2015年江苏高考数学试题及答案.doc

2015年江苏高考数学试题及答案2015年江苏高考数学试题及答案:未经允许 请勿转载 201年江苏省高考数学试卷一、填空题此题共14小题，每题5分，共计0分1分15江苏已经知道集合=1，2,3,B=2,4，5，则集合AB中元素的个数为 .未经许可 请勿转载 2.5分2015江苏已经知道一组数据4，6,5,8,7,那么这组数据的平均数为 未经许可 请勿转载3.分215江苏设复数z满足z=3+4ii是虚数单位，则z的模为 . 4.5分215江苏根据如以以下图的伪代码,可知输出的结果S为 .分2015江苏袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球、1只红球、2只黄球,从中一次随机摸出2只球，则这只球颜色不同的概率为 .未经许可 请勿转载6分15江苏已经知道向量=,1，=1，2，若=9，8m,nR,则mn的值为 未经许可 请勿转载5分215江苏不等式4的解集为 8.5分2015江苏已经知道ta=,a+=,则ta的值为.未经许可 请勿转载 95分2015江苏现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为 .未经许可 请勿转载 10.分215江苏在平面直角坐标系xOy中，以点,0为圆心且与直线my2m1=0mR相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 未经许可 请勿转载1分2015江苏设数列an满足11，且an+1an=n+1nN*，则数列的前1项的和为 .未经许可 请勿转载1分205江苏在平面直角坐标系Oy中，P为双曲线x2y2=1右支上的一个动点，若点到直线xy+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为 .未经许可 请勿转载 35分20江苏已经知道函数f=|lnx|，gx=,则方程|fgx|=1实根的个数为 .未经许可 请勿转载4.5分205江苏设向量=o,sin+cs=0，1,1,则aak1的值为 未经许可 请勿转载 二、解答题此题共小题,共计0分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤5.14分21江苏在B中,已经知道AB2，=,A=6°.1求BC的长；2求sin2C的值. 14分215江苏如此图,在直三棱柱ABAB1C1中,已经知道ACBC，BCC1，设AB1的中点为D，B1CC1=E.未经许可 请勿转载求证:1DE平面AA1C1C;2BC1AB1. 171分2015江苏某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l,如以以下图，M,为的两个端点，测得点M到l，2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和.5千米，以l,l1在的直线分别为x，轴,建立平面直角坐标系xy,假设曲线符合函数y=其中a，b为常数模型.未经许可 请勿转载1求a，b的值；设公路l与曲线C相切于点，的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式ft，并写出其定义域;当为何值时，公路l的长度最短?求出最短长度18.6分015江苏如此图，在平面直角坐标系xOy中,已经知道椭圆+1ab>0的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为未经许可 请勿转载1求椭圆的标准方程;过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段B的垂直平分线分别交直线和AB于点,C，若PC=2AB,求直线AB的方程未经许可 请勿转载1.16分20江苏已经知道函数fx=3+ax2+ba,bR.试讨论x的单调性;2若b=ca实数c是与无关的常数，当函数fx有三个不同的零点时，的取值范围恰好是,31,求的值.未经许可 请勿转载 20.16分2015江苏设a，a2,a3是各项为正数且公差为d0的等差数列未经许可 请勿转载1证明:依次构成等比数列;2是否存在，使得依次构成等比数列？并说明理由；3是否存在及正整数，使得依次构成等比数列？并说明理由。 三、附加题此题包括选做题和必做题两部分【选做题】此题包括-24题，请选定其中两小题作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-：几何证明选讲】未经许可 请勿转载1.分01江苏如此图,在ABC中,A=AC，C的外接圆O的弦AE交B于点D未经许可 请勿转载求证：BB【选修4-2：矩阵与变换】220分215江苏已经知道，R,向量=是矩阵的属于特征值的一个特征向量,求矩阵以及它的另一个特征值.未经许可 请勿转载 【选修4-4:坐标系与参数方程】23.205江苏已经知道圆的极坐标方程为2+2sin4=0,求圆C的半径 选修4:不等式选讲】24.201江苏解不等式x+|+3|.【必做题】每题10分,共计2分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤251分2015江苏如此图，在四棱锥BD中，已经知道P平面ACD，且四边形BCD为直角梯形,AB=AD=，PA=A=2,ABC=1.