数字信号处理教案(东南大学).pdf

数数 字字 信信 号号 处处 理理绪 论一、从模拟到数字一、从模拟到数字1、信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。2、连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。3、模拟信号是连续信号的特例。时间和幅度均连续。4、离散信号：时间上不连续，幅度连续。5、数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。模拟信号连续时间信号数字信号连续时间信号模拟信号采样A/D通用或专用D/A模拟低通保持器变换器计算机变换器滤波器数字信号处理系统量化电平量化电平数码数字信号数码数字信号采样保持信号D/A输出信号量化电平模拟信号模拟信号数字信号转化成模拟信号模拟信号的数字化D/AD/A输出输出模拟滤波输出模拟滤波输出二、数字信号处理的主要优点二、数字信号处理的主要优点数字信号处理采用数字系统完成信号处理的任务，它具有数字系统的一些共同优点，例如1抗干扰、可靠性强，便于大规模集成等。除此而外，与传统的模拟信号处理方法相比较，它还具有以下一些明显的优点：1 1、精度高、精度高在模拟系统的电路中，元器件精度要达到以上已经不容易了，而数字系统 17 位字长可以达到的精度，这是很平常的。例如，基于离散傅里叶变换的数字式频谱分析仪，其幅值精度和频率分辨率均远远高于模拟频谱分析仪。2 2、灵活性强、灵活性强数字信号处理采用了专用或通用的数字系统，其性能取决于运算程序和乘法器的各系数，这些均存储在数字系统中，只要改变运算程序或系数，即可改变系统的特性参数，比改变模拟系统方便得多。3 3、可以实现模拟系统很难达到的指标或特性、可以实现模拟系统很难达到的指标或特性例如：有限长单位脉冲响应数字滤波器可以实现严格的线性相位；在数字信号处理中可以将信号存储起来，用延迟的方法实现非因果系统，从而提高了系统的性能指标；数据压缩方法可以大大地减少信息传输中的信道容量。4 4、可以实现多维信号处理、可以实现多维信号处理利用庞大的存储单元，可以存储二维的图像信号或多维的阵列信号，实现二维或多维的滤波及谱分析等。5 5、缺点、缺点（1）增加了系统的复杂性。他需要模拟接口以及比较复杂的数字系统。（2）应用的频率范围受到限制。主要是A/D 转换的采样频率的限制。（3）系统的功率消耗比较大。数字信号处理系统中集成了几十万甚至更多的晶体管，而模拟信号处理系统中大量使用的是电阻、电容、电感等无源器件，随着系统的复杂性增加这一矛盾会更加突出。三、发展特点三、发展特点(1)由简单的运算走向复杂的运算，目前几十位乘几十位的全并行乘法器可以在数个纳秒的时间内完成一次浮点乘法运算，这无论在运算速度上和运算精度上均为复杂的数字信号处理算法提供了先决条件；(2)由低频走向高频，模数转换器的采样频率已高达数百兆赫，可以将视频甚至更高频率的信号数字化后送入计算机处理；(3)由一维走向多维，像高分辨率彩色电视、雷达、石油勘探等多维信号处理的应用领域已与数字信号处理结下了不解之缘。（4）各种数字信号处理系统均几经更新换代在图像处理方面，图像数据压缩是多媒体通信、影碟机(VCD 或 DVD)和高清晰度电视(HDTV)的关键技术。国际上先后制定的标准H.261、JPEG、MPEG1 和 MPEG2 中均使用了离散余弦变换(DCT)算法。近年来发展起来的小波(Wavelet)变换也是一种具有高压缩比和快速运算特点的崭新压缩技术，应用前景十分广阔，可望成为新一代压缩技术的标准。年代年代特点特点$/MIPS$/MIPS60 年代大学探索$100-$1,00070 年代军事运用$10-$10080 年代商用成功$1-$1090 年代进入消费类电子$0.1-$1今后 生活用品$0.01-$0.12四、各种数字信息系统四、各种数字信息系统数字信号处理不断开辟新的应用领域在机械制造中，基于 FFT 算法的频谱分析仪用于振动分析和机械故障诊断；医学中使用数字信号处理技术对心电(ECG)和脑电(EEG)等生物电信号作分析和处理；数字音频广播(DAB)广泛地使用了数字信号处理技术。可以说，数字信号处理技术已在信息处理领域引起了广泛的关注和高度的重视。五、数字信号处理系统的实现五、数字信号处理系统的实现软件实现软件实现软件实现是用一台通用的数字计算机运行数字信号处理程序。其优点是经济，一机可以多用；缺点是处理速度慢，这是由于通用数字计算机的体系结构并不是为某一种特定算法而设计的。在许多非实时的应用场合，可以采用软件实现方法。