第三章数据拟合法.ppt

第三章第三章 数据拟合法数据拟合法3.1 问题的提出及最小二乘原理问题的提出及最小二乘原理1、问题的提出：插值法与数据拟合法的比较2、一个例子：P62例1由图可想到用一直线表示，如下：y=a+bx带入各点得方程组：若使用其中两点，则：a=-0.4,b=0.853、上述方法问题：选取不同的点得到不同的a,b4、解决办法：若a,b已经确定，则可由x计算出y，记为：误差记为：由此可见误差仅仅依赖于a,b的选取，参数确定方法很多，常用的是最小二乘原理，即要求：为最小，由此把前边例子代入则推出：对a，b求偏微商得：解上述方程组得，a=0.15，b=0.859，推出直线方程：由此得本问题计算步骤：5、最小二乘法计算步骤：3.2 多变量的数据拟合多变量的数据拟合1、问题：若影响变量y的因素不止一个，如下例：如果选近似方程为：利用最小二乘原理：分别对a0,a1,ak求微商得：化简后a0,a1,ak必须满足的正规方程为：其中 解方程组可得ak（i=1,2,k）,在代入前面式子中计算a0：例2：P693.3 非线性曲线的数据拟合非线性曲线的数据拟合1、问题及解决：把拟合曲线 y=a+bx中的自变量x和应变量y看成是其他变量的函数：令x=g(x),y=f(y)，则经过变换得：y=a+bx2、例3：P70,如下表，右图：从右图可选用双曲线：现令：则原方程可改写为：利用所给数据，计算过程如下表：可直接写出正规方程组：解方程组得a=0.008966，b=0.0008302，于是即：3、例4：P72,形如y=aebx的函数，确定a,b使它与所给数据相拟合 先对此经验公式的两边取常用对数 log y=log a+bxlog e 令u=log y,A=log a,B=blog e，则有 u=A+Bx 由所给数据计算过程如下表：可直接写出正规方程组 解方程组得，A=1.0583,B=0.1265，再计算出 a=11.44,b=0.2913，于是得经验公式：y=11.44e0.2913x4、其它替换：并不是所有曲线都可以轻易替换成直线关系，如：但它可以通过多变量替换，变成多变量拟合问题，我们令x1=z,x2=z2,xm=zm，则上面方程变为：3.4 正交多项式拟合正交多项式拟合1、问题：多项式次数较大时病态方程组问题2、解决：考虑用如下形式病态方程组：如果方程组Ax=b中系数矩阵A或常数b有微小的变化，就引起解的巨大变化，则称此方程组为病态方程组，系数矩阵A称为病态矩阵。考虑非等精度原因，对每个误差i的平方分别有权函数i0，于是选择适当的系数ak使 达到最小。并对ak分别求微商并令其等于零，得：若令 则推出 若能找到多项式Pk(x)满足下面关系 则问题变为 cjjaj=cj，即aj=cj/cjj3、正交多项式族：（1）、正交函数族：满足下述条件（2）、正交多项式系：满足下面条件的多项式序列 若进一步有：则称之为规格化正交多项式系3、常用的正交多项式：（1）、勒让德（Legendre）多项式具体为性质：、Pn(x)是区间-1，1上关于权函数(x)1的正交函数系 、Pn(x)满足递推关系：、Pn(x)可以变换为其他区间（2）、拉盖尔（Laguerre）多项式 具体为：性质：、Ln(x)是区间0，+）上关于权函数w(x)e-x的正交多项式系、Ln(x)满足递推关系：（3）、等距节点正交多项式系 设有一组n+1个等距节点，它们的步长为h，令权函数wi=1,引进变换：具体为：则各点变为x=0,1,2,n的n+1个整数点，幂函数xk用阶乘积x(k)代替有：例5：P80设5次多项式为：x=t/5,x0=0,x1=1,x10=10,由前面公式得：计算,然后用公式计算出正交多项式在各点的值，然后计算cj的值，得到：例：已知一组观测数据如表所示，试用最小二乘法求一个多项式拟合这组数据。解：作散点图如下：从右图可以看出这些点接近一条抛物线，因此设所求公式为由最小二乘法：得如下式子：整理并代入表中的数据得：代入数据解之可得：故所求多项式为：