多元复合函数求导法则的解题思路及方法.ppt

第四节第四节 多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分一、链式法则一、链式法则定理定理 且其导数可用下列公式计算且其导数可用下列公式计算则复合函数则复合函数在对应点在对应点可导，可导，函数函数在对应点在对应点具有连续偏导数，具有连续偏导数，可导，可导，如果函数如果函数及及都在点都在点一元复合函数一元复合函数求导法则求导法则证证t0 时时,取取“”“”号号 由于函数由于函数在点在点故可微，即故可微，即有连续偏导数，有连续偏导数，例例1 设设 而而其中其中 可导，求可导，求解解1.1.上定理的结论可推广到上定理的结论可推广到以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.推广推广中间变量多于两个的情况中间变量多于两个的情况:的两个偏导数存在的两个偏导数存在,且可用下列公式计算且可用下列公式计算:如果如果及及都在点都在点具有对具有对x和和y 的偏导数，且函数的偏导数，且函数则复合函数则复合函数在对应点在对应点在对应点在对应点具有连续偏导数，具有连续偏导数，2.2.上定理还可推广到上定理还可推广到中间变量不是一元函数中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：复合结构如图示复合结构如图示链式法则的规律：链式法则的规律：“连线相乘，分线相加连线相乘，分线相加”解解在对应点在对应点的两个偏导数存在，且可用下列公式计算的两个偏导数存在，且可用下列公式计算链式法则的规律：链式法则的规律：“连线相乘，分线相加连线相乘，分线相加”设设都在点都在点具有偏导数，具有偏导数，在在则复合函数则复合函数对应点对应点具有连续偏导数，具有连续偏导数，即即其中其中两者的区别两者的区别区别类似区别类似3.3.中间变量即有一元函数中间变量即有一元函数,也有多元函数的情况：也有多元函数的情况：解解解解令令记记于是于是全微分形式不变性的实质全微分形式不变性的实质：无论无论z是自变量是自变量x,y的函数或中间变量的函数或中间变量u,v 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性例例5 设设 而而求求解解比较比较1 1、链式法则（连线相乘，分线相加）、链式法则（连线相乘，分线相加）2 2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别注意特殊情况：函数的复合结构的层次）（特别注意特殊情况：函数的复合结构的层次）小结思考题思考题设设，而，而试问试问与与是否相同？为什么？是否相同？为什么？等式左端的等式左端的z是作为一个自变量是作为一个自变量x的函数，的函数，写出来为写出来为 不相同不相同.