例如，处理一盘混有噪声的录像(音)带，我们可以将图像(声音)信号转换成数字信号并存入计算机，用较长的时间一帧帧地处理这些数据。处理完毕后，再实时地将处理结果还原成一盘清晰的录像(音)带。通用计算机即可完成上述任务，而不必花费较大的代价去设计一台专用数字计算机。硬件实现硬件实现硬件实现是针对特定的应用目标，经优化，设计一专用的软硬件系统。其优点是容易做到实时处理，缺点是设备只能专用。片上系统（片上系统（SOC,System on a ChipSOC,System on a Chip）随着大规模集成电路的发展，一个复杂数字信号处理系统已可以集成在一个芯片上。SOC包含有数字和模拟电路、模拟和数字转换电路、微处理器、微控制器以及数字信号处理器等。与传统的集成电路不同的是，嵌入式软件的设计也被集成到了SOC 的设计流程中，SOC 的设计方法将以组装为基础，采用自上至下的设计方法，在设计过程中大量重复使用自行设计或其他第三方拥有知识产权的 IP(Intelligent Property)模块。SOC 要充分考虑如何合理划分软件和硬件所实现的系统功能以及如何实现软、硬件之间的信息传递。SOC 将是数字信号处理系统的一个新型的实现方法。并行、复用和流水并行、复用和流水并行是指为了完成同一个任务，几个处理器同时工作，使系统能胜任单个处理器所不能完成的任务；当一个处理器完成单个任务(比如一个滤波器)有很大的富余量时，可让其完成多个任务，这就是复用；流水结构也是多处理器完成同一任务，它与并行结构的主要区别在于并行的各个处理器之间数据交换不多，而流水结构类似于生产中的流水线，数据经一道道“工序”处理。采用并行或流水结构，完全取决于数字信号处理的运算结构。研究内容研究内容经典的数字信号处理限于线性时不变系统理论,数字滤波和 FFT 是常用方法。目前 DSP 研究热点：时变非线性系统、非平稳信号、非高斯信号处理方法的发展：自适应滤波、离散小波变换、高阶矩分析、盲处理、分形、混沌理论课程介绍课程介绍基础理论：离散时间信号与系统（ch1）Z 变换（ch2）离散傅立叶变换 DFT（ch3）快速傅立叶变换 FFT（ch4）数字滤波器无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器(ch5)有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器(ch6)3第一章第一章 离散时间信号离散时间信号离散时间信号线性移不变系统常系数线性差分方程连续时间信号的抽样学习要求学习要求：熟练掌握和运用采样定理；掌握离散时间信号与系统的定义；会判定系统的因果性和稳定性。1.11.1 离散时间信号离散时间信号一、主要常用序列一、主要常用序列（）单位脉冲序列（）单位脉冲序列1,(n)0,（）单位阶跃序列（）单位阶跃序列1,u(n)0,（）矩形序列（）矩形序列1,R(n)N0,（）实指数序列（）实指数序列x(n)anu(n)（）正弦序列（）正弦序列x x(n n)=sin)=sin（n n）n0n0u(n)n 0n 0-1 0123.n0 n N 1n 0,n N1 1N N-1注意：正弦型序列不一定是周期序列（6 6）复指数序列）复指数序列x(n)Ae(j 0)n Ae n(cos 0n jsin 0n)4当 0时 x(n)的实部和虚部，分别是余弦和正弦序列。二、序列的运算序列的运算1、序列的移位 y y(n n)=)=x x(n-m)n-m)当当 mm 为正时，为正时，x x(n-m)(n-m)表示依次右移表示依次右移 mm 位；位；x x(n+m)(n+m)表示依次左移表示依次左移 mm 位。位。2、序列的相加 z z(n n)=)=x x(n n)+)+y y(n n)是指同序号是指同序号 n n 的序列值逐项对应相加得一新序列。的序列值逐项对应相加得一新序列。3、序列的相乘f f(n n)=)=x x(n n)y y(n n)是指同序号是指同序号(n)(n)的序列值逐项对应相乘。的序列值逐项对应相乘。4、序列的翻褶如果有如果有 x x(n),(n),则则 x x(-n)(-n)是以是以 n=0n=0 为对称轴将为对称轴将 x x(n)(n)加以翻褶的序列。加以翻褶的序列。n5、序列的累加y(n)x(k)表示表示 n n 以前的所有以前的所有 x x(n)(n)的和。的和。k6、前向差分和后向差分1n)x(nx(n)x(n)x(n)（先左移后相减）（先左移后相减）；x(n)x(1)（先右移后相减）（先右移后相减）7、序列的尺度变换抽取：抽取：x(n)x(n)x(mn),mx(mn),m 为正整数；为正整数；插值：插值：x(n)x(n)x(n/m),mx(n/m),m 为正整数。为正整数。