圆锥曲线中三大弦案的破解策略.ppt
圆锥曲线中圆锥曲线中“三大弦案三大弦案”的破解策略的破解策略2021/8/8 星期日1 圆锥曲线在数学高考中的分值大约占总分的圆锥曲线在数学高考中的分值大约占总分的1515左右，主要考查左右，主要考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质，以及与直线的位置椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质，以及与直线的位置关系和求轨迹方程等关系和求轨迹方程等.涉及的数学思想方法主要有：数形结合思想、函数涉及的数学思想方法主要有：数形结合思想、函数与方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想、整体思想，以及配方、与方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想、整体思想，以及配方、换元、构造、待定系数法等数学方法换元、构造、待定系数法等数学方法.同时，以圆锥曲线为载体在知识网同时，以圆锥曲线为载体在知识网络的交汇点设计问题也是近几年来数学高考的一大特点，以考查学生的应络的交汇点设计问题也是近几年来数学高考的一大特点，以考查学生的应变能力以及分析问题和解决问题的能力变能力以及分析问题和解决问题的能力.而有关弦的问题又是圆锥曲线中最常见的情景，也是高考命题的而有关弦的问题又是圆锥曲线中最常见的情景，也是高考命题的常用素材和热点问题，这类问题主要有中点弦、焦点弦和直角弦三种，故常用素材和热点问题，这类问题主要有中点弦、焦点弦和直角弦三种，故称为圆锥曲线中的称为圆锥曲线中的“三大弦案三大弦案”.”.2021/8/8 星期日2第一弦案：中第一弦案：中 点点 弦弦【例【例1 1】已知椭圆已知椭圆（1 1）过点）过点A(2,1)A(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点轨迹方程；引椭圆的割线，求截得的弦的中点轨迹方程；（2 2）求过点）求过点P P 且被点且被点P P平分的弦所在的直线方程；平分的弦所在的直线方程；（3 3）求斜率为）求斜率为2 2的平行弦的中点轨迹方程的平行弦的中点轨迹方程.设过点设过点A(2,1)A(2,1)的直线与椭圆交于的直线与椭圆交于M(x+m,y+n),N(x-M(x+m,y+n),N(x-m,y-n)m,y-n)两点，则两点，则MNMN的中点为的中点为R(x,y)R(x,y)，由点，由点M M，N N在在椭圆椭圆x x2 22y2y2 22 2上，于是有：上，于是有：解解：（：（1 1）得：得：又又点点A A，M M，R R，N N四点共线，四点共线，由由和和得，得，于是所求的中点的轨迹方程为：，于是所求的中点的轨迹方程为：x x2 22x+2y2x+2y2 22y=02y=0（在已知椭圆内的部分）（在已知椭圆内的部分）.图图12021/8/8 星期日3设过点设过点P P 的直线与椭圆相交于的直线与椭圆相交于 两点，两点，则由点则由点 ，在椭圆在椭圆x x2 22y2y2 22 2上，于是有：上，于是有：（2 2）求过点）求过点P P 且被点且被点P P平分的弦所在的直线方程；平分的弦所在的直线方程；得：得：于是得于是得 所在的直线方程为：所在的直线方程为：即即2x2x4y4y3 30.0.图图2第一弦案：中第一弦案：中 点点 弦弦2021/8/8 星期日4设斜率为设斜率为2 2的直线与椭圆相交于的直线与椭圆相交于M(x+m,y+n),N(x-m,y-n)M(x+m,y+n),N(x-m,y-n)两点，两点，由（由（1 1）知：）知：于是有于是有 ，所求的轨迹方程为：所求的轨迹方程为：x x4y4y0 0（在已知椭圆内的部分）（在已知椭圆内的部分）.（3 3）求斜率为）求斜率为2 2的平行弦的中点轨迹方程的平行弦的中点轨迹方程.第一弦案：中第一弦案：中 点点 弦弦2021/8/8 星期日5【例【例2 2】给定双曲线给定双曲线（1 1）过点）过点A(2,1)A(2,1)的直线的直线 与所给双曲线交于两点与所给双曲线交于两点P P1 1，P P2 2，求线段，求线段P P1 1P P2 2的中点的中点P P的的轨迹方程轨迹方程.