高考数学 二项式定理(理).ppt

1.能用计数原理证明二项式定理能用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项展开式会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题有关的简单问题1二项式定理二项式定理思考探究思考探究1在在(ab)n与与(ba)n的展开式中，其通项相同吗？的展开式中，其通项相同吗？提示：提示：从整体上看，从整体上看，(ab)n与与(ba)n的展开式是相同的，但的展开式是相同的，但具体到某一项是不同的，如第具体到某一项是不同的，如第r1项项Tr1anrbr，Tr1bnrar.2二项式系数的性质二项式系数的性质思考探究思考探究2二项式系数与项的系数有什么区别？二项式系数与项的系数有什么区别？提示：提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项式系数是指式系数是指，它只与各项的项数有关，而与，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的二项式系数有关，而且也与仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的值有关的值有关1.的展开式中的展开式中x2的系数为的系数为()A10B5C.D1解析：解析：含含x2的项为的项为()2x2，x2的系数为的系数为.答案：答案：C2二项式二项式(a2b)n展开式中的第二项的系数是展开式中的第二项的系数是8，则它的，则它的第三项的二项式系数为第三项的二项式系数为()A24B18C16D6解析：解析：Tr1(2b)r，T2an1(2b)2an1b，28，n4，第三项的二项式系数为第三项的二项式系数为6.答案：答案：D3若若(x)n展开式的二项式系数之和为展开式的二项式系数之和为64，则展开式的，则展开式的常数项为常数项为()A10B20C30D120解析：解析：二项式系数之和二项式系数之和2n64，则则n6，Tr1x6rx62r，当当62r0时，即时，即r3时为常数项，时为常数项，T3120.答案：答案：B解析：解析：Tr1(ax)5r(1)r，且，且x3的系数为的系数为80.4若若(ax1)5的展开式中的展开式中x3的系数是的系数是80，则实数，则实数a的值是的值是_答案：答案：25若若(x21)(x2)9a0a1(x1)a2(x1)2a11(x1)11，则，则a1a2a11_.解析：解析：令令x2，则有，则有a0a1a2a11(221)(22)90，再令再令x1，则有，则有a0(121)(1)2，a1a2a3a112.答案：答案：2在解决二项展开式指定项或特定项的问题时，关键是在解决二项展开式指定项或特定项的问题时，关键是公式公式Tr1anrbr(0rn，r N*，n N*)的正确应用的正确应用特别警示特别警示应用二项展开式的通项公式应用二项展开式的通项公式Tr1anrbr(r0,1,2，n)时，要注意以下几点：时，要注意以下几点：(1)通项公式表示的是第通项公式表示的是第r1项，而不是第项，而不是第r项；项；(2)通项公式中通项公式中a和和b的位置不能颠倒；的位置不能颠倒；(3)展开式中第展开式中第r1项的二项式系数项的二项式系数与第与第r1项的系数，项的系数，在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式或指数的运算要细心，以防出错先处理符号，对根式或指数的运算要细心，以防出错已知在已知在()n的展开式中，第的展开式中，第6项为常数项项为常数项(1)求求n；(2)求含求含x2的项的系数；的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项求展开式中所有的有理项思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)通项为通项为Tr1，因为第因为第6项为常数项，所以项为常数项，所以r5时，有时，有0，即即n10.(2)令令2，得，得r(n6)(106)2，所求的系数为所求的系数为(3)根据通项公式，由题意根据通项公式，由题意令令k(k Z)，则，则102r3k，即，即r5k，r N，k应为偶数应为偶数 k可取可取2,0，2，即，即r可取可取2,5,8.所以第所以第3项，第项，第6项与第项与第9项为有理项，它们分别为项为有理项，它们分别为()2x2，x2.1.对形如对形如(axb)n、(ax2bxc)m、(a、b、c R)的式子求的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即即可；对可；对(axby)n(a，b R)的式子求其展开式各项系数之的式子求其展开式各项系数之和，只需令和，只需令xy1即可即可2一般地，若一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则，则f(x)展开展开式中各项系数之和为式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为，偶数项系数之和为a1a3a5.在二项式在二项式(2x3y)9展开式中，求：展开式中，求：(1)二项式系数之和；二项式系数之和；(2)各项系数之和；各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和；所有奇数项系数之和；(4)系数绝对值的和系数绝对值的和思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记设设(2x3y)9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为二项式系数之和为29.(2)各项系数之和为各项系数之和为a0a1a2a9，令，令x1，y1，a0a1a2a9(23)91.(3)由由(2)知知a0a1a2a91，令令x1，y1，可得：，可得：a0a1a2a959，将两式相加，可得，将两式相加，可得a0a2a4a6a8，即为所有奇数项系数之和，即为所有奇数项系数之和(4)|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a9，令令x1，y1，则，则|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a959.1.