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第第03章章 刚体力学基础刚体力学基础2内容提要内容提要3-1 刚体刚体 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述3-2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律3-3 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理3-4 刚体定轴转动的角动能定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动能定理和角动量守恒定律一一.刚体刚体特殊的质点系，特殊的质点系，理想化模型理想化模型形状形状和和体积体积不变化不变化在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变基本方法：基本方法：质点系运动定理质点系运动定理 加加 刚体特性刚体特性刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律 动能定理动能定理 角动量定理角动量定理3-1 刚体刚体 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述二二.刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动zMIIIII P角坐标角坐标角速度角速度角加速度角加速度1.描述描述 刚体绕定轴转动的角量刚体绕定轴转动的角量刚体内各点都绕同一直线刚体内各点都绕同一直线(转轴转轴)作作圆周圆周运动运动_刚体转动刚体转动转转轴轴固定不动固定不动 定轴转动定轴转动 2.定轴转动刚体上各点的速度和加速度定轴转动刚体上各点的速度和加速度当当P,刚体刚体 参参考考方方向向zOr定轴定轴一一.力矩力矩力力改变刚体的转动状态改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度刚体获得角加速度 力力 F 对对z 轴的力矩轴的力矩力矩取决于力的大小、方力矩取决于力的大小、方向和作用点向和作用点在刚体的定轴转动中，力矩在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向只有两个指向质点获得加速度质点获得加速度改变质点的运动状态改变质点的运动状态hA 3-2 力矩力矩 刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律(1)(1)力对点的力矩力对点的力矩O .(2)(2)力对定轴力矩的矢量形式力对定轴力矩的矢量形式力矩的方向由力矩的方向由右螺旋法则右螺旋法则确定确定讨论讨论hA xLOMy例例已知棒长已知棒长 L,质量质量 M，在摩擦系数为在摩擦系数为 的桌面转动的桌面转动(如图如图)解解根据力矩根据力矩xdx求求 摩擦力对摩擦力对y轴的力矩轴的力矩例如例如TT在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算TTzOirifiFitFi对对 mi有有切向分量式为切向分量式为:Fit+fit=miait=miriFit ri+fit ri=miri2外力矩外力矩内力矩内力矩 mifit二、刚体绕定轴转动的转动定律二、刚体绕定轴转动的转动定律 对所有质元求和：对所有质元求和：Fit ri+fit ri=miri2一对内力的力矩之和为零一对内力的力矩之和为零Fit ri=（miri2）刚体对转轴刚体对转轴转动惯量转动惯量合外力矩合外力矩MZJZ （转动定律）转动定律）圆盘以圆盘以 0 0 在桌面上转动在桌面上转动,受摩擦力而静止受摩擦力而静止(圆盘的转动圆盘的转动惯量为惯量为J=1/2mRJ=1/2mR2 2)解解例例求求 到圆盘静止所需到圆盘静止所需时间时间取一质元取一质元摩擦力矩摩擦力矩R四四 转动定律的应用转动定律的应用由转动定律由转动定律14例例转动着的飞轮的转动惯量为转动着的飞轮的转动惯量为J，在，在t0时角速度时角速度为为 .此后飞轮经历制动过程，阻力矩此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角的大小与角速度速度的平方成正比，比例系数为的平方成正比，比例系数为k(k为大于零的常为大于零的常数数)，当，当 时，飞轮的角加速度是多少？从开时，飞轮的角加速度是多少？从开始制动到现在经历的时间是多少？始制动到现在经历的时间是多少？解解(1)(1)，故由转动定律有，故由转动定律有 15(2)(2)t0 0时，时，两边积分，两边积分故当故当 时，制动经历的时间为时，制动经历的时间为16一一 转动动能转动动能刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半与角速度平方乘积的一半.刚体绕定轴转动时的动能，称为刚体绕定轴转动时的动能，称为转动动能转动动能3-3 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理17力矩的功力矩的功二二 力矩的功力矩的功 力矩的力矩的功率功率18三三 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对定轴转动的刚体所做的功等于刚体合外力矩对定轴转动的刚体所做的功等于刚体转动动能的增量转动动能的增量.19例例3.53.5如图所示，一根质量为如图所示，一根质量为m，长为，长为l的均匀细棒的均匀细棒OA，可绕固定点，可绕固定点O在竖直平面内转动在竖直平面内转动.