未经许可 请勿转载1求平面P与平面C所成二面角的余弦值；2点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与D所成的角最小时，求线段的长. 26.1分201江苏已经知道集合1,2，3，Y=1，2，3,，n*，设n=a，b|a整除或整除,a，BYn,令f表示集合所含元素的个数.未经许可 请勿转载1写出f6的值;2当n6时,写出fn的表达式，并用数学归纳法证明5年江苏省高考数学试卷参考答案:与试题解析一、填空题此题共4小题，每题5分，共计70分15分考试点:并集及其运算专题：集合分析:求出A,再明确元素个数解答：解：集合=1,2,，B=2，4，5,则AB=,2,，4,5;所以AB中元素的个数为5;故答案:：:为：5点评：题考查了集合的并集的运算,根据定义解答,注意元素不重复即可，属于基础题.5分考试点:众数、中位数、平均数专题：概率与统计.分析：直接求解数据的平均数即可解答:解：数据4,6，5,8，7,，那么这组数据的平均数为:=故答案:：:为:6点评:此题考查数据的均值的求法，基本知识的考查.5分考试点:复数求模.专题：数系的扩充和复数.分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可.解答:解：复数z满足z2=3+4i，可得|z|=|3+4i=5，|z故答案:为：.点评:此题考查复数的模的求法,注意复数的模的运算法则的应用,考查计算能力.45分考试点：伪代码专题:图表型;算法和程序框图分析:模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，的值,当10时不满足条件I8,退出循环，输出S的值为7解答:解:模拟执行程序，可得S1,I=1满足条件I<8,S,I=4满足条件<8，S5，=满足条件I8,S7,10不满足条件,退出循环，输出的值为7.故答案:为:7点评:此题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键,属于基础题5.5分考试点：古典概型及其概率计算公式专题：概率与统计分析：根据题意,把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数,计算对应的概率即可.解答:解：根据题意,记白球为，红球为B,黄球为C1、C,则一次取出2只球，基本事件为A、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中只球的颜色不同的是AB、AC1、2、BC1、BC2共5种;所以所求的概率是=.故答案:：:为：.点评：此题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目6.分考试点:平面向量的基本定理及其意义专题：平面向量及应用分析：直接利用向量的坐标运算，求解即可.解答:解:向量=,1，=1，2,若m+=9,8可得，解得2,5,mn=.故答案:：为：3.点评：此题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用,考查计算能力75分考试点：指、对数不等式的解法专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析:利用指数函数的单调性转化为x2x<,求解即可解答:解；2<4，x2x<2,即x<0，解得：1x<2故答案:为：1,2点评:此题考查了指数函数的性质,二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大.分考试点：两角和与差的正切函数专题：三角函数的求值.分析:直接利用两角和的正切函数,求解即可.解答：解：tan=,ta+=，可知tn+=，即=,解得a=3故答案:为:3点评：此题考查两角和的正切函数，基本知识的考查.5分考试点：棱柱、棱锥、棱台的体积.专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径,求出体积，由前后体积相等列式求得r.解答:解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为:.设新圆锥和圆柱的底面半径为r,则新圆锥和圆柱的体积和为:，解得:故答案:为:点评：此题考查了圆柱与圆锥的体积公式,是基础的计算题10.5分考试点：圆的标准方程；圆的切线方程专题：计算题;直线与圆.分析:求出圆心到直线的距离的最大值,即可求出所求圆的标准方程解答:解：圆心到直线的距离d=，=时,圆的半径最大为，所求圆的标准方程为x12+2=2故答案:：:为:x2+2=2点评:此题考查所圆的标准方程,考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础.5分考试点：数列的求和；数列递推式.专题:等差数列与等比数列分析:数列an满足a1=,且a+n=n1nN,利用“累加求和可得an=.再利用“裂项求和即可得出解答：解：数列an满足a1=1，且an+1a=n+n*，当2时,anana1+2a1+a1+n+2+当n1时,上式也成立,a.2.数列的前项的和Sn=.数列的前10项的和为.