复变函数的极限与连续.ppt

1.3 复变函数的极限与连续复变函数的极限与连续一、复变复变函数函数二、复变函数的复变函数的极限极限三、复变函数的复变函数的连续性连续性1一、复变函数复变函数实变量实变量实变量实变量,为实变函数为实变函数为实变函数为实变函数,可用平面上的一条曲线可用平面上的一条曲线可用平面上的一条曲线可用平面上的一条曲线表示一个实变函数表示一个实变函数表示一个实变函数表示一个实变函数.的值的值的值的值一旦确定一旦确定一旦确定一旦确定,只有一个只有一个只有一个只有一个数和它对应数和它对应数和它对应数和它对应.高等数学中的实变函数高等数学中的实变函数高等数学中的实变函数高等数学中的实变函数,都是都是都是都是单单单单值函数值函数值函数值函数.复复复复变量变量变量变量,为为为为复复复复变函数变函数变函数变函数,的值一旦确定的值一旦确定的值一旦确定的值一旦确定,有一个有一个有一个有一个复复复复数数数数 或几个或几个或几个或几个复复复复数和它对应数和它对应数和它对应数和它对应.如果如果如果如果的一个值对应着的的一个值对应着的的一个值对应着的的一个值对应着的只有一个值只有一个值只有一个值只有一个值,则称则称则称则称为为为为单单单单值函数值函数值函数值函数.例如例如例如例如为为为为单单单单值函数值函数值函数值函数.如果如果如果如果的一个值对应着的的一个值对应着的的一个值对应着的的一个值对应着的有两个有两个有两个有两个则称则称则称则称为为为为多多多多值函数值函数值函数值函数.或两个以上的值或两个以上的值或两个以上的值或两个以上的值,例如例如例如例如为为为为多多多多值函数值函数值函数值函数.2一个一个复复变函数变函数一定对应着一定对应着两个两个因为因为所以所以二元实变函数二元实变函数例如例如此时此时映射、变换映射、变换 自变量自变量z 的值用的值用z平面上的点表示平面上的点表示因变量因变量w的值用的值用w平面上的点表示平面上的点表示复复变函数变函数将将z平面上的曲线平面上的曲线映射映射成成或或变换变换成成 w平面上的曲线平面上的曲线将将z平面上的平面上的区域区域 映射成映射成或变换成或变换成w平面上的平面上的区域区域3例例1.14 考察考察的映射性质的映射性质若若1)则则将将z平面上的平面上的映射映射成成w平面上的平面上的中心在原点的圆中心在原点的圆中心在原点的圆中心在原点的圆如果如果则则若若则则4将将将将z z平面上的平面上的平面上的平面上的映射映射映射映射成成成成 w w平面上的平面上的平面上的平面上的正虚轴正虚轴正虚轴正虚轴负实轴负实轴负实轴负实轴虚轴虚轴虚轴虚轴负实轴负实轴负实轴负实轴正实轴正实轴正实轴正实轴负虚轴负虚轴负虚轴负虚轴射线射线射线射线射线射线射线射线2)2)5将将将将z z平面上的平面上的平面上的平面上的映射映射映射映射成成成成w w平面上的平面上的平面上的平面上的双曲线双曲线双曲线双曲线直线直线直线直线例例例例1.141.14续续续续考察考察考察考察的映射性质的映射性质的映射性质的映射性质6将将将将z z平面上的平面上的平面上的平面上的映射映射映射映射成成成成w w平面上的平面上的平面上的平面上的直线直线直线直线证证证证抛物线抛物线抛物线抛物线例例例例1.141.14续续续续考察考察考察考察的映射性质的映射性质的映射性质的映射性质7例例例例2(1)2(1)映射映射映射映射把把把把z z平面上的曲线平面上的曲线平面上的曲线平面上的曲线映射成映射成映射成映射成w w平面上怎样的曲线？平面上怎样的曲线？平面上怎样的曲线？平面上怎样的曲线？解：解：中心在原点、中心在原点、半径为半径为的圆的圆8例例例例2 2(2)(2)函数函数函数函数把把把把z z平面上的平面上的平面上的平面上的直直直直线线线线映射成什么曲线映射成什么曲线映射成什么曲线映射成什么曲线解解则则消去消去得到得到消去过程为消去过程为代入代入化简得到上式化简得到上式中心在中心在中心在中心在半径为半径为半径为半径为的圆的圆的圆的圆 9例例2(3)函数函数把把z平面上的平面上的直直线线映射成映射成映射成映射成 怎样的曲线？