图 1-1序列 x(n)及超前序列 x(n+1)图 1-5序列 x(n)及其累加序列 y(n)图 1-2两序列相加图 1-3序列 x(n)及翻褶后的序列 x(-n)图 1-7某序列及其抽取序列8、序列的卷积和设序列 x(n),h(n),它们的卷积和 y(n)定义为y(n)mx(m)h(nm)h(m)x(nm)x(n)h(n)m5卷积和计算分四步：折迭卷积和计算分四步：折迭(翻褶翻褶),),位移位移,相乘相乘,相加。相加。图 1-8x(n)和 h(n)的卷积和图解三、序列的周期性如果存在一个最小的正整数N,满足 x(n)=x(n+N),则序列 x(n)为周期性序列,N 为周期。四、用单位抽样序列表示任意序列x(n)x(m)(nm)1、任意序列可表示成单位抽样序列的位移加权和.m2.、x(n)亦可看成 x(n)和(n)的卷积和五、序列的能量2E x(n)x(n)的能量定义为n1-21-2线性移不变系统线性移不变系统一、线性系统系统实际上表示对输入信号的一种运算，所以离散时间系统就表示对输入序列的运算，即y(n)=Tx(n)x(n)线性系统具有均匀性和迭加性：y1(n)Tx1(n),y2(n)Tx2(n),Ta1x1(n)a2x2(n)a1Tx1(n)a2Tx2(n),*加权信号和的响应=响应的加权和。*先运算后系统操作=先系统操作后运算。二、移不变系统如 Tx(n)=y(n),则 Tx(n-m)=y(n-m),满足这样性质的系统称作移不变系统。即系统参数不随时间变化的系统，亦即输出波形不随输入加入的时间而变化的系统。2n)不是移不变*系统操作=函数操作y(n)x(n)sin(97三、单位抽样响应与卷积和6离散时间系统Tx(n)y(n)四.线性移不变系统的性质1.交换律y(n)x(n)h(n)h(n)x(n)2.结合律x(n)h1(n)h2(n)x(n)h1(n)h2(n)x(n)h2(n)h1(n)x(n)h1(n)h2(n)3.对加法的分配律x(n)h1(n)h2(n)x(n)h1(n)x(n)h五.因果系统2(n)某时刻的输出只取决于此刻以及以前时刻的输入的系统称作因果系统。*实际系统一般是因果系统；*对图象、已记录数据处理以及平均处理的系统不是因果系统；*y(n)=x(-n)是非因果系统,因 n0 时的输入;线性移不变因果系统的充要条件为h(n)=0，n 0。六.稳定系统有界的输入产生有界的输出系统。线性移不变稳定系统的充要条件是h(n)p n1-31-3 常系数线性差分方程常系数线性差分方程离散变量 n 的函数 x(n)及其位移函数 x(n-m)线性叠加而构成的方程.一.表示法与解法1.表示法NMaky(nk)bmx(nm)k0m0*常系数：a0,a1,aN;b0,b1,bM均是常数（不含 n）.*阶数：y(n)变量 n 的最大序号与最小序号之差，如 N=N-0.*线性：y(n-k),x(n-m)各项只有一次幂,不含它们的乘积项。2.解法时域：迭代法，卷积和法;变换域：Z 变换法.二.用迭代法求解差分方程1.“松弛”系统的输出起始状态为零的系统，这种系统用的较多，其输出就是y(n)x(n)h(n)因此，已知 h(n)就可求出 y(n)，所以必须知道 h(n)的求法.2.迭代法（以求 h(n)为例）例:已知常系数线性差分方程为y(n)-ay(n-1)=x(n)，试求单位抽样响应 h(n).解：因果系统有 h(n)=0,n0;方程可写作:y(n)=ay(n-1)+x(n)y(n)ay(n1)x(n),当x(n)(n),y(n)h(n),故h(n)ah(n1)(n),因此h(0)ah(1)(0)011an,h(1)ah(0)(1)a10 ah(n)0,h(2)ah(1)(2)a20 a2h(n)ah(n1)(n)an0 an。n 0n 07a 1是稳定系统注意：1.一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，也不一定表示线性移不变系统。这些都由边界条件（初始）所决定。2.我们讨论的系统都假定：常系数线性差分方程就代表线性移不变系统，且多数代表因果系统。三.系统结构1.系统的输入与输出的运算关系的表述方法。2.差分方程可直接得到系统结构。例：y(n)=b0 x(n)-a1y(n-1)用表示相加器；用表示乘法器；用Z1表示一位延时单元。例：差分方程 y(n)=b0 x(n)-a1y(n-1)表示的系统结构为：1-41-4连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样一.抽样器与抽样1.抽样器2.抽样对信号进行时间上的量化，这是对信号作数字化处理的第一个环节。