今使棒从水平位今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成3030角时中角时中心点心点C和端点和端点A的速度的速度.解解：棒受力如图：棒受力如图20则中心点则中心点C和端点和端点A的速度分别为的速度分别为21一一 角动量角动量 质点的角动量定理及角动量守恒定律质点的角动量定理及角动量守恒定律 质点在垂直于质点在垂直于 z 轴平面轴平面上以角速度上以角速度 作半径为作半径为 的圆运动的圆运动.的方向符合右手法则的方向符合右手法则.A 质点角动量（相对圆心）质点角动量（相对圆心）z（圆运动）（圆运动）1.质点的角动量质点的角动量大小大小3-4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律222.质点的角动量定理质点的角动量定理作用在质点上的力矩等于质作用在质点上的力矩等于质点角动量对时间的变化率。点角动量对时间的变化率。此即质点对固定点的角动量此即质点对固定点的角动量定理。定理。叫冲量矩叫冲量矩 233.质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律若若 ，则，则 质点所受外力对某固定点的力矩为零，则质点质点所受外力对某固定点的力矩为零，则质点对该固定点的角动量守恒。这就是质点的角动对该固定点的角动量守恒。这就是质点的角动量守恒定律。量守恒定律。24二二 刚体对轴的角动量刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理刚体对某定轴的角动量等于刚体对该轴的刚体对某定轴的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积方向沿该转动转动惯量与角速度的乘积方向沿该转动轴，并与这时转动的角速度方向相同轴，并与这时转动的角速度方向相同 刚体对转轴的角动量就是刚体上各质元的角动刚体对转轴的角动量就是刚体上各质元的角动量之和量之和1.刚体对轴的角动量刚体对轴的角动量25定轴转动的刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体在定轴转动的刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体在这段时间内对该轴的角动量的增量这段时间内对该轴的角动量的增量定轴转动的刚体所受的合外力矩等于此时刚体角动定轴转动的刚体所受的合外力矩等于此时刚体角动量对时间的变化率量对时间的变化率2.刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理26外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同一轴的角动量守恒同一轴的角动量守恒.三三 刚体对轴的角动量守恒定律刚体对轴的角动量守恒定律27子子弹弹击击入入杆杆以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒.角动量守恒；角动量守恒；动量动量不不守恒；守恒；讨讨 论论例例 如图所示如图所示,一质量为一质量为m的子弹以水平速度射入一静的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失穿出后速度损失3/4,3/4,求子弹穿出后棒的角速度求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为。已知棒长为l,质量为质量为M,棒棒的转动惯量为：的转动惯量为：v0vmM解解:设转轴垂直向外为正设转轴垂直向外为正（逆时针为正向）（逆时针为正向）由角动量守恒得由角动量守恒得解：解：例例如如图图所所示示，长长为为l l的的轻轻杆杆，两两端端各各固固定定质质量量分分别别为为m和和2m的的小小球球，杆杆可可绕绕水水平平光光滑滑固固定定轴轴O O在在竖竖直直面面内内转转动动，转转轴轴O O距距两两端端分分别别为为 和和 轻轻杆杆原原来来静静止止在在竖竖直直位位置置.今今有有一一质质量量为为m m的的小小球球，以以水水平平速速度度 与与杆杆下下端端小小球球m m作作对对心心碰碰撞撞，碰碰后后以以 的的速速度度返返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度又又将将代入代入得得30例例3.9 在工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以在工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动如图所示，相同的转速一起转动如图所示，A和和B两飞轮的两飞轮的轴杆在同一中心线上轴杆在同一中心线上A轮的转动惯量为轮的转动惯量为JA10 kgm2，B轮的转动惯量为轮的转动惯量为JB20 kgm2，开始时，开始时A轮每分钟的转速为轮每分钟的转速为600转，转，B轮静止轮静止C为摩擦啮合为摩擦啮合器求两轮啮合后的转速，在啮合过程中，两轮的器求两轮啮合后的转速，在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？机械能有何变化？解解 系统所受合外力矩系统所受合外力矩为零，所以系统的角动为零，所以系统的角动量守恒量守恒，即，即31为两轮啮合后的共同角速度，为两轮啮合后的共同角速度，在啮合过程中，摩擦力矩做功，机械能不守恒，在啮合过程中，摩擦力矩做功，机械能不守恒，损失的机械能转化为内能损失的机械能为损失的机械能转化为内能损失的机械能为