怎样的曲线？怎样的曲线？怎样的曲线？解解把把映射成映射成映射成映射成把把映射成映射成映射成映射成把把映射成映射成映射成映射成10例例例例2 2续续续续 函数函数函数函数把把把把z z平面上的曲线平面上的曲线平面上的曲线平面上的曲线映射成怎样的曲线？映射成怎样的曲线？映射成怎样的曲线？映射成怎样的曲线？解：解：解：解：原方程变为原方程变为原方程变为原方程变为所以所以所以所以所以所以所以所以月牙形映射成月牙形映射成月牙形映射成月牙形映射成带形带形带形带形11二、复变函数的极限复变函数的极限一个一个一个一个复复复复变函数变函数变函数变函数一定对应着一定对应着一定对应着一定对应着两个两个两个两个因为因为因为因为所以所以所以所以二元实变函数二元实变函数二元实变函数二元实变函数如果当如果当如果当如果当时时时时,接近于常数接近于常数接近于常数接近于常数A,A,则称当则称当则称当则称当时时时时,的的的的极限极限极限极限为为为为A,A,记为记为记为记为定理一定理一定理一定理一 设设设设则则则则的充分必要条件是的充分必要条件是的充分必要条件是的充分必要条件是且且且且1.1.函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限动点动点动点动点z z位于位于位于位于z z0 0的的的的任何任何任何任何一个方向一个方向一个方向一个方向沿着沿着沿着沿着任何任何任何任何路径接近路径接近路径接近路径接近z z0 0动点动点动点动点(x,y)(x,y)位于位于位于位于(x(x0 0,y,y0 0)的的的的任何任何任何任何一个方向一个方向一个方向一个方向沿着沿着沿着沿着任何任何任何任何路径接近路径接近路径接近路径接近(x(x0 0,y,y0 0)12定义定义 如果当如果当时时,接近于接近于即即则称则称和和三、复变函数的连续性三、复变函数的连续性三、复变函数的连续性三、复变函数的连续性在在处连续处连续定理三定理三 函数函数 在在处处连续连续的充分必要条件是的充分必要条件是在在处处连续连续13在原点在原点在原点在原点1717页页页页2020题证明题证明题证明题证明证证证证在原点在原点在原点在原点没有确定没有确定没有确定没有确定在原点在原点在原点在原点设设设设是负实轴的一点是负实轴的一点是负实轴的一点是负实轴的一点时时时时时时时时不存在，不存在，不存在，不存在，在负实轴上的任何一点在负实轴上的任何一点在负实轴上的任何一点在负实轴上的任何一点都不连续都不连续都不连续都不连续在虚轴上连续在虚轴上连续在虚轴上连续在虚轴上连续 例如例如例如例如时时时时时时时时与负实轴与负实轴与负实轴与负实轴 不不不不连续连续连续连续的的的的函数值函数值函数值函数值不连续不连续不连续不连续14练习练习把把z平面上的平面上的直直线线1.函数函数映射映射成成w平面上平面上 怎样的曲线？怎样的曲线？解：解：解：解：则则消去消去得到得到152.2.映射映射映射映射把把把把z z平面上的曲线平面上的曲线平面上的曲线平面上的曲线映射映射映射映射成成成成w w平面上平面上平面上平面上解解解解代入代入代入代入得得得得映射将映射将映射将映射将映射映射映射映射成成成成w w平面上的直线平面上的直线平面上的直线平面上的直线映射将映射将映射将映射将映射映射映射映射成成成成w w平面上的直线平面上的直线平面上的直线平面上的直线怎样的曲线？怎样的曲线？怎样的曲线？怎样的曲线？代入代入代入代入得得得得16映射映射把把z平面上的区域平面上的区域映射映射成成w平面上的区域平面上的区域且且证明证明代入代入得得代入代入得得练习练习证明证明17