1fsT问题：信号经采样后发生的变化（如频谱的变化）；信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始信号、如何不失真地还原信号）；由离散信号恢复连续信号的条件？2.实际抽样与理想抽样实际抽样：p(t)为脉冲序列抽样器一般由电开关组成，开关每隔秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样。如开关每次闭合秒，则采样器的输出是一串重复周期为T，宽度为的脉冲，脉冲的幅度是这段时间内信号的幅度，如图1.1(d)，这一采样过程可看作是一个脉冲调幅过程，脉冲载波是一串周期为 T、宽度为的矩形脉冲，以P(t)表示,调制信号是输入的连续信号xa(t)，则采样输出为Xp(t)=Xa(t)P(t)一般很小,越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值。理想抽样：p(t)T(t)（冲激序列）8当抽样器的电开关闭合时间0 时，为理想采样。采样序列表示为冲激函数的序列，这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地等于输入信号在采样瞬间的幅度，即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程。理想采样信号的数学表示：理想采样信号的数学表示：用 M(t)表示冲击载波，则有理想采样信号可表示为：说明：说明：实际情况下，0 达不到，但(35)max。同时，为避免高于折叠频率的杂散频谱进入采样器造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的前置低通滤波器（抗混叠滤波器），阻止高于 S/2 频率分量进入。抗混叠滤波器抗混迭滤波器：理想采样信号的频谱是连续信号频谱以采样频率为周期的周期延拓，为避免采样信号频谱混迭产生失真而处理频带外的高频分量。3)采样信号的拉氏变换理想采样后，信号的拉氏变换在S 平面上沿虚轴周期延拓，也即在 S 平面上的虚轴上是周期函数。4、采样的恢复（恢复信号）如果理想采样满足奈奎斯特定理，信号最高频率不超过折迭频率，即则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此有，=0 部分）进行 z 变换。单边 z 变换可以看成是双边 z 变换的一种特例，即因果序列情况下的双边z 变换。二、z 变换的收敛域一般，序列的 Z 变换并不一定对任何 z 值都收敛，z 平面上使上述级数收敛的区域称为“收敛域”。一般 Z 变换的收敛域为：Rx-|z|Rx+我们知道，级数一致收敛的条件是绝对值可和，因此z 平面的收敛域应满足因为对于实数序列，因此，|z|值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这个范围一般表示为 Rx-|z|Rx+。这就是收敛域，一个以 Rx-和 Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域，Rx-和 Rx+称为收敛半径，Rx-和 Rx+的大小，即收敛域的位置与具体序列有关，特殊情况为 Rx-或 Rx+等于 0，这时圆环变成圆或空心圆。13四种序列的 Z 变换收敛域a.有限长序列序列,其 Z 变换,收敛域为 0|z|。因为 X(z)是有限项的级数和，只要级数每一项有界，有限项和也有界，所以有限长序列z 变换的收敛域取决于|z|-n0 和 n0 不收敛）以外的整个 Z 平面：0|z|。如果对 n1，n2加以一定的限制，如n10 或 n20，则根据条件|z|-nRx-。右边序列中最重要的一种序列是右边序列中最重要的一种序列是“因果序列”“因果序列”即即 n n1 1=0=0 的右边序列，的右边序列，因果序列只在因果序列只在 n n0 0 有值，有值，n n0 0 时，时，x x（n n）=0=0，其，其 z z 变换为：变换为：z z 变换的收敛域包括点是因果序列的特征变换的收敛域包括点是因果序列的特征。证明：如果 n10,使得由于第一项为有限长序列的Z 变换，在（0，）收敛。对于第二项，总能在（0，）找到|z|=R（如 R2MAXX(n)满足所以 X(z)在|z|=R 上收敛。由此可进一步证明，在R 圆以外，即 R|z|n20，|Z|R，因此|z|R，故由此证明右边序列的收敛域为|z|Rx-。c.左边序列序列 x（n）只在 nn2有值，nn2时，x（n）=0其收敛域在收敛半径为 Rx+的圆内，即|Z|Rx+。