故答案:：为：.点评:此题考查了数列的“累加求和方法、“裂项求和方法、等差数列的前n项和公式,考查了推理能力与计算能力，属于中档题12.5分考试点：双曲线的简单性质.专题:计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：双曲线xy21的渐近线方程为x±=0,的最大值为直线xy1=与直线xy=的距离解答：解：由题意,双曲线2y2=的渐近线方程为x±y0,因为点P到直线y1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线y+0与直线xy=0的距离，即故答案:：为：点评：此题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础13.分考试点：根的存在性及根的个数判断.专题:综合题；函数的性质及应用分析:由|fx+gx|=1可得xfx±1,分别作出函数的图象，即可得出结论解答:解:由|fxx|1可得=fx±1.gx与hx1的图象如以以下图,图象有两个交点;g与x=fx1的图象如以以下图,图象有两个交点；所以方程|x+gx|=1实根的个数为4故答案:为：4.点评：此题考查求方程|fx+gx=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.1分考试点：数列的求和.专题:等差数列与等比数列;平面向量及应用分析：利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出.解答：解:=+=+=+，kak+=+0+0=故答案:为:9.点评:此题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性,考查了推理能力与计算能力，属于中档题.二、解答题此题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤1.14分考试点：余弦定理的应用；二倍角的正弦.专题：解三角形分析：1直接利用余弦定理求解即可2利用正弦定理求出C的正弦函数值,然后利用二倍角公式求解即可.解答:解：1由余弦定理可得：BC=B2+AC2AACcs=4+8×2×3×=7,所以BC由正弦定理可得:,则snC=，AB<C,C为锐角,则osC=.因此snC=sinCC=2×.点评:此题考查余弦定理的应用,正弦定理的应用，二倍角的三角函数,注意角的范围的解题的关键.6.14分考试点:直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质.专题:证明题；空间位置关系与距离.分析：1根据中位线定理得DEA,即证DE平面1C1C;先由直三棱柱得出CC1平面B,即证ACCC1；再证明C平面BCCB1，即证BC1AC；最后证明BC1平面1，即可证出C1AB解答:证明:1根据题意，得;E为B1C的中点，D为AB的中点，所以EAC；又因为D平面A1C1C,AC平面AA1C1，所以DE平面AA11C；2因为棱柱CA1B1C1是直三棱柱，所以C1平面ABC，因为A平面ABC，所以ACCC1;又因为CBC,CC1平面11，B平面C1B1，CCC1=C，所以AC平面11;又因为BC平面平面C1,所以C1A;因为C=CC1,所以矩形BC1B1是正方形，所以B1平面BC;又因为A1平面B1AC，所以C1AB1点评:此题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目.11分考试点:函数与方程的综合运用专题:综合题;导数的综合应用分析：由题意知，点M,的坐标分别为5，4,20,2.5，将其分别代入y=，建立方程组,即可求a,b的值；2求出切线l的方程，可得,B的坐标,即可写出公路l长度的函数解析式ft，并写出其定义域;设t,利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路的长度最短,并求出最短长度.解答:解：1由题意知,点M，N的坐标分别为5,0,20，2.5，将其分别代入y=，得,解得,由1y=x20,Pt，,y=,切线l的方程为y=t设在点P处的切线l交,y轴分别于，B点，则A，,B0，,f=，t5,20；设gt，则gt=2t=,解得t=0，5，10时,gt0，t是减函数;t10，20时，g>,gt是增函数,从而t=10时，函数gt有极小值也是最小值，gtmin30，fmin=5,答：t10时,公路l的长度最短，最短长度为15千米点评:此题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系,正确求导是关键16分考试点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：1运用离心率公式和准线方程,可得a，c的方程,解得a,c,再由a,b，c的关系,可得b,进而得到椭圆方程;2讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程解答：解:1由题意可得,e=,且c+=3，解得c=1，a=,则b=1,即有椭圆方程为+y21;2当Ax轴,AB,CP=3，不合题意;当AB与轴不垂直,设直线AB:y=x1,x1，,Bx2，2,将AB方程代入椭圆方程可得1+2k224k2x+2k10,则x1x2=,x2=，则,，且|AB|,若k=0，则AB的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意；则k，故PC:y+=，P2，从而|P，由|=2|B,可得=，解得k=±1，此时A的方程为y=x或y=x+1.