复变函数论第三版PPT课件.ppt
复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数第一节第一节 复数复数第第二节二节 复平面上的点集复平面上的点集第三节第三节 复变函数复变函数第四节第四节 复球面与无穷远点复球面与无穷远点12/26/20221复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院第一节第一节 复数复数1.虚数单位虚数单位:对虚数单位的规定对虚数单位的规定:一、复数的概念一、复数的概念虚数单位的特性虚数单位的特性:2.复数复数:12/26/20222复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院 两复数相等两复数相等当且仅当当且仅当它们的实部和虚部分别相等它们的实部和虚部分别相等.复数复数 z 等于等于0当且仅当当且仅当它的实部和虚部同时等于它的实部和虚部同时等于0.注：实数可以比较大小注：实数可以比较大小,但但复数不能比较大小复数不能比较大小.二、复数的代数运算二、复数的代数运算1.两复数的代数和两复数的代数和:2.两复数的积两复数的积:3.两复数的商两复数的商:4.共轭复数共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数个复数称为共轭复数.12/26/20223复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院6.共轭复数的性质共轭复数的性质:例例1 解解5.复数域复数域:全体复数在四则运算这个代数结构下构全体复数在四则运算这个代数结构下构成一个复数域成一个复数域,记作记作C.实数域和复数域都是代数学实数域和复数域都是代数学中所研究的域的概念的实例中所研究的域的概念的实例.12/26/20224复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例2 证证例例3 解解 设设12/26/20225复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院三、复平面三、复平面1.复数的模复数的模显然下列各式成立显然下列各式成立12/26/20226复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院2.复数的辐角复数的辐角辐角不确定辐角不确定.辐角主值的定义辐角主值的定义:12/26/20227复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院3.利用平行四边形法求复数的和差利用平行四边形法求复数的和差4.复数和差的模的性质复数和差的模的性质两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.12/26/20228复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院5.5.复数的三角表示和指数表示复数的三角表示和指数表示利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数可以表示成复数的三角表示式复数的三角表示式再利用欧拉公式再利用欧拉公式复数可以表示成复数可以表示成复数的指数表示式复数的指数表示式12/26/20229复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例1 1解解6.6.复数在几何上的应用举例复数在几何上的应用举例 下面例子表明下面例子表明,很多平面图形能用复数形式的方很多平面图形能用复数形式的方程程(或不等式或不等式)来表示来表示;也可以由给定的复数形式的方程也可以由给定的复数形式的方程(或不等式或不等式)来确定它所表示的平面图形。来确定它所表示的平面图形。12/26/202210复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例1 1求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线:解解化简后得化简后得12/26/202211复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院1.乘积与商乘积与商定理一定理一 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.四、复数的乘幂与方根四、复数的乘幂与方根两复数相乘就是把模数相乘两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加辐角相加.从几何上看从几何上看,两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为注注 由于辐角的多值性由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值对于左端的任一值,右端必有值与它相对应右端必有值与它相对应.12/26/202212复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院定理二定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的模等于它们的模的商;两两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.2.幂与根幂与根 n次幂次幂:12/26/202213复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院棣莫佛公式棣莫佛公式推导过程如下推导过程如下:棣莫佛公式根据棣莫佛公式根据棣莫佛公式,12/26/202214复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院当当k以其他整数值代入时以其他整数值代入时,这些根又重复出现这些根又重复出现.从几何上看从几何上看,12/26/202215复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院例例1 1解解即即12/26/202216复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院1.2.1 复平面点集的几个基本概念复平面点集的几个基本概念定义定义1.1 邻域邻域:记作记作:或或N(z0)=z|z-z0|记作记作 N 0(z0)=z|0|z-z0|0:N(z0)E=z0z0为为E的外点的外点 0:N(z0)E=12/26/202218复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院定义定义1.3 内点、开集、边界点、边界、闭集内点、开集、边界点、边界、闭集:如果如果E内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点,那末那末E称为开集称为开集.如果在如果在z0的任意一个邻域内的任意一个邻域内,都有都有属于属于 E 的的点点,也有也有不属于不属于E的点的点,则称则称z0为为E的边界点。的边界点。z0为为E的内点的内点 0:N(z0)E点集点集E的全体边界组成的集合称为的全体边界组成的集合称为E的边界的边界.记为记为:E E若点集若点集E的每个聚点都属于的每个聚点都属于E,则称则称E为闭集；为闭集；任何集合任何集合E的闭包的闭包 一定是闭集一定是闭集.12/26/202219复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院定义定义1.4 有界集和无界集有界集和无界集:zxy有界！有界！o例例1 圆盘圆盘N(z0)=z|z-z0|0,0,z1,z2 E,当当|z1-z2|时时,有有|f(z1)-f(z2)|.定理1.71.7 设E是有界闭集，是有界闭集，f(z)C(E),则有：则有：（1）f(z)在在E上上有界有界：（2）|f(z)|在在E上有上有最大（小）值最大（小）值，即：即：（3）f(z)在在E上上一致连续一致连续，即，即例例2 2证证12/26/202248复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院4.复变函数的极限性质复变函数的极限性质定理定理1(Bolzano-Weiestrass聚点定理聚点定理)每一个每一个有界无穷点集至少有一个聚点。有界无穷点集至少有一个聚点。定理定理2(闭集套定理闭集套定理)定理定理3(Heine-Borel有限覆盖定理有限覆盖定理)12/26/202249复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院一、复球面一、复球面1.南极、北极的定义南极、北极的定义第四节第四节 复球面与无穷远点复球面与无穷远点2.复球面的定义复球面的定义 球面上的点球面上的点,除除去北极去北极 N 外外,与复平与复平面内的点之间存在着面内的点之间存在着一一对应的关系一一对应的关系.我我们可以用球面上的点们可以用球面上的点来表示复数来表示复数.xyONSzP(z)z12/26/202250复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为这样的球面称为复球面复球面.规定规定:复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与复平面上与复平面上的无穷远点相对应的无穷远点相对应,记作记作 .因而球面上的北极因而球面上的北极N就是复数无穷大就是复数无穷大 的几何表示的几何表示.以上对应可以用公式表示为：以上对应可以用公式表示为：12/26/202251复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院3.扩充复平面的定义扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,简称复平面简称复平面.复球面能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来复球面能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.对于复数对于复数 来说来说,实部实部,虚部虚部,辐角等概念均无辐角等概念均无意义意义,它的模规定为正无穷大它的模规定为正无穷大.4.无穷远点无穷远点关于无穷远点关于无穷远点,规定其实部、虚部、辐角无意义规定其实部、虚部、辐角无意义,模等于模等于:它和有限复数的基本运算为：它和有限复数的基本运算为：这些运算无意义这些运算无意义：12/26/202252复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院二二.扩充复平面上的几个概念扩充复平面上的几个概念1 无穷远点的邻域:无穷远点的去心邻域:注2 在扩充复平面上单连通区域:解例1注注 考虑一个无界区域是否为单连通考虑一个无界区域是否为单连通,应看在通常的复平面上应看在通常的复平面上还是扩充复平面上。还是扩充复平面上。12/26/202253复变函数复变函数华中科技大学数学与统计学院华中科技大学数学与统计学院3 广义极限与广义连续广义极限广义连续例2证明由于12/26/202254