证明：如 x（z）在|z|=R 上收敛，即14则在 0|z|R 上也必收敛，任选一整数n10，整个级数在|z|R 上有收敛域|z|Rx-，则存在公共的收敛区间，X（z）有收敛域，Rx-|z|Rx-如果 Rx+Rx-，无公共收敛区间，X（z）无收敛域，不收敛。z z 变换收敛域的特点：变换收敛域的特点：收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到，只有 x（n）=（n）的收敛域是整个 z 平面；在收敛域内没有极点，x（z）在收敛域内每一点上都是解析函数。z z 变换表示法：变换表示法：级数形式；解析表达式（注意只表示收敛域上的函数，同时要注明收敛域）。2.32.3反反 Z Z 变换变换-1已知函数 X(z)及其收敛域，反过来求序列 x(n)的变换称为逆 z 变换，常用 Z X(z)表示。若则逆 z 变换的一般公式为n-1逆 z 变换是一个对 X（z）z进行的围线积分，积分路径 C 是一条在 X（z）收敛环域（Rx-，Rx+）以内反时针方向绕原点一周的单围线。证明：设积分路径 C 在半径为 R 的圆上，k=n-m，即 z=Re，Rx-RRx+，则j这个公式称为柯西积分定理。因此或直接计算围线积分比较麻烦，一般不采用此法求Z 反变换。求解逆求解逆 z z 变换的常用方法有：变换的常用方法有：幂级数留数定律法部分分式法如果得到的 z 变换是幂级数形式的，则可以看出，序列值x(n)是幂级数15-n中 z 项的系数，如果已经给出X(z)的函数表示，我们常常可以推导它的幂级数展开式或者利用已知的幂级数展开式。用长除法可获得幂级数展开式。n-1对于有理的 z 变换，围线积分通常可用留数定律计算，x(n)ResX(z)z，zk，即为n-1X(z)z在围线 C 内所有极点zk上留数值的总和。n-1n-1如果 zk是单阶极点，则 ResX(z)z，zk(zk)X(z)z =zk；如果 zk是 N 阶极点，则。常用序列常用序列 z z 变换：变换：2.4 z2.4 z 变换的性质变换的性质z 变换的许多重要性质在数字信号处理中常常要用到。序列1)x(n)2)y(n)3)ax(n)+by(n)4)x(n+no)5)anx(n)z 变换收敛域Rx-|z|Rx+Ry-|z|Ry+maxRx-+Ry-|z|minRx+,Ry+Rx-|z|Rx+|a|Rx-|z|a|Rx+Rx-|z|Rx+Rx-|z|Rx+1/Rx-|z|1/Rx+maxRx-+Ry-|z|minRx+,Ry+Rx-Ry-|z|Rx-(z-1)X(z)收敛于|z|1X(z)Y(z)aX(z)bY(z)znoX(z)X(a-1z)6)nx(n)7)x*(n)X*(z*)8)x(-n)X(1/z)9)x(n)*y(n)X(z)Y(z)10)x(n)y(n)11)x(0)=x()12)x()=ResX(z),1z 变换的性质可由正反z 变换的定义直接推导而得。例：性质 5）性质 6）帕塞伐尔（帕塞伐尔（ParsevalParseval）定理）定理z z 变换的重要性质之一变换的重要性质之一若有两序列 x（n），y（n），且X（z）=Zx（n）Rx-|z|Rx+Y（z）=Zy（n）Ry-|z|Ry+它们的收敛域满足条件：Rx-Ry-1，Rx+Ry+1则16，C 所在收敛域在 X(v)和 Y*(1/v*)两者收敛区域的重迭范围内 MaxRx-,1/Ry+|v|minRx+,1/Ry-。证明：令 w（n）=x(n)*y(n)利用复序列共轭及复数乘积特性：则由于假设条件中已规定收敛域满足 Rx-Ry-1Rx+Ry+因此|z|=1 在收敛域内，即 W(z)在单位圆上收敛，W(z)|z=1存在，又因因此。如果 X(v)、Y(v)在单位圆上收敛，则选取单位圆为围线积分途径，这时v=e e序列能量的计算：序列能量的计算：ParsevalParseval 定理定理的一个重要应用是计算序列能量。因可见，时域中对序列求能量与频域中求能量是一致的。2.5 Z2.5 Z 变换，拉氏变换与变换，拉氏变换与 DFTDFT 傅里叶变换之间的关系傅里叶变换之间的关系序列的 z 变换：x(n)X(z)即X(z)x(n)znj jn证毕。连续时间信号的 Laplace 变换：xa(t)Xa(s)即Xa(s)-xa(t)estdt连续时间信号的 Fourier 变换：xa(t)Xa(j)即Xa(j)-xa(t)e jtdt一一.Z.Z 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系1.1.