（2 2）过点）过点B(1,1)B(1,1)能否作直线能否作直线m m，使，使m m与所给双曲线交于与所给双曲线交于Q Q1 1,Q,Q2 2两点，且点两点，且点B B是线段是线段Q Q1 1Q Q2 2的中点？这样的直线的中点？这样的直线m m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.（本题主要考查双曲线的性质，直线与双曲线的关系以及解析几何的基本方法、（本题主要考查双曲线的性质，直线与双曲线的关系以及解析几何的基本方法、基本思想和综合解题能力）基本思想和综合解题能力）.第一弦案：中第一弦案：中 点点 弦弦解解：（：（1 1）设过点）设过点A(2,1)A(2,1)的直线的直线 与双曲线交于与双曲线交于P P1 1(x-m,(x-m,y-n),Py-n),P2 2(x+m,y+n)(x+m,y+n)两点，则线段两点，则线段P P1 1P P2 2的中点的中点P P为为(x,y).(x,y).点点，在双曲线在双曲线x xy y上，上，2(x+m)2(x+m)2 2-(y+n)-(y+n)2 2=2=2 2(x-m)2(x-m)2 2-(y-n)-(y-n)2 2=2=2 得：得：又又是是P P1 1 ，P P2 2，A A，P P四点共线，四点共线，由由和和得：得：，即所求的点，即所求的点P P的轨迹方程为：的轨迹方程为：2021/8/8 星期日6第一弦案：中第一弦案：中 点点 弦弦（2 2）过点）过点B(1,1)B(1,1)能否作直线能否作直线m m，使，使m m与所给双曲线交于与所给双曲线交于Q Q1 1,Q,Q2 2两点，且点两点，且点B B是是线段线段Q Q1 1Q Q2 2的中点？这样的直线的中点？这样的直线m m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由明理由.假设符合条件的直线假设符合条件的直线m m存在，且设存在，且设Q Q1 1(1+p,1+q),Q(1+p,1+q),Q2 2(1-p,1-q),(1-p,1-q),则有：则有：得：得：得：得：由由和和得：得：.这是不可能的这是不可能的.这样的直线这样的直线m m不存在不存在.2021/8/8 星期日7点评：点评：圆锥曲线中的圆锥曲线中的“中点弦中点弦”问题是历年高考数学最常考的问题之一，问题是历年高考数学最常考的问题之一，解决这类问题关键要注意以下几点：解决这类问题关键要注意以下几点：（1）解决中点弦的关键是：）解决中点弦的关键是：“引进来引进来”，即引进参数，巧设坐标，让，即引进参数，巧设坐标，让中点坐标自然成为中点坐标自然成为(x,y)；（2）将圆锥曲线上的两点代入圆锥曲线方程，两式相减化简后得到与）将圆锥曲线上的两点代入圆锥曲线方程，两式相减化简后得到与圆锥曲线相交的那条直线的斜率或通过两式相加得出有关参数的式子；圆锥曲线相交的那条直线的斜率或通过两式相加得出有关参数的式子；（3）由三点（或四点）共线得出直线的斜率；）由三点（或四点）共线得出直线的斜率；（4）“走出去走出去”，即消去参数，通过斜率相等，从而得出弦的中点的，即消去参数，通过斜率相等，从而得出弦的中点的轨迹方程轨迹方程.第一弦案：中第一弦案：中 点点 弦弦2021/8/8 星期日8第二弦案：焦第二弦案：焦 点点 弦弦【例【例3 3】（】（20042004年全国高考题）给定抛物线年全国高考题）给定抛物线C C：y y2 24x4x，F F是是C C的焦点，过点的焦点，过点F F的的直线直线 与与C C相交于相交于A A、B B两点两点.（I I）设）设 的斜率为的斜率为1 1，求，求 与与 的夹角的大小；的夹角的大小；（IIII）（本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方（本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力）法、思想和综合解题能力）.解解：（：（I I）C C的焦点为的焦点为F(1,0)F(1,0)，直线，直线 的斜率为的斜率为1 1，所以，所以 的方程为的方程为y yx-1.x-1.