第九章矩阵特征值和特征向量的计算.ppt

第九章第九章 矩阵特征值和特征向量的计算矩阵特征值和特征向量的计算9.1 幂法幂法 1、基本思想：先任取一个初始向量X(0),构造如下序列：2、例1：设有矩阵结果如下表可以看出，两相邻向量相应分量之比值随k值得增大趋于一个固定值。下面分析原因：（一）如果按模最大的特征值1，是单实根，则上式可写为：因此实际计算公式为：3、算法9.1：（5）、若|，输出，X,停机，否则转步骤64、例2：用幂法求矩阵计算结果如下：从计算结果可以看出：所以序列随k的增大而发生规律性摆动，当k充分大后有当k充分大时，等式右边第三项以后的和数是可以被忽略的小量，所以：容易验证：9.2 幂法的加速与降阶幂法的加速与降阶假定最大特征值1和最大特征向量V1已求出，并令A(1)=A，现构造：9.3 反幂法反幂法代替求X(k+1)，为防止溢出，计算使用下面公式：若已知A的一个特征值的近似值*，则可先求矩阵A*I的按模最小的特征值*，算法如下：9.4 平行迭代法平行迭代法处理对称矩阵，下列正交化方法更为有效：平行迭代法也可用来求按模最小的p个特征值和特征向量：9.5 QR算法算法1、基本步骤：QR算法产生了一个矩阵序列Ak，它有两个基本性质：（1）、矩阵序列Ak中的每一个矩阵都与A相似：（2）、若令Hk=Rk Rk-1.R1则有：2、QR算法的收敛性问题：2、定理9.1：假设2、QR算法举例：求下面矩阵特征值现用QR算法求解其特征值，首先令A1=A,用Schmidt正交化方法分解：把A代替A重复上面过程，计算11次得：9.6 Jacobi算法算法其中，D是对角矩阵，它的对角元素是矩阵A的特征值，Jacobi方法实质上是找一个正交矩阵V，使A正交化。设：设矩阵A所对应的二次型为：变换为标准型的公式（变换）：如下图其中：容易证明V就是正交矩阵。把9.29用向量形式写出，将9.31代入：与9.30式比较有：现将Vij作用到A上，得到矩阵A1并且有：所以：于是：反复使用上式得：例4：A1的对角线元素即是A的特征值，相应的特征向量为