理想抽样信号的拉氏变换理想抽样信号的拉氏变换)为其理想抽样信号，它们的Laplace 变换分别为：Xa(s)xa(t)设xa(t)为连续信号，x ta(st x(t)a(t)Xa(s)x则Xa(s)-xa(t)edt而axa(t)(t nT)n-故(s)Lx a(t)estdtX(t)aaxstx（dtanT)(t nT)enn xa(nT)est(t nT)dtxa(nT)enTsnnxa(nT)(esT)n(s)Lx a(t)因此，Xanxa(nT)(esT)n17(zx(序列 x(n)的 z 变换为X)n)zn，考虑到x(n)xa(nT),显然，当z esT时，序列 x(n)的nz 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。(s)即X(z)zesT X(esT)Xa2.2.Z Z 变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系(S(S、Z Z 平面映射关系）平面映射关系）S 平面用直角坐标表示为：s jZ 平面用极坐标表示为：z rejsTz rej eTejT又由于z e所以有：r e,因此，T T;这就是说，Z 的模只与 S 的实部相对应,Z 的相角只与 S 虚部相对应。T(1).r 与的关系(r e)=0,即 S 平面的虚轴r=1,即 Z 平面单位圆；0,即 S 的左半平面r0,即 S 的右半平面r1,即 Z 的单位圆外。(2).与的关系（=T）=0，S 平面的实轴，=0，Z 平面正实轴；0(常数)，S:平行实轴的直线，(),S:宽的水平条带，,T TT()整个 z 平面.,二二.Z.Z 变换和傅氏变换的关系变换和傅氏变换的关系连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，即X(j)1X(j jk2)aaTkT我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=j的特例,因而映射到 Z 平面上为单位圆。因此,X(z)(j)X(ejT)XajTze这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z 变换,就等于理想抽样信号傅氏变换。用数字频率作为 Z 平面的单位圆的参数，表示Z 平面的辐角，模拟频率 为 s 平面虚轴，则 有 Tj(j)考虑到 T，则X(z)zej X(e)Xa12k(j)1X(j jk2)j又XX(z)j X(e)Xa(j)aaTTzekTTk所以，序列在单位圆上的Z 变换为序列的傅氏变换。2.62.6 系统函数与频率响应系统函数与频率响应一、系统函数一、系统函数1、定义我们知道，用单位脉冲响应h(n)可以表示线性时不变离散系统，这时y（n）=x（n）*h（n）两边取 z 变换 Y(z)=X(z)H(z)j则定义为系统函数。它是单位脉冲响应的z 变换。单位圆上的系统函数 z=e就是系统的频率响应。所以可以用单位脉冲响应的z 变换来描述线性时不变离散系统。2、几种常用系统因果系统单位脉冲响应h（n）是因果序列的系统，其系统函数H(z)具有包括点的收敛域：Rx-|Z|0T,Z:始于原点的射线；218稳定系统：单位脉冲响应h（n）满足绝对可和，因此稳定系统的 H（z）必须在单位圆上收敛，即H(ej)存在。因果稳定系统：最普遍最重要的一种系统，其系统函数系统函数 H H（z z）必须在从单位圆到的整个）必须在从单位圆到的整个领域收敛，即领域收敛，即 1 1Z|Z|，H H（z z）的全部极点在单位圆以内。因此，因果稳定系统的系统）的全部极点在单位圆以内。因此，因果稳定系统的系统函数的全部极点必须在单位圆以内函数的全部极点必须在单位圆以内。3、差分方程与系统函数我们知道，线性时不变离散系统也可用差分方程表示，考虑N 阶差分方程两边取 z 变换：于是上式的分子与分母多项式也可用因子的形式来表示式中ci是 H（z）在 z 平面上的零点，di是 H（z）在 z 平面上的极点，因此，除比例常数A以外，整个系统函数可以由全部零、极点来唯一确定。4、系统函数的收敛域用系统函数 H（z）表示一个系统时，H（z）的收敛域对确定系统性质很重要。相同的系统函数,收敛域不同,所代表的系统可能完全不同。例 1：已知系统函数为求系统的单位脉冲响应及系统性质。系统函数 H（z）有两个极点，z1=0.5,z2=10。收敛域包括点，因此系统一定是因果系统，但单位圆不在收敛域内，因此可判定系统是不稳定的。例 2：系统函数不变,但收敛域不同求单位脉冲响应及系统性质。解:收敛域是包括单位圆而不包括点的有限环域，判定系统是稳定的,但是非因果的。用留数定理求 H(z)的反变换:注意到极点 z2=10 在积分围线（收敛域内的围线）以外,并且要考虑 n0 时,有一 n 阶极点出现在 z=0 处，因此由于存在 u(-n-1)项，因此系统是非因果的，同时也不难证明h(n)是绝对可积的，所以系统是稳定的.