求二项式系数最大的项：求二项式系数最大的项：如果如果n是偶数，则中间一项是偶数，则中间一项的二项式系的二项式系数最大；数最大；如果如果n是奇数，则中间两项是奇数，则中间两项的二项式系数相等且最大；的二项式系数相等且最大；2求展开式系数最大的项，如求求展开式系数最大的项，如求(abx)n(a，b R)的展开的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法设展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法设展开式各项系数分别为式各项系数分别为A1，A2，An1，且第，且第r项系数最大，项系数最大，应用应用解出解出r来，即得系数最大的项来，即得系数最大的项已知已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项求展开式中系数最大的项思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)令令x1，则二项式各项系数和为，则二项式各项系数和为f(1)(13)n4n，展开式中各项的二项式系数之和为展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知由题意知4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍舍)或或2n32，n5.由于由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大项为中为奇数，所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是间两项，它们是T3(x )3(3x2)290 x6，T4(x )2(3x2)3270 x .(2)展开式通项为展开式通项为Tr13rx (52r)假设假设Tr1项系数最大，则有项系数最大，则有 r，r N，r4.展开式中系数最大项为展开式中系数最大项为T5x (3x2)4405x .已知已知(x2)2n的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和比(3x1)n的展的展开式的二项式系数和大开式的二项式系数和大992，求，求(2x)2n的展开式中：的展开式中：(1)二项式系数最大的项；二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项系数的绝对值最大的项.解：解：根据二项式系数的性质，列方程求解根据二项式系数的性质，列方程求解n.系数绝对值最大系数绝对值最大问题需要列不等式组求解问题需要列不等式组求解由题意知，由题意知，22n2n992，即，即(2n32)(2n31)0.2n32，解得，解得n5.(1)由二项式系数的性质知，由二项式系数的性质知，(2x)10的展开式中第的展开式中第6项的项的二项式系数最大二项式系数最大即即T6(2x)5()58064.(2)设第设第r1项的系数的绝对值最大，项的系数的绝对值最大，Tr1(2x)10r()r(1)r 210rx102r，得得即即解得解得r.r Z，r3，故系数的绝对值最大的是第，故系数的绝对值最大的是第4项，项，T427x415360 x4.以选择题或填空题的形式考查二项展开式的通项、以选择题或填空题的形式考查二项展开式的通项、二项式系数、展开式的系数等知识是高考对本讲内容的二项式系数、展开式的系数等知识是高考对本讲内容的常规考法常规考法.09年北京高考则以选择题的形式考查了二项年北京高考则以选择题的形式考查了二项式定理在求值中的应用，这是一个新的考查方向式定理在求值中的应用，这是一个新的考查方向考题印证考题印证(2009北京高考北京高考)若若(1)5ab (a，b为有理数为有理数)，则，则ab()A45B55C70D80【解析解析】由二项式定理得：由二项式定理得：(1)51()2()3()4()51520202044129，a41，b29，ab70.【答案答案】C自主体验自主体验若对于任意实数若对于任意实数x，有，有x3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，则向量，则向量m(a0，a2)与向量与向量n(3,4)所成角的余弦所成角的余弦值是值是()A0B.C.D1解析：解析：x32(x2)3，a0238，a226.故故m(8,6)，mn0.答案：答案：A1(2009浙江高考浙江高考)在二项式在二项式(x2)5的展开式中，含的展开式中，含x4的的项的系数是项的系数是()A10B10C5D5解析：解析：Tr1x2(5r)(x1)r(1)r x103r(r0,1，5)，由，由103r4得得r2.含含x4的项为的项为T3，其系数为，其系数为10.答案：答案：B2如果如果的展开式中含有非零常数项，则正整的展开式中含有非零常数项，则正整数数n的最小值为的最小值为()A10B6C5D3解析：解析：Tr1(3x2)nr(1)r3nr2rx2n5r，由题意知由题意知2n5r0，即，即n，n N*，r N，n的最小值为的最小值为5.答案：答案：C3(1)6(1)4的展开式中的展开式中x的系数是的系数是()A4B3C3D4解析：法一：解析：法一：化简原式化简原式(1)4(1)4(1)2(1)(1)4(1)2(1x)4(1)2(14x6x24x3x4)(12x)故系数为故系数为143.法二：法二：展开式中含展开式中含x的项为的项为()()15x6x24x3x故故x的系数为的系数为3.答案：答案：B4二项式二项式(2x)6的展开式的常数项是的展开式的常数项是_解析：解析：Tr1(2x)6r()r26r(1)rx62r，由，由62r0得得r3，故展开式中的常数项为，故展开式中的常数项为23(1)3160.答案：答案：1605(2010安徽师大附中模拟安徽师大附中模拟)a(sinxcosx)dx则二项式则二项式(a )6展开式中含展开式中含x2项的系数是项的系数是_解析：解析：a(sinxcosx)dx(sinxcosx)|(sincos)(sin0cos0)(01)(01)2.又又 Tr1(a )6r()ra6r(1)rxa6r(1)rx3r.由由3r2，得，得r1，x2项的系数为项的系数为a5192.答案：答案：1926设设(3x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4.(1)求求a0a1a2a3a4；(2)求求a0a2a4；(3)求求a1a3；(4)求求a1a2a3a4；(5)求各项二项式系数的和求各项二项式系数的和解：解：(1)令令x1，得，得a0a1a2a3a4(31)416.(2)令令x1得得a0a1a2a3a4(31)4256，而由而由(1)知知a0a1a2a3a4(31)416，两式相加，得两式相加，得a0a2a4136.(3)由由(2)得得(a0a1a2a3a4)(a0a2a4)a1a3120.(4)令令x0得得a0(01)41，得得a1a2a3a4a0a1a2a3a4a016115.(5)各项二项式系数的和为各项二项式系数的和为2416.