将将y yx-1x-1代入方程代入方程y y2 24x4x，并整理得，并整理得x x2 2-6x+1-6x+10.0.设设A(xA(x1 1,y,y1 1)，B(xB(x2 2,y,y2 2)，则有，则有 x x1 1+x+x2 2=6,x=6,x1 1x x2 2=1.=1.2021/8/8 星期日9（IIII）由题设由题设由由得得联立联立、解得解得第二弦案：焦第二弦案：焦 点点 弦弦2021/8/8 星期日10点评：点评：圆锥曲线中的圆锥曲线中的”焦点弦焦点弦“问题是历年数学高考最常考的问题之一，解问题是历年数学高考最常考的问题之一，解决这类问题关键要注意以下几点：决这类问题关键要注意以下几点：（1 1）根据已知条件找出焦点坐标，并根据条件设出（或求出）过焦点的直线）根据已知条件找出焦点坐标，并根据条件设出（或求出）过焦点的直线的方程；的方程；（2 2）将直线方程代入圆锥曲线方程，消去）将直线方程代入圆锥曲线方程，消去x x（或（或y y），将方程化简整理为关于），将方程化简整理为关于y y（或（或x x）的二次方程；）的二次方程；（3 3）设直线与圆锥曲线相交于）设直线与圆锥曲线相交于A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)两点，则可使用韦达定理找两点，则可使用韦达定理找出有关的关系式；出有关的关系式；（4 4）A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)两点的坐标既可以代入直线方程又可以代入圆锥曲线两点的坐标既可以代入直线方程又可以代入圆锥曲线方程进行有关的化简；方程进行有关的化简；（5 5）当斜率为）当斜率为k k的直线与圆锥曲线相交于的直线与圆锥曲线相交于A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)两点时，还会经两点时，还会经常使用到弦长公式：常使用到弦长公式：（6 6）圆锥曲线与平面向量的综合已经成为近几年高考命题的热点，因此，大）圆锥曲线与平面向量的综合已经成为近几年高考命题的热点，因此，大家在学习中务必要学会把有关的平面向量的式子进行数学翻译，特别是平行家在学习中务必要学会把有关的平面向量的式子进行数学翻译，特别是平行（共线）、垂直、三角形的中线、角平分线等问题的向量表示要熟练掌握（共线）、垂直、三角形的中线、角平分线等问题的向量表示要熟练掌握.第二弦案：焦第二弦案：焦 点点 弦弦2021/8/8 星期日11与x轴相交于点A,|OF|=2|FA|,例4.（2004年天津高考题）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F(c,0)(C0)的准线 过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若 ，求直线PQ的方程；（3）设（1），过点P且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一点M，证明解：（1）由题意，可设椭圆的方程为由已知得解得 c=2所以椭圆的方程为离心率第三弦案：直 角 弦2021/8/8 星期日12解：由（1）可得A（3，0），设直线PQ的方程为由方程组得依题意设，则由直线PQ的方程得由 得第三弦案：直第三弦案：直 角角 弦弦所以直线PQ的方程为（2）若 ，求直线PQ的方程；2021/8/8 星期日13（3 3）设）设 ，过点，过点P P且平行于准线且平行于准线 的直线与椭圆相交于另一的直线与椭圆相交于另一点点M M，证明，证明 证明：证明：第三弦案：直第三弦案：直 角角 弦弦点评：点评：解决直角弦问题除了与类似焦点弦的一些做法外，主要是要抓住解决直角弦问题除了与类似焦点弦的一些做法外，主要是要抓住“直直角（垂直）角（垂直）”的问题，这里主要要用到两个向量垂直时，有：的问题，这里主要要用到两个向量垂直时，有：xxyy（或两条直线互相垂直时，有：（或两条直线互相垂直时，有：kk），有时也用到直角三角），有时也用到直角三角形中的勾股定理等对问题进行计算或化简形中的勾股定理等对问题进行计算或化简.2021/8/8 星期日142021/8/8 星期日152021/8/8 星期日16