以上两例表明,同一个系统函数,由于收敛域不同,它们所代表的系统完全不同。二、系统频响的几何确定法二、系统频响的几何确定法用极点和零点表示系统函数的优点是，它提供了一种有效的求系统频率响应的几何方法。一个 N 阶的系统函数可用它的零极点表示为系统的频响为:19在 z 平面上,e-ci可用一根由零点 ci指向单位圆上 e 点的向量来表示，而 e-di可用极点jdi指向 e 的向量表示。于是令则j分析上式表明，频响的模函数由从各零、极点指向 e 点的向量幅度来确定，而频响的相位函数则由这些向量的幅角来确定，当频率由02时，这些向量的终端点沿单位圆反时针方向旋转一圈，由此可估算出整个系统的频响来。j其基本原理是，当单位圆上的e 点在极点 di附近时，向量最短，qi出现极小值，频响在这附近可能出现峰值，且极点di越靠近单位圆，qi的极小值越小，频响出现的峰值越尖锐，当di处在单位圆上时，qi的极小值为零，相应的频响将出现，这相当于在该频率处出现无耗（Q=）谐振，当极点超出单位圆时系统就处于不稳定状态。对于现实系统，这是不希望的。j对于零点位置，频响将正好相反，e 点越接近某零点 ci，频响越低，因此在零点附近，频响出现谷点，零点越接近单位圆，谷点越接近零，零点处于单位圆上时，谷点为零，即在零点所在频率上出现传输零点，零点可以位于单位圆以外，不受稳定性约束。这种几何方法为我们认识零、极点分布对系统性能的影响提供了一个直观的概念，这一概念对系统的分析和设计都十分重要。例 3.有限长单位脉冲响应 0a1求其频率响应特性。解：如果 a 为正实数，H（z）的零点为这些零点分布在|z|=a 的圆周上，对圆周进行 M 等分，它的第一个零点 k=0，恰好与分母上的极点（z-a）抵消，因此，整个函数H（z）共有左图给出 M=8，0a1 时的系统特性，幅频的峰值出现在=0，因为该处无零点（被极点对消），每一零点附近的频率响应均有陷落，呈现出 M 次起伏，当 M 无限增大时，波纹趋于平滑，系统函数趋于书上例 4 一阶系统的结果。jjj20第三章 离散付里叶变换离散付里叶级数（DFS）周期序列离散付里叶变换（DFT）学习要求学习要求：熟练掌握和运用 DFT 及其有关性质。引言：引言：一、DFT 是重要的变换1.分析有限长序列的有用工具。2.在信号处理的理论上有重要意义。3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通过DFT 在计算机上实现。二、DFT 是现代信号处理桥梁DFT 要解决两个问题：一是离散与量化，二是快速运算。傅氏变换的几种可能形式：傅氏变换的几种可能形式：一一.非周期连续时间、连续频率的傅氏变换非周期连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换傅氏变换 jt正:X(j)e(tdtx1反:x(t)X(j)ejtd2二二.周期连续时间、离散频率的傅里叶变换周期连续时间、离散频率的傅里叶变换-傅氏级数傅氏级数1Tp/2 jk正jk0tdt*时域周期为 Tp,:X()x(t)e0T/2pTp频域谱线间隔为 2/Tp反:x(t)X(jk0)ejk0tk三三.离散时间、周期连续频率的傅氏变换离散时间、周期连续频率的傅氏变换-序列的傅氏变换序列的傅氏变换jT正:X(e)x(nT)e jnT2n*时域抽样间隔为T,频域的周期为sT1/2反:x(nT)X(ejT)ejnTds/2四四.离散时间、离散频率的傅氏变换离散时间、离散频率的傅氏变换-DFT-DFTss21*时域是周期为Tp函数，频域的离散间隔为0时域的离散间隔为T,频域的周期为s2.T2;Tp结论结论:时间函数时间函数频率函数频率函数连续、非周期性非周期、连续连续、周期性非周期、离散离散、非周期性周期、连续离散、周期性周期、离散3-13-1 周期序列的离散付里叶级数（周期序列的离散付里叶级数（DFSDFS）前面我们讨论用付里叶变换和 z 变换来描述一般的序列和线性时不变离散系统。但有时序列是有限长序列，如 FIR 系统的单位脉冲响应就是一个有限长序列。对于这种情况，正如本章要讨论的，可以导出另一种付里叶表示式，称作离散付里叶变换(DFT)。离散付里叶变换是有限长序列付里叶表示式，它本身也是一个序列，而不是一个连续函数，它相当于把信号的付里叶变换进行等频率间隔取样。离散付里叶变换除了作为有限长序列的一种付里叶表示式在理论上相当重要外，由于存在计算离散付里叶变换有效算法，因而其在实现各种数字信号处理算法时起着核心作用。为了便于更好地理解DFT 的概念，先讨论周期序列及其离散付里叶级数（DFS）表示。