高中数学圆锥曲线问题常用方法经典例题(含答案).docx

.学习要点专题：解圆锥曲线问题常用方法一12 / 12解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法1椭圆有两种定义.第一定义中,r1+r2=2a.第二定义中,r1=ed1r2=ed2.2双曲线有两种定义.第一定义中, r1- r= 2a ,当 r >r122时,注意 r2的最小值为c-a：第二定义中,r1=ed1,r2=ed2,尤其应注意第二定义的应用,常常将半径与"点到准线距离互相转化.3抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题 用定义解决更直接简明.2、韦达定理法因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理与判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一 ,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用.3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得 以解决,这种方法称为"设而不求法.设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题 ,常用"点差法 ,即设弦的两个端点A<x1,y1>,B<x2,y2>,弦 AB 中点为M<x0,y0>,将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的"设而不求法,具体有：+x 2y 21= 1(a > b > 0) 与直线相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M<x ,y >,则a 2b 20 0xy有0 +0 k = 0 .a 2b 2-x 2y 22= 1(a > 0, b > 0) 与直线 l 相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M<x ,y >x则有0a 2b 20 0y-0 k = 0a 2b 23y2=2pxp>0与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M<x0,y0>,则有 2y0k=2p,即 y0k=p.典型例题2例1、<1>抛物线C:y2=4x 上一点P 到点A<3,4的坐标为 >与到准线的距离和最小,则点 P<2>抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B<4,1>与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为.分析：1A 在抛物线外,如图,连 PF,则 PH = PF ,因而易发现,当 A、AQP、F 三点共线时,距离和最小.2B 在抛物线内,如图,作 QRl 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线时,距离和最小.HPBF2解：12,连 PF,当 A、P、F 三点共线时, AP + PH = AP + PF 最小,此时 AF 的方程为4 2 - 0y =3 - 1(x - 1) 即 y=2<x-1>,代入 y2=4x 得 P<2,2>,注：另一交点为222< 1 ,-2>,它为直线 AF 与抛物线的另一交点,舍去2 1 ,14过 Q 作 QRl 交于 R,当 B、Q、R 三点共线时, BQ + QF = BQ + QR 最小,此时 Q点的纵坐标为 1,代入 y2=4x 得 x= 1 ,Q< 1 ,1>44点评：这是利用定义将"点点距离与"点线距离互相转化的一个典型例题,请仔细体会.例 2、F 是椭圆 x 2 + y 2 = 1的右焦点,A<1,1>为椭圆内一定点,P 为椭圆上一动点.431 PA + PF 的最小值为yAPHF0Fx2 PA + 2PF 的最小值为5分析：PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径PF ¢ 或准线作出来考虑问题. 解：14-设另一焦点为 F ¢ ,则 F ¢ <-1,0>连 A F ¢ ,P F ¢5当 P 是 F ¢ A 的延长线与椭圆的交点时, PA + PF 取得最小值为 4-.231作出右准线 l,作 PHl 交于 H,因 a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e= 2 ,12 PF =PH ,即2 PF = PH PA + 2PF = PA + PH 当 A、P、H 三点共线时,其和最小,最小值为 a 2 - xcA= 4 - 1 = 3例 3、动圆 M 与圆 C1:<x+1>2+y2=36 内切,与圆 C2:<x-1>2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方程.分析：作图时,要注意相切时的"图形特征：两个圆心与切点这三点共线如图中的 A、M、C 共线,B、D、M 共线.列式的主要途径是动圆的"半径等于半径如图中的 MC = MD .解：如图, MC = MD , AC - MA = MB - DB 即6 - MA = MB - 2 MA + MB = 8*yCM DA0 B5xx 2 + y 2 = 1点 M 的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b2=15 轨迹方程为 1615点评：得到方程*后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列(x - 1)2 + y 2(x + 1)2 + y 2式求解,即列出+= 4 ,再移项,平方,相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐！3例 4、ABC 中,B<-5,0>,C<5,0>,且 sinC-sinB= 5 sinA,求点 A 的轨迹方程.