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第三章第三章 复数复数311数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念解决实际问题的需要解决实际问题的需要由于计数的需要产生了自然数；为了表示具由于计数的需要产生了自然数；为了表示具有相反意义的量的需要产生了整数；由于测量的有相反意义的量的需要产生了整数；由于测量的需要产生了有理数；由于表示量与量的比值（如需要产生了有理数；由于表示量与量的比值（如正方形对角线的长度与边长的比值）的需要产生正方形对角线的长度与边长的比值）的需要产生了无理数（既无限不循环小数）。了无理数（既无限不循环小数）。解方程的需要。解方程的需要。为了使方程为了使方程x+5=3 有解，就引进了负数；有解，就引进了负数；为了使方程为了使方程3x=5 有解，就要引进分数；为了有解，就要引进分数；为了使方程使方程x2=2 有解，就要引进无理数。有解，就要引进无理数。引进无理数后，我们已经能使方程引进无理数后，我们已经能使方程x2=a(a0)永远有解，但是，这并没有彻底解决问题，当永远有解，但是，这并没有彻底解决问题，当a0 时，方程时，方程 x2=a 在实数范围内无解。在实数范围内无解。为了使方程为了使方程 有解，就必须把实数概念进一步扩有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数。大，这就必须引进新的数。问题问题1:解方程解方程 x -1所以方程所以方程 x=-1 的解为的解为 x=i i 或或 x=-i i 引入一个数引入一个数i，使得该数的平方等于，使得该数的平方等于1 二、实数集的进一步扩充二、实数集的进一步扩充 数集的第四次扩充数集的第四次扩充（R?R?）即即i2=-1问题问题2:解方程解方程 x=-2 所以所以 x -2 的解为的解为 x=，x=-引入虚数单位引入虚数单位 i i 后进一步规定：后进一步规定：i i 可以与实数可以与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、减、乘运算律仍成立。减、乘运算律仍成立。二、实数集的进一步扩展二、实数集的进一步扩展 数集的第四次扩展数集的第四次扩展（R?R?）问题问题3 解方程解方程 (x+1)=-2 x=-1+,x=-1-(1)对于复数对于复数 z=a+bi(a、b R）(2)i 称为虚数单位称为虚数单位 a 叫做复数叫做复数 z的的实部实部，记作，记作Re z,即即 a=Re z b 叫做复数叫做复数 z的的虚部虚部，记作，记作Imz,即即 b=Im z(2)对于复数对于复数 z=a+bi (a、b R）当当b=0时，时，z=a 是是实数实数 当当b 0时，时，z=a+bi不是实数，称为不是实数，称为虚数虚数 当当b 0且且a=0时，时，z=bi,称为称为纯虚数纯虚数定义定义:形如形如a+bi(a、b R）的数）的数 z 称为复数称为复数二、实数集的进一步扩展二、实数集的进一步扩展二、复数的分类二、复数的分类 实数（虚部为实数（虚部为0且且b=0）复数复数 纯虚数纯虚数 虚数（虚部不为虚数（虚部不为0即即b 0）非纯虚数非纯虚数实数实数复数复数虚数虚数纯虚数纯虚数三、复数的有关性质三、复数的有关性质例例1练习练习例例2 实数实数:m为何值时为何值时Z=(m2-8m+15)+(m2-5m+6)i为为(1)实数实数 (2)虚数虚数 (3)纯虚数纯虚数i练习：练习：三、回顾与小结三、回顾与小结正整数正整数零零负整数负整数实数实数b=0整数整数 分数分数复数复数z=a+bi（a、b R）虚数虚数b 0纯虚数纯虚数 （a=0）非纯虚数（非纯虚数（a 0）有理数有理数无理数无理数