离散付里叶级数（离散付里叶级数（DFSDFS）我们用来表示一个周期为 N 的周期序列，即，k 为任意整数，N 为周期。一个周期序列的离散付里叶级数为：系数本身也是一个周期序列，周期为N。（系数的求解）说明：周期序列不能进行 Z 变换，因为其在 n=-到+都周而复始永不衰减，在整个 z 平面上任何地方找不到一个衰减因子z能使序列绝对可和：即 z 平面上没有收敛域。但是，正象连续时间周期信号可用付氏级数表达，周期序列也可用离散的付氏级数来表示，也即用周期为N 的正弦序列来表示。周期为 N 的正弦序列其基频成分为：K 次谐波序列为：但离散级数所有谐波成分中只有N 个是独立的，这是与连续付氏级数的不同之处，因为因此将周期序列展成离散付里叶级数时，只要取k=0 到(N-1)这 N 个独立的谐波分量，N 以上的部分都可合并到这 N 个独立的谐波分量中，所以一个周期序列的离散付里叶级数只需包含这 N 个复指数。周期序列的离散付里叶级数(DFS)变换对：习惯上：记说明。，称为旋转因子，则 DFS 变换对可写为22DFS 离散付里叶级数变换IDFS离散付里叶级数反变换 DFS 变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N 个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。DFSDFS 的主要特性的主要特性。假设都是周期为 N 的两个周期序列，各自的离散付里叶级数为：a,b为任意常数1）线性 2）序列移位移位序列证明因为及都是以 N 为周期的函数，所以有由于与对称的特点，同样的方法可证明 3）周期卷积若，则，或。证明：这是一个卷积公式，但与前面讨论的线性卷积的差别在于，这里的卷积过程只限于一个周期内（即 m=0N-1），所以称为周期期卷积。由于 DFS 与 IDFS 的对称性，对周期序列乘积，存在着频域的周期卷积公式：若则233-23-2离散付里叶变换（离散付里叶变换（DFTDFT）从上节的讨论，我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此它的许多特性可沿用到有限长序列上。离散付里叶变换离散付里叶变换周期序列的主值区间和主值序列。定义一个有限长序列 x(n)，长为 N，（只有 n=0N-1 个点上有非零值，其余为零.）为了利用周期序列的特性，假定周期序列，是由有限长序列x(n)以周期为 N 延拓而成的，它们的关系为：对于周期序列，定义其第一个周期 n=0N-1 为的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。x(n)与的关系可描述为：数学表示式为：其中 RN（n）为矩形序列，符号（n）N是余数运算表达式，表示n 对 N 求余数。例：是周期为 N=8 的序列，求 n=11 和 n=-2 对 N 的余数因此的主值区间和主值序列：周期序列的离散付氏级数间 0kN-1 和主值序列 X(k)。也是一个周期序列，因而也可给它定义一个主值区有限长序列离散付里叶变换。考虑到周期序列的离散付里叶级数变换（DFS）和反变换（IDFS）公式中，求和都只限于主值区间（求和0N-1），它们完全适用于主值序列x(n)与 X(k)，因而我们可得到一个新的定义有限长序列离散付里叶变换定义。长度为 N 的有限长序列 x(n)，其离散付里叶变换 X(k)仍是一个长度为 N 的频域有限长序列，它们的关系为 x(n)与 X(k)是一个有限长序列离散付里叶变换对，已知x(n)能唯一地确定 X(k)，同样已知 X(k)也能唯一地确定 x(n)，实际上 x(n)与 X(k)都是长度为 N 的序列（复序列）都有N 个独立值，因而具有等量的信息。例：是一个 N=12 的有限长序列，由 DFT 得。DFTDFT 特性特性 DFT 的一些主要特性都与周期序列的DFS 有关。假定 x(n)与 y(n)是长度为 N 的有限长序列，其各自的离散付里叶变换分别为 X(k)=DFTx(n)，Y(k)=DFTy(n)(1)线性性 DFTax(n)+by(n)=aX(k)+bY(k),a,b为任意常数(2)圆周移位24有限长序列 x(n)的圆周移位定义为：f(n)=x(n+m)NRN(n)图的说明：x(n+m)N表示 x(n)的周期延拓序列的移位：x(n+m)N=x(n+m)NRN(n)表示对移位的周期序列取主值序列。所以 f(n)仍然是一个长度为 N 的有限长序列。f（n）实际上可看作序列x（n）排列在一个 N 等分圆周上，并向左旋转m 位。-mk序列圆周移位后的 DFT 为：F(k)=DFTf(n)=W