多元复合函数和隐函数的求导法则.ppt

8.3 8.3 多元复合函数多元复合函数和隐函数和隐函数一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则二、隐函数求导法则二、隐函数求导法则的求导法则的求导法则一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则一元复合函数求导法则微分法则定理定理.若处具有连续的偏导数，在点t可导,则复合函数且有链式法则1.复合函数的中间变量为一元函数的情形(1)函数(2)证证:设t取增量t,则相应中间变量有增量u,v,(全导数公式全导数公式 )(t0 时,根式前加“”号)推广推广:中间变量多于两个的情形.例如,在相似条件下，2.复合函数的中间变量为多元函数的情形定理定理.若处具有连续的偏导数，在点(x,y)的两个 则复合函数(1)函数(2)都在点(x,y)具有对x及y的偏导数；偏导数都存在，且有链式法则推广：在相似条件下，有口诀口诀 :分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导3.复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数定理定理.若处具有连续的偏导数，在点(x,y)的两个 则复合函数(1)函数(2)在点(x,y)具有对x及偏导数都存在，且有链式法则y的偏导数；在点y可导，两者的区别两者的区别区区别别类类似似对于例例1.设设解解:例例2.解解:例例3.设 求全导数解解:注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.例例4.设 f 具有二阶连续偏导数,求 步骤：步骤：1.必须设中间变量；令则2.简化偏导数记号；以分别表示f(u,v)对第一个，第二个中间变量的偏导数，以表示f(u,v)先对第一个再对第二个中间变量的二阶导数；例例4.设 f 具有二阶连续偏导数,求 步骤：步骤：3.求等二阶偏导数时，仍看作是x，y的函数，求再高阶偏导时，以此类推。为简便起见,引入记号例例4.设 f 具有二阶连续偏导数,求解解:令则设函数的全微分为可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,则复合函数都可微,其全微分表达 形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.4.全微分形式的不变性例例1.例例 5.利用全微分形式不变性再解例1.解解:所以二、隐函数求导公式二、隐函数求导公式定理定理1.1.设函数则方程单值连续函数 y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足满足条件导数两边对 x 求导在的某邻域内则若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:则还可求隐函数的 例例6 6.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解解:令连续;由定理可知,导的隐函数 则在 x=0 的某邻域内方程存在单值可且并求两边对 x 求导两边再对 x 求导令x=0,注意此时导数的另一求法导数的另一求法 方程两边对x求导也可利用全微分求解也可利用全微分求解定理定理2 2.若函数 的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足 在点满足:某一邻域内可唯一确两边对 x 求偏导同样可得则例例7.设解法解法1 1 方程两边对x求导再对 x 求导解法解法2 2 利用公式设则两边对 x 求偏导也可利用全微分求解也可利用全微分求解总结方法：总结方法：1.求隐函数的导数或偏导数，有哪些方法：答:通常有三种方法(1)利用隐函数求导公式；(2)对所给方程两端求导,再解出所求的导数或偏导数；(3)利用全微分.