大学高数第三节函数极限的性质与运算.ppt

1.3 函数极限的性质与运算函数极限的性质与运算定理定理1.9(唯一性唯一性)极限的性质极限的性质若若 存在存在,则极限值是唯一的则极限值是唯一的.定理定理1.10 (局部有界性局部有界性)若若 存在存在,则则 在在 x0的某个空心邻域的某个空心邻域内有界内有界.定理定理1.11 (局部保号性局部保号性)与与 A 同号同号.1.设设 且且1.3.2 极限的运算法则极限的运算法则定理定理1.12 (极限四则运算法则极限四则运算法则)则有则有 设设 推论推论1 如果如果即即:常数因子常数因子可以提到极限记号外面可以提到极限记号外面.推论推论2 如果如果推论推论1.2 (局部保序性局部保序性)则则在在 x0的某个空心邻域内有的某个空心邻域内有2.若若在在 x0的某个空心邻域内有的某个空心邻域内有则则则则有有利用极限的运算法则和上节的两个结果利用极限的运算法则和上节的两个结果我们可以求解一些简单的极限问题我们可以求解一些简单的极限问题：对于的多项式函数对于的多项式函数例例1 一般地一般地,设设 则商的法则不能使用则商的法则不能使用.则当则当例例2 求求 消去零因子法消去零因子法例例3 例例4 分子、分母同时除以分子、分母同时除以 x 的最高次幂的最高次幂.一般地一般地,当当例例5 求求 定理定理1.13 (复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则)设设且存在且存在推论推论 若若例例则则则则复合复合函数函数时的极限也存在时的极限也存在,且且例例6 6 求求 如果数列如果数列 收敛于收敛于A,则它的任意子数列则它的任意子数列推论推论1.3 (收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系)也收敛于也收敛于A.如果如果推论推论1.4 (函数极限与数列极限之间的关系函数极限与数列极限之间的关系)则对任意满足则对任意满足 用此结论同样可以证明函数极限不存在用此结论同样可以证明函数极限不存在.且且 的数列的数列 有有 解解原式原式答案答案原式原式(2)求求(1)求求 解解原式原式(3)求求(4)试确定常数试确定常数 a,使使解解 令令则则即即