点评：此题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式,同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用,属于中档题.19分考试点:利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理专题：综合题;导数的综合应用分析：1求导数,分类讨论，利用导数的正负，即可得出x的单调性；2由1知,函数fx的两个极值为b，f+b,则函数fx有三个不同的零点等价于ff=b+<0,进一步转化为a>0时，a+c0或<0时,a+c0.设ga=a+，利用条件即可求c的值解答：解:1x=+x2+b,f=3x2+2a,令fx，可得x=0或.a=0时，x>0,fx在,+上单调递增；a>0时,x,，+时，fx>0,，0时，x0,函数fx在,，上单调递增，在，0上单调递减;a<时,x,0,+时,0,0,时，fx<0,函数fx在,，,+上单调递增,在,上单调递减；由1知，函数fx的两个极值为f=,f=+b,则函数有三个不同的零点等价于f0fb+b0，bca,a>0时，a+c>或a0时,+c<0设=a+c，函数f有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是,31,在，上,ga<且在1,，上a0均恒成立，g3c1,且=c10,c=，此时fxxax2+a=x1+ax+a,函数有三个零点，xax+1a0有两个异于1的不等实根,=a1241a0,且2a11a0，解得a，31，,+,综上c=1.点评:此题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点,考查分类讨论的数学思想，难度大.16分考试点:等比关系的确定；等比数列的性质专题：等差数列与等比数列.分析:根据等比数列和等差数列的定义即可证明；2利用反证法,假设存在，d使得a,2,a33，a4依次构成等比数列,推出矛盾，否定假设,得到结论;3利用反证法，假设存在a1，d及正整数n，k，使得an，n+k，a3n+2k，a4k依次构成等比数列,得到na2d+2=a1+2n+,且dn+ka1+dn3k=a12d2+2k，利用等式以及对数的性质化简整理得到ln1+3tln+t3ln1+2tln1ln+3tn1+t，*,多次构造函数,多次求导，利用零点存在定理,推出假设不成立.解答：解：1证明：=2d,n，2，3,是同一个常数,2，2，,2依次构成等比数列;2令a1+=a，则,a2，a4分别为ad,a,a+d,+da,ad,0假设存在a1，d使得a1,a22，a33,a44依次构成等比数列,则a4aad3,且+6a2a+2d4,令t=，则1=1t1+3,且1+t6=1+2t，t1，0,化简得t32t=0，且=t+1,将t2=t+1代入*式，tt+1+2+1=t2+3t+1+=4t+1=，则t=，显然t不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,因此不存在a1,d,使得a1,a2,3,a4依次构成等比数列.假设存在，d及正整数n，,使得a,a+，a3n+k,a4+依次构成等比数列，则na1+2d+2ka1+2d2n+k，且1dnka1+3dn+3k=a1d2n2k，分别在两个等式的两边同除以a12+，12+2k,并令t，t,t0，则1+22k+2n+k，且1+tnk1+3t+3k=1+n+2k，将上述两个等式取对数，得+2k12=2n+kl1+,且n+kln+n+3n3t2n+2l+2,化简得,2ln1+2tlt=2l+tln12t,且31+3tn+=n31+tl1t，再将这两式相除,化简得，l13tln1+t+3l1+2tln1+t=4ln1+3l1+,*令gt=ln1+3l1+tn1+3tl1+t+ln1+2tn1,则gt=1+3tn1+t1+t2ln1+231+t2ln+t，令t=132ln1+31+2t2l1+2t+31+2n+t，则t61+3n1t21+2ln1+2t+31+tln1+t,令1t=t,则1t=63ln1+t4l+2ln+,令2t=,则2t=>，由g0=0=0，t>0,知gt，t,t，t在，0和0，+上均单调,故只有唯一的零点t=0，即方程*只有唯一解t0,故假设不成立,所以不存在a1,d及正整数n,使得an，2n+,an2k,an+k依次构成等比数列.点评：此题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质,函数与方程等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题 三、附加题此题包括选做题和必做题两部分【选做题】此题包括21-2题，请选定其中两小题作答，若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选修4-1：几何证明选讲】未经许可 请勿转载211分考试点：相似三角形的判定专题：推理和证明分析:直接利用已经知道条件，推出两个三角形的三个角对应相等,即可证明三角形相似.