高中数学选修系列教材分析——导数及其应用.ppt

选修 22 第1章（24课时）选修 11 第3章 （16课时）引言：“导导数数”是是“微微积积分分”的的重重要要内内容容之之一一，也也是是高高中中数数学学的的传传统统内内容容之之一一，是是进进一一步步学学习习数数学学和和其其他他自自然然学学科科的的基基础础，是是研研究究现现代代科科学学技技术术必必不不可可少少的的工工具具。与与以以往往的的大大纲纲相相比比，在在教教学学内内容容、教教学学要要求求上上都都有有很很大大的的变变化化。本本文文将将结结合合标标准准和和普普通通高高中中课课程程标标准准实实验验教教科科书书数数学学选选修修2 22 2中中对对这这一一内内容容与与要要求求的的变变化化进进行行简简要要的的分分析析，并并对对教教学学中中应应该该注注意意的的问问题题谈谈一一些些设设想想和和建议，供大家参考。建议，供大家参考。一、本章结构导数定积分实际背景微积分基本定理及应用 定 积 分 的 概 念 导 数 的 应 用 导 数 的 运 算 导 数 的 概 念明确教学内容和教学要求的新变化11 教学内容的变化教学内容的变化标准与大纲的内容相比，删去了极限；微分的概念与运算；不定积分的概念与运算；定积分在求旋转体体积中的应用等内容。11 教学内容的变化教学内容的变化标准与大纲的内容相比，删去了极限；微分的概念与运算；不定积分的概念与运算；定积分在求旋转体体积中的应用等内容。11 教学内容的变化教学内容的变化标准与大纲的内容相比，删去了极限；微分的概念与运算；不定积分的概念与运算；定积分在求旋转体体积中的应用等内容。11 教学内容的变化标准与大纲的内容相比，删去了极限；微分的概念与运算；不定积分的概念与运算；定积分在求旋转体体积中的应用等内容。12 教学要求上的变化标准中“选修22”与大纲中“选修”相比，教学要求上的变化请见下面简表：内容内容知识点知识点选修选修22的要求的要求选修选修的教学目标的教学目标变化分析变化分析导导数数的的概概念念及及其其几几何意义何意义概念概念经经历历过过程程，了了解解实实际际背背景景，知知道道瞬瞬时时变变化化率率就就是是导导数数，体体会会思思想想及及内内涵。涵。了了解解实实际际背背景景，掌掌握握定定义义，理理解解导导函函数数的的概念。概念。注注重重从从过过程程中中体体会会、理理解解；弱弱化化了形式化的定义了形式化的定义几何意义几何意义直观理解几何意义直观理解几何意义掌握几何意义掌握几何意义注重直观理解。注重直观理解。导导数数的的运运算算导数公式导数公式运算法则运算法则能能利利用用公公式式及及法法则则求求简简单函数的导数。单函数的导数。熟熟记记公公式式，掌掌握握法法则则，会求函数的导数会求函数的导数要求有所降低。要求有所降低。复合函数的导数复合函数的导数仅仅限限于于求求形形如如f(ax+b)的的导数。导数。掌掌握握复复合合函函数数求求导导法法则，会求函数导数。则，会求函数导数。要求明显降低。要求明显降低。导导数数的的应应用用与函数单调性的关系与函数单调性的关系借借助助几几何何直直观观了了解解关关系系；会会求求不不超超过过三三次次的的多多项项式函数的单调区间。式函数的单调区间。会会从从几几何何直直观观了了解解关关系。系。对对导导数数在在研研究究函函数数中中的的应应用用，以以及及在在解解决决实实际际问问题题中中的的应应用用要要求求具具体体，而而且且要要求求很高。很高。函数的极值与最值函数的极值与最值了了解解取取得得极极值值的的条条件件；会会求求不不超超过过三三次次的的多多项项式函数的极值与最值。式函数的极值与最值。了解取得极值的条件。了解取得极值的条件。实际运用实际运用会会求求生生活活中中利利润润、用用料料、效率最高等优化问题。效率最高等优化问题。会会求求实实际际问问题题的的最最大大值、最小值。值、最小值。定定积积分分与与微微积积分分基基本定理本定理定积分的概念定积分的概念了了解解实实际际背背景景；体体会会基基本思想；初步了解概念。本思想；初步了解概念。了了解解实实际际背背景景；了了解解定义及几何意义。定义及几何意义。重重视视从从过过程程中中体体会会、了了解解概概念念；对对应应用用的的要要求求略略有降低。有降低。定积分的应用定积分的应用会会求求曲曲边边梯梯形形等等简简单单平平面面图图形形的的面面积积和和变变力力做做功等简单的物理问题。