=4，虚半轴长，虚半轴长b=3焦点坐标为（焦点坐标为（0，-5）、（）、（0，5）解：把方程化为标准方程解：把方程化为标准方程2021/8/8 星期日11例例2.4516线和焦点坐标线和焦点坐标程，并且求出它的渐近程，并且求出它的渐近出双曲线的方出双曲线的方轴上，中心在原点，写轴上，中心在原点，写焦点在焦点在，离心率离心率离是离是已知双曲线顶点间的距已知双曲线顶点间的距xe=思考思考:一个双曲线的渐近线的方程为一个双曲线的渐近线的方程为:,它的它的离心率为离心率为 .解：解：2021/8/8 星期日12 练习练习(1)：(2):的的渐渐近近线线方程方程为为：的实轴长的实轴长 虚轴长为虚轴长为_ 顶点坐标为顶点坐标为 ,焦点坐标为焦点坐标为_ 离心率为离心率为_4的的渐渐近近线线方程方程为为：的的渐渐近近线线方程方程为为：的的渐渐近近线线方程方程为为：2021/8/8 星期日132021/8/8 星期日14已知渐近线方程已知渐近线方程,不能确定不能确定a,b的值的值,只能确定只能确定a,b的关系的关系如果两条渐近线方程为如果两条渐近线方程为 ,那么双曲线的方程为那么双曲线的方程为当当 0时时,当当 0时时,当当=0时时,这里这里是待定系数是待定系数共共轭轭双双曲曲线线：以以已已知知双双曲曲线线的的实实轴轴为为虚虚轴轴，虚虚轴轴为为实实轴轴，这这样样得得到到的的双双曲曲线线称称为为原原双双曲曲线线的的共共轭轭双双曲曲线线。通通过过分分析析曲曲线线的的方方程，发现二者具有相同的渐近线。此即为共轭之意。程，发现二者具有相同的渐近线。此即为共轭之意。双曲线焦点在双曲线焦点在x轴上轴上双曲线焦点在双曲线焦点在y轴上轴上即为双曲线的渐近线方程即为双曲线的渐近线方程1）性质：）性质：共用共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。焦点在同一圆上。2）如何确定双曲线的共轭双曲线？）如何确定双曲线的共轭双曲线？将将1变为变为-12021/8/8 星期日15练习练习:求出下列双曲线的标准方程求出下列双曲线的标准方程2021/8/8 星期日16DA2021/8/8 星期日172.2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点P(1,(1,3)3)且离心率为且离心率为 的双曲线标准方程的双曲线标准方程.1 1.过点（过点（1，2），且渐近线为），且渐近线为的双曲的双曲线线方程是方程是_.2021/8/8 星期日182021/8/8 星期日19 1.求与求与椭圆椭圆有共同焦点，有共同焦点，渐渐近近线线方程方程为为的双曲的双曲线线方程。方程。解：解：椭圆椭圆的焦点在的焦点在x轴轴上，且坐上，且坐标为标为 双曲双曲线线的的渐渐近近线线方程方程为为 解出解出 2021/8/8 星期日20关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形图形方程方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率A1（-a，0），），A2（a，0）A1（0，-a），），A2（0，a）关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称渐进线渐进线.yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)小小 结结2021/8/8 星期日2112=+byax222（a b 0）12222=-byax(a 0 b0)222=+ba(a 0 b0)c222=-ba(a b0)c椭椭 圆圆双曲线双曲线方程方程a b c关系关系图象图象椭圆与双曲与双曲线的性的性质比比较yXF10F2MXY0F1F2 p2021/8/8 星期日22渐近线渐近线离心率离心率顶点顶点对称性对称性范围范围 准线准线|x|a,|y|b|x|a，y R对称轴：对称轴：x轴，轴，y轴轴 对称中心：原点对称中心：原点对称轴：对称轴：x轴，轴，y轴轴 对称中心：原点对称中心：原点（-a,0)(a,0)(0,b)(0,-b)长轴：长轴：2a 短轴：短轴：2b(-a,0)(a,0)实轴：实轴：2a虚轴：虚轴：2be=ac(0e 1)ace=(e1)无无 y=abx2021/8/8 星期日23例例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为最小半径为12m,上口半径为上口半径为13m,下口半径下口半径为为25m,高高55m.