分析：由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以 2RR 为外接圆半径,可转化为边长的关系.33解：sinC-sinB= 5 sinA2RsinC-2RsinB= 5 ·2RsinA35 AB - AC =BC即 AB - AC = 6*点 A 的轨迹为双曲线的右支去掉顶点2a=6,2c=10a=3, c=5, b=4-x 2y 2所求轨迹方程为= 1 x>3916点评：要注意利用定义直接解题,这里由*式直接用定义说明了轨迹双曲线右支例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动,AB 中点为 M,求点 M 到 x轴的最短距离.122分析：1可直接利用抛物线设点 ,如设 A<x1,x 2>,B<x ,X 2>,又设 AB 中点为M<x0y0>用弦长公式与中点公式得出 y0 关于 x0 的函数表达式,再用函数思想求出最短距离.2M 到 x 轴的距离是一种"点线距离,可先考虑 M 到准线的距离,想到用定义法.12200解法一：设 A<x1,x 2>,B<x ,x 2>,AB 中点 M<x ,y >ì(x - x )2 + (x 2 - x 2 )2 = 91则 ïx + x = 2212íxï 120îx 2 + x 2 = 2 y120由得<x1-x2>21+<x1+x2>2=9即<x1+x2>2-4x1x2·1+<x1+x2>2=90由、得 2x1x2=<2x0>2-2y0=4x 2-2y0代入得 <2x0>2-<8x02-4y0>·1+<2x0>2=9 4 y0- 4x 20=9,1 + 4x 209 2- 1 = 5, y³ 50420当 4x 2+1=3即 x= ±02 时, ( y0)min=此时 M (±, 5 )25424法二：如图, 2 MM2= AA2+ BB2= AF + BF ³ AB = 3313 MM³22 , 即 MM15+³,y42MBA MM³, 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值.145M 到 x 轴的最短距离为 4111x M0AABBM222点评：解法一是列出方程组,利用整体消元思想消x1,x2,从而形成 y0 关于 x0 的函数,这是一种"设而不求的方法.而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地将中点M 到x 轴的距离转化为它到准线的距离,再利用梯形的中位线,转化为 A、B 到准线的距离和, 结合定义与三角形中两边之和大于第三边当三角形"压扁时,两边之和等于第三边的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证 AB 是否能经过焦点 F,而且点 M 的坐标也不能直接得出.+x 2y 2例 6、已知椭圆= 1(2 £ m £ 5) 过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆mm - 1与准线从左到右依次变于 A、B、C、D、设 f<m>= AB - CD ,1求 f<m>,2求 f<m>的最值.分析：此题初看很复杂,对 f<m>的结构不知如何运算,因 A、B 来源于"不同系统,A 在准线上,B 在椭圆上,同样 C 在椭圆上,D 在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段"投影到 x 轴上,立即可得防此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可.x 2 +y 2= 1解：1椭圆-mm1中,a2=m,b2=m-1,c2=1,左焦点 F1<-1,0>则 BC:y=x+1,代入椭圆方程即<m-1>x2+my2-m<m-1>=0得<m-1>x2+m<x+1>2-m2+m=0<2m-1>x2+2mx+2m-m2=0设 B<x ,y >,C<x ,y >,则 x +x =-2m(2 £ m £ 5)1 12 2122m - 12 2m - 1 + 12m - 12 f (m) =1)=2(1 +2m - 1当 m=5 时, f (m)=102min9当 m=2 时, f (m)=4 2max3点评：此题因最终需求 xB + xC ,而 BC 斜率已知为 1,故可也用"点差法设 BC 中x点为 M<x ,y >,通过将 B、C 坐标代入作差,得0+0× k = 0 ,将 y =x +1,k=1 代入y0 0mm - 100xx + 1m2m得0 +0= 0 , x = -,可见 x+ x= -mm - 102m - 1BC2m - 1当然,解本题的关键在于对 f (m) = AB - CD 的认识,通过线段在 x 轴的"投影发现 f (m) = xB同步练习+ x是解此题的要点.C-x 2y 21、已知：F ,F 是双曲线= 1的左、右焦点,过 F作直线交双曲线左支于1 2a 2b 212点 A、B,若AB = m ,ABF 的周长为A、4aB、4a+mC、4a+2mD、4a-m2、若点 P 到点 F<4,0>的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,则 P 点的轨迹方程是A、y2=-16xB、y2=-32xC、y2=16xD、y2=32x3、已知ABC 的三边 AB、BC、AC 的长依次成等差数列,且AB > AC ,点 B、C 的坐标分别为<-1,0>,<1,0>,则顶点 A 的轨迹方程是A、 x 2 + y 2= 1B、 x 2 +y 2 = 1(x > 0)4343C、 x 2 + y 2= 1(x < 0)D、 x 2 + y 2= 1(x > 0且y ¹ 0)43434、过原点的椭圆的一个焦点为 F<1,0>,其长轴长为 4,则椭圆中心的轨迹方程是1919A、(x -)2 + y 22=(x ¹ -1)B、(x +)2 + y 2 =(x ¹ -1) 4241919C、 x 2 + ( y -)22=(x ¹ -1)D、 x 2 + ( y +)2 =(x ¹ -1) 424-x 2y 25、已知双曲线= 1 上一点 M 的横坐标为 