功等简单的物理问题。会会求求平平面面图图形形面面积积、旋旋转转体体体体积积，及及变变力力做功等物理问题。做功等物理问题。微积分基本定理微积分基本定理直观了解其含义。直观了解其含义。了解、会用定理。了解、会用定理。要求明显降低要求明显降低二、本章的价值与定位1、促进学生全面认识数学的应用价值、科学价值 和文化价值 2、使学生对变量数学的思想方法有新的感受 如果说，“数”是用来描述静态事物的，“函数”是对运动变化的动态事物的描述，体现了变量数学在研究客观世界中的重要作用那么，可以说，导数就是对事物变化快慢的一种描述，并由此可进一步处理和解决极大极小、最大最小等实际问题，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具。从中体验研究和处理不同对象所用的不同数学概念和相关理论，以及变量数学的力量教育价值3、发展高中学生的思维能力 从进入高二阶段学习的学生的认知水平来看，他们已开始摆脱具体事物的形式，进入具有形式逻辑的一般化理性思维阶段，并开始向更高级的思维辩证思维形式发展，但是他们对于运动辩证、对立统一的认识是非常朦胧的而微积分中蕴涵着丰富的运动辩证、对立统一的思想方法，如：把跳水运动员的瞬时速度看作是平均速度无限小变化的结果，它出发于对过程无限小变化的考察，而这种考察总是与过程的某一特定的、有限的、暂时的结果（平均速度）有关，它体现了“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并使之确定起来”（恩格斯）的一种运动辩证、对立统一的思想学生经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的学习过程，从中感受、体验导数的思想，一种运动辩证、对立统一的思想因此，“导数及其应用”的学习必将对发展学生的辩证思维能力，进而发展学生的思维能力起到积极的作用4、为学生进一步学习微积分打好基础 从以往学生学习微积分的情况来看，学生最困难处有二：一是对极限过程中潜无穷与实无穷这一辩证统一关系的认识和理解问题；二是对形式化定义本质的认识，即为什么用静态的量的关系可以描述动态的极限过程按照标准对导数内容的处理方法，学生在结合实例，经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程中，可以使学生对极限过程中潜无穷（平均速度的变化过程）与实无穷（平均速度的变化结果）这一辩证统一的关系，通过导数的学习有一种感性的认识，从而为以后进一步上升到理性的认识，以及给出极限的形式化定义作一定的铺垫 微积分的内容在我国的中学教材中几进几出，分析其原因，除了高考导向的影响外，主要是定位不当主要问题大致有：（1）作为大学微积分内容的一种缩编，简单下放（2）先讲极限概念，把导数作为一种特殊极限来讲，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍，严重影响了对导数思想和本质的认识和理解（3）无论是导数概念，还是导数的应用，更多的是作为一种规则来教、来学，影响了对导数思想和本质的认识和理解 基本定位 1、强调对数学本质的认识，对导数本质的认识，不仅作为一种规则，更作为一种重要的思想、方法来学习2、全面体现数学的价值，包括应用价值：了解导数是研究事物变化快慢、研究函数单调性、极大(小)值、最大(小)值和解决生活中优化问题的有力工具导数的广泛应用性；体会微积分的科学价值和文化价值：人类文明与科技、社会的发展对微积分创立的促进作用，以及微积分的创立在人类科学文化发展中的意义和价值3、体现数学的教育价值 要体现新一轮课程改革的理念知识与技能、过程与方法、情感态度价值观的有机整合，具体到数学课程来说，就是要充分体现数学的价值和数学在利用数学的特点育人方面、在推动社会发展方面的价值三、本章内容展开的特点1、突出导数概念的本质 不讲极限概念，不是把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是直接通过实际背景和具体应用实例速度、膨胀率、效率、增长率等反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，感受学习