选择适当的坐标系，求出此选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程双曲线的方程(精确到精确到1m).AA0 xCCBBy1312252021/8/8 星期日242021/8/8 星期日252021/8/8 星期日262021/8/8 星期日27解：解：xy.FO.M.例例5 5、点、点M M（x x，y y）与定点）与定点F F（5 5，0 0）的距离和它到）的距离和它到定直线定直线 的距离的比是常数的距离的比是常数 ，求点，求点M M的轨迹。的轨迹。2021/8/8 星期日28双曲线的第二定义：双曲线的第二定义：y.FF OM.x2021/8/8 星期日29例例6：如图所示，过双曲线：如图所示，过双曲线 的右焦点的右焦点F2,倾斜角为倾斜角为 30的直的直线交双曲交双曲线于于A，B两点，求两点，求|AB|F1F2xyOAB法一法一:设直线设直线ABAB的方程为的方程为与双曲线方程联立得与双曲线方程联立得A、B的坐标为的坐标为由两点间的距离公式得|AB|=2021/8/8 星期日30例例6：如图所示，过双曲线：如图所示，过双曲线 的右焦点的右焦点F2,倾斜角为倾斜角为 30的直的直线交双曲交双曲线于于A，B两点，求两点，求|AB|F1F2xyOAB法二法二:设直线设直线ABAB的方程为的方程为与双曲线方程联立消与双曲线方程联立消y得得5x2+6x-27=0由两点间的距离公式得由两点间的距离公式得设设A、B的坐标为的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),则则*2021/8/8 星期日31 1。已已知知双双曲曲线线3x2y23,直直线线l过过其其右右焦焦点点F2，与与双双曲曲线线交交于于A、B两两点点，且且倾倾斜斜角角为为45，试试问问A、B两两点点是是否否位于双曲位于双曲线线的同一支上？并求出的同一支上？并求出线线段段AB的的长长【思思路路点点拨拨】先先写写出出直直线线方方程程，代代入入双双曲曲线线方方程程，利利用根与系数的关系判断用根与系数的关系判断2021/8/8 星期日32利用利用x1x20判断点判断点A、B的位置是本题的难点！的位置是本题的难点！2021/8/8 星期日332021/8/8 星期日34讨讨论论直直线线与与双双曲曲线线的的位位置置关关系系，一一般般化化为为关关于于x(或或y)的的一一元元二二次次方方程程，这这时时首首先先要要看看二二次次项项的的系系数数是是否否等等于于0.当当二二次次项项系系数数等等于于0时时，就就转转化化成成x(或或y)的的一一元元一一次次方方程程，只只有有一一个个解解，这这时时直直线线与与双双曲曲线线相相交交只只有有一一个个交交点点当当二二次次项项的的系系数数不不为为0时时，利利用用根根的的判判别别式式,判判断断直直线线与双曲与双曲线线的位置关系的位置关系.2021/8/8 星期日35变式训练变式训练1.如果直线如果直线ykx1与双曲线与双曲线x2y24没有公共点，求没有公共点，求k的取值范围的取值范围2021/8/8 星期日361若直若直线线ykx1与双曲与双曲线线x2y21有且只有一个交点，有且只有一个交点，则则k的的值为值为_2021/8/8 星期日372021/8/8 星期日382过过点点P(8,1)的直的直线线与双曲与双曲线线x24y24相交于相交于A,B两两 点，且点，且P是是线线段段AB的中点，求直的中点，求直线线AB的方程的方程2021/8/8 星期日392021/8/8 星期日402021/8/8 星期日41