解答:证明:AB=AC,BD=C，又CE,ABDE,又BA是公共角，可知:ABEB.点评:此题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识,考查逻辑推理能力.【选修4-2：矩阵与变换】210分考试点：特征值与特征向量的计算专题:矩阵和变换分析：利用A=2，可得A，通过令矩阵A的特征多项式为即得结论.解答：解:由已经知道,可得A=2,即=,则，即,矩阵A=,从而矩阵A的特征多项式f=+21，矩阵的另一个特征值为点评：此题考查求矩阵及其特征值,注意解题方法的积累,属于中档题. 【选修44：坐标系与参数方程】2320江苏考试点：简单曲线的极坐标方程.专题:计算题；坐标系和参数方程.分析：先根据x=cs，=n，求出圆的直角坐标方程，求出半径.解答：解:圆的极坐标方程为2+24=0，可得2ossn0,化为直角坐标方程为2+y2x2y4=,化为标准方程为x2+y+12=6,圆的半径r=点评：此题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,以及求点的极坐标的方法，关键是利用公式x=co，y=sn，比较基础，选修45:不等式选讲】242015江苏考试点:绝对值不等式的解法.专题:不等式分析：思路公式法:利用|f|gxfg，或xg；思路2零点分段法:对x的值分“x<进行讨论求解.解答：解法1：+|2x+3|变形为2x32x,得2x+3x，或2x+32x，即x，或5,即原不等式的解集为x|，或x5解法2：令|2+3|=0，得x当x时，原不等式化为x+x+32,即，所以x；x<时,原不等式化为xx+32，即x5,所以x5.综上,原不等式的解集为x|x，或x5.点评:此题考查了含绝对值不等式的解法本解答给出的两种方法是常见的方法，不管用哪种方法，其目的是去绝对值符号若含有一个绝对值符号，利用公式法要快捷一些,其套路为：fxgfxgx，或fxg；|fx|gxgxxgx.可简记为:大于号取两边,小于号取中间使用零点分段法时,应注意:同一类中取交集,类与类之间取并集. 【必做题】每题10分，共计20分,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤2.10分考试点：二面角的平面角及求法;点、线、面间的距离计算专题：空间位置关系与距离;空间角分析：以为坐标原点,以AB、AD、P所在直线分别为x、y、轴建系xyz.1所求值即为平面AB的一个法向量与平面PC的法向量的夹角的余弦值的绝对值,计算即可；2利用换元法可得cos2<，,结合函数ycos在0，上的单调性,计算即得结论.解答：解:以A为坐标原点，以A、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系Axyz如此图,由题可知B1，0,1，0,0，,0，P，0,2.1AD平面PAB，=0,2，0,是平面PB的一个法向量，=1，1,0,，2，设平面PD的法向量为=x,y，z,由，得，取y=1,得，1,1，cos,=，平面PAB与平面PC所成两面角的余弦值为；21,0，2，设,0,21，又=0,1,，则=+=，1，,又0，2，2，从而co，>=，设1=t,t1,，则os2，>=,当且仅当t=,即时，|c，>|的最大值为，因为=cox在0，上是减函数，此时直线CQ与所成角取得最小值又B=,B=BP=点评：此题考查求二面角的三角函数值,考查用空间向量解决问题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题210分考试点：数学归纳法.专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法.分析:1=6+2+13;2根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论,即可证明结论解答：解：166+2+=13;2当n时,n=下面用数学归纳法证明:n6时，f6=6+2+=13，结论成立；假设n=k6时，结论成立,那么n=k+时，Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在1，k+1,2，k+1，3，+1中产生,分以下情形讨论：若k+1=t,则=t+,此时有fk+1fk+3=+1+,结论成立;2若k1=6t1，则k+1,此时有fk+1f+1=k+2+1=k1+,结论成立；若k1=6t+2，则=6+1,此时有fk+1=fk=k+2+2=+1+2+,结论成立;4若+=6t+3，则k=t+2,此时有fk+1=fk2k+2+2=+1+2+，结论成立；5若k+1t+4,则k=t+3,此时有fk=k+2=k+2=+1+2+,结论成立；6若k+1=6t5，则k=6+4,此时有k+1=fk+2=k+2+2=+1+2+,结论成立综上所述,结论对满足n6的自然数n均成立.点评：此题考查数学归纳法,考查学生分析解决问题的能力,正确归纳是关键 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