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江苏省苏泰州南通高三第三次数学模拟考试江苏省苏泰州南通高三第三次数学模拟考试未经允许 请勿转载 南通市210届高三第三次调研测试数学参考答案:及评分建议必做题部分一、填空题：此题共14小题,每题5分,共70分.1. 有一容量为1的样本：,4,7，6,5,9，0,8,则数据落在内的频率为 .未经许可 请勿转载2. 已经知道直线,m,，平面,，则“是“的 条件.填“充分不必要、 “必要不充分、 “充要、“既不充分也不必要之一 未经许可 请勿转载3. 已经知道集合其中i为虚数单位,且，则m的值为 . 4. 在区间0，1上任取两个数a，b,则关于的方程有实数根的概率为 . 若函数则 . . 在区间内不间断的偶函数满足,且在区间上是单调函数,则函数在区间内零点的个数是 . 7. 执行如以以下图的程序框图后，输出的结果是 8. 不等式的解集是 （第7题）输出n开始S<15NY结束9. 如此图，点、B在函数的图象上,则直线的方程为 未经许可 请勿转载BBAyx1O（第9题）10. 双曲线上的点到点5, 的距离是6，则点P的坐标是 . 11.已经知道数列为等差数列，若，则数列的最小项是第 项. 12. 在菱形ABD中，若，则 . 13 已经知道点在直线上,点Q在直线上，PQ的中点为,且,则的取值范围是_14. 数列满足：，若数列有一个形如的通项公式，其中均为实数,且,则 .只要写出一个通项公式即可 未经许可 请勿转载【填空题答案:】1.0.3   2.充分不必要 3.2 4. 未经许可 请勿转载5.2 7.3 8. 18， 11. 18 13. 141,3,5二、解答题:此题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.此题满分14分已经知道向量与共线,其中A是AC的内角.1求角的大小; 2若BC=2,求ABC面积的最大值，并判断S取得最大值时ABC的形状.【解】1因为m/n,所以2分所以,即, 分即 . 4分因为 , 所以. 5分故，. 7分2由余弦定理,得 .分 又， 9分 而，当且仅当时等号成立11分所以. 1分ABCDEF（第16题）GBO当ABC的面积取最大值时，.又,故此时AC为等边三角形.4分未经许可 请勿转载6. 此题满分1分如此图，已经知道四边形ABCD为矩形，平面AE,AE=B=BC=,F为CE上的点,且平面ACE.1求证：E/平面;2求三棱锥DACE的体积.【证明】1设，连结.因为面,面，所以.因为，所以为的中点. 分在矩形中，为中点，所以. 5分因为面,面,所以面 分2取中点，连结.因为,所以. 因为面,面,所以, 所以面. 9分因为面,面，所以.因为面,面,所以. 又,所以平面. 11分又面，所以.所以,.1分故三棱锥的体积为14分17 . 此题满分1分田忌和齐王赛马是历史上有名的故事. 设齐王的匹马分别为A、B、,田忌的匹马分别为a,b，c，6匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为：，a，,b，C，.两人约定：匹马均需参赛，共赛3场,每场比赛双方各出1匹马,最终至少胜两场者为获胜.未经许可 请勿转载 如果双方均不知道对方的出马顺序,求田忌获胜的概率； 2颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出A马 那么，田忌应怎样安排马的出场顺序，才能使获胜的概率最大？未经许可 请勿转载【解】记A与a比赛为A,a，其它同理l方法1齐王与田忌赛马,有如下6种情况：A,a,B,b,C,c；A,a，c,C，b；A,b，c,C，;A,b，,a，C,c;A，,B,a,C,b;A，c,B,，. 2分其中田忌获胜的只有一种：A,，a,C,. 分故田忌获胜的概率为 7分方法2齐王与田忌赛马对局有6种可能： B Ca b c b a c a c a c b a 2分 其中田忌获胜的只有一种：A,c,，a,C，b 4分若齐王出马顺序还有CB , AC , BC，AB,CBA等五种;每种田忌有一种可以获胜.故田忌获胜的概率为 7分2已经知道齐王第一场必出上等马A，若田忌第一场必出上等马a或中等马，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c.9分未经许可 请勿转载后两场有两种情形：若齐王第二场派出中等马B，可能的对阵为:B,a,C,或B，b,C,a田忌获胜的概率为. 11分若齐王第二场派出下等马C，可能的对阵为:C，,B，b或,b,a田忌获胜的概率也为. 13分所以，田忌按c ,a ， b或c , b , a的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大14分答:田忌获胜的概率.2田忌按c , a ， b或c ,b , a的顺序出马，才能使获胜的概率达到最大为1分18 此题满分15分在平面直角坐标系xOy中,已经知道对于任意实数，直线恒过定点F. 设椭圆C的中心在原点,一个焦点为F,且椭圆C上的点到的最大距离为.