4,则点 M 到左焦点的距离是9166、抛物线 y=2x2 截一组斜率为 2 的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是7、已知抛物线 y2=2x 的弦 AB 所在直线过定点 p<-2,0>,则弦 AB 中点的轨迹方程是8、过双曲线 x2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为9、直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=1 的交点个数只有一个,则 k=+x 210、设点 P 是椭圆y 2 = 1上的动点,F ,F是椭圆的两个焦点,求 sinF PF的最大值.259121211、已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列 ,若直线 l 与此椭圆相交于 A、B 两点,且 AB 中点 M 为<-2,1>, AB = 4 3 ,求直线 l 的方程和椭圆方程.-x 2y 212、已知直线 l 和双曲线a 2b 2= 1(a > 0, b > 0) 与其渐近线的交点从左到右依次为 A、B、C、D.求证： AB = CD .参考答案1、CAF2- AF1= 2a, BF2- BF1= 2a , AF2+ BF2- AB = 4a, AF2+ BF2+ AB = 4a + 2m, 选 C2、C点 P 到 F 与到 x+4=0 等距离,P 点轨迹为抛物线 p=8 开口向右,则方程为 y2=16x,选 C3、D AB + AC = 2 ´ 2 , 且 AB > AC点 A 的轨迹为椭圆在 y 轴右方的部分、又 A、B、C 三点不共线,即 y0,故选D.4、A设中心为<x,y>,则另一焦点为<2x-1,2y>,则原点到两焦点距离和为 4 得(2x - 1)2 + (2 y)2191 += 4 , (x -)2 + y 2 =24(x - 1)2 + y 2又 c<a,< 2<x-1>2+y2<4 ,由,得 x-1,选 A295、 39929左准线为 x=-52929,M 到左准线距离为d = 4 - (-) =则 M 到左焦点的距离为555ed =· =353116、 x =( y >)221212设弦为 AB,A<x1,y1>,B<x2,y2>AB 中点为<x,y>,则 y1=2x 2,y2=2x 2,y1-y2=2<x 2-x 2>y - yx1 - x 2= 2(x1+ x ) 2=2·2x, x = 1221将 x =2=1111代入 y=2x2 得 y,轨迹方程是 x<y>>22227、y2=x+2<x>2>设 A<x1,y1>,B<x2,y2>,AB 中点 M<x,y>,则y - 0y, k= kABMP= x + 2x + 2· 2 y = 2 ,即 y2=x+222又弦中点在已知抛物线内 P,即 y2<2x,即 x+2<2x,x>2 8、4a 2 = b 2 = 4, c 2 = 8, c = 2y2=4,y=±2,弦长为 4,令 x = 2代入方程得 8-y2=49、±2或± 1y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-<kx+1>2-1=0<1-k2>x2-2kx-2=0ì1 - k 2 ¹ 0î íD = 0得 4k2+8<1-k2>=0,k= ±21-k2=0 得 k=±110、解：a2=25,b2=9,c2=16y设 F 、F 为左、右焦点,则 F <-4,0>F <4,0>P12设 PF = r , PF12= r , ÐF PF = qFFx1则ìr + rí 12122= 2q1 212îr 2 + r 2 - 2r rcosq = (2c)2121 22-得 2r1r2<1+cos>=4b21+cos=4b2= 2b2 r +r³ 2 r r,r r的最大值为 a22r rr r121 21 21 21 22b 21+cos的最小值为a 2,即 1+cos ³ 1825cos ³ - 7, 0 £ q £ p - arccos7 则当q = p时,sin取值得最大值 1,25252即 sinF1PF2 的最大值为 1.+x 211、设椭圆方程为a 2y 2 = 1(a > b > 0)b 2由题意：C、2C、 a 2 + c 成等差数列,c 4c = c +a 2 + c即a 2 = 2c 2 ,ca2=2<a2-b2>,a2=2b2+x 2y 2椭圆方程为= 1,设 A<x ,y >,B<x ,y >2b 2b 21 12 2x 2y 2x 2y 2则1+12b 2b 2= 12+22b 2b 2= 1x 2 - x 2y 2 - y 2-得 12 +12 = 02b 2b 2xym2b 2+m × k = 0b 2即 - 2 + k = 0 k=12直线 AB 方程为 y-1=x+2 即 y=x+3, 代入椭圆方程即 x2+2y2-2b2=0 得x2+2<x+3>2-2b2=03x2+12x+18-2b2=0,1 + 1AB = x - x=12x 2 += 413122 - 12(18 - 2b 2 )23y 2 = 1解得 b2=12,椭圆方程为 2412,直线 l 方程为 x-y+3=012、证明：设 A<x1,y1>,D<x2,y2>,AD 中点为 M<x0,y0>直线 l 的斜率为 k,则ì x 2y 22x2 yï 1 - 1 = 1-得0 -0 × k = 0 ï a 2b 2ía 2b 2ï x 2y 2ï 2 -2 = 1î a 2b 2设 B(x¢, y¢), C(x¢ , y¢ ), BC中点为M ¢(x¢ , y¢ ) ,112200ì x12y12则 ï 1 - 1 = 0ï a 2íï x1 2b2y1 2ï 2 - 2 = 0î a 2b22x¢2 y1-得1 -a 20 × k = 0 b 2由、知 M、 M ¢ 均在直线l¢ : 2x - 2 y × k = 0 上,而 M、 M ¢ 又在直线 l 上 ,a 2b 2若 l 过原点,则 B、C 重合于原点,命题成立若 l 与 x 轴垂直,则由对称性知命题成立若 l 不过原点且与x 轴不垂直,则 M 与 M ¢ 重合 AB = CD