未经许可 请勿转载1求椭圆C的方程;2设m，n是椭圆C上的任意一点，圆O:与椭圆有个相异公共点,试分别判断圆与直线1：mxny=和l2:x+4的位置关系. 未经许可 请勿转载【解】, 1分解得. 3分设椭圆C的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b，2c,则由题设,知 于是a=2，b2 5分所以椭圆的方程为 6分2因为圆O：与椭圆C有4个相异公共点,所以,即 8分因为点m,n是椭圆上的点，所以.所以. 10分于是圆心到直线l1的距离，12分圆心到直线2的距离. 1分故直线l与圆O相交,直线与圆O相离.15分19.此题满分1分设数列an是由正数组成的等比数列,公比为,Sn是其前n项和.1证明； 2设记数列的前n项和为T，试比较q2n和Tn的大小. 【证明】由题设知a1>0,>0. 分当q=1时，Sn=na1，于是 Sn·S+2=na1·n+a1-+2=-<, 分未经许可 请勿转载 i当1时， 于是S·Sn+=. 分由i和ii，得Sn·n+2<0所以Sn·S+2<, 分2 方法一： 1分 T,-qSn=, 13分=2>0, 15分所以Tn>q2S 16分方法二：Tn=， 11分由， 13分因为，所以当且仅当,即时取“=号，因为,所以，即Tn>2S. 16分20此题满分16分已经知道函数，且.1讨论函数的单调性；2若，关于的方程有唯一解，求a的值.【解】 1由已经知道得x>且.当是奇数时，则fx在0,+上是增函数; 3分当是偶数时,则. 5分所以当x时,当x时，. 故当k是偶数时, x在上是减函数，在上是增函数.7分若,则.记gx = x =x 2 a xx 2ax，,若方程fx=ax有唯一解,即g=0有唯一解; 9分令,得.因为,所以舍去,.1分当时，,在是单调递减函数；当时，,在上是单调递增函数当=x2时， ,. 12分因为有唯一解，所以.则 即 分两式相减得因为>0,所以.1分设函数，因为在x>0时,h x是增函数，所以h x = 至多有一解因为h 0,所以方程的解为 2 1，从而解得16分附加题部分1选做题此题包括A,，C，D共4小题,请从这4题中选做小题 每题分，共分.请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤未经许可 请勿转载OAEBDFC. 选修41：几何证明选讲如此图，是的直径,是上的两点,过点作的切线FD交的延长线于点连结交于点 求证：.【证明】连结OF.因为DF切O于F,所以OD=9°.所以OFC+CFD9°因为O=F，所以OCF=OF 因为COA于O,所以OC+CEO=90°. 分所以FD=CEO=DEF，所以=DE.因为DF是O的切线，所以F2DB·D.所以2=DB·DA 10分B. 选修42:矩阵与变换求矩阵的特征值及对应的特征向量.【解】特征多项式, 3分由,解得. 6分将代入特征方程组,得.可取为属于特征值1的一个特征向量. 8分将代入特征方程组, 得.可取为属于特征值的一个特征向量. 综上所述,矩阵有两个特征值;属于的一个特征向量为，属于的一个特征向量为. 10分C.选修-:坐标系与参数方程已经知道曲线的极坐标方程是,直线的参数方程是为参数. 1将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； 2设直线与轴的交点是,是曲线上一动点,求的最大值.【解】1曲线的极坐标方程可化为 分又,所以曲线的直角坐标方程为. 分 2将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得.6分 令,得,即点的坐标为2,0. 又曲线为圆，圆的圆心坐标为，0,半径,则. 8分所以. 分D.选修4-：不等式选讲设均为正数,且,求证【证明】因为,当且仅当时等号成立 又因为，所以 10分22. 必做题, 此题10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤如此图，在三棱柱中,顶点在底面上的射影恰为点,且求棱与C所成的角的大小;（第22题）BACA1B1C1在棱上确定一点P,使，并求出二面角的平面角的余弦值【解】1如此图，以为原点建立空间直角坐标系,则 ，,.，故与棱BC所成的角是 分BACA1B1C1zxyP2设，则于是舍去，则P为棱的中点,其坐标为 6分设平面的法向量为n1，则故n 8分而平面的法向量是n21,则,故二面角的平面角的余弦值是1分23必做题，此题10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已经知道函数,1证明:当时,；2求函数的的极值.【解】,则.令，则. 1分当时，在上为增函数.当x>0时，,在上为减函数. 3分所以h在x=0处取得极大值，而h0=0，所以,函数x在上为减函数. 分当x0时，. 5分函数的定义域是，, 6分由知,当时，,当x时, 所以,当时，在1,0上为增函数.当x>0时，,在上为减函数. 8分故函数的单调递增区间为1,0,单调递减区间为.故=0时有极大值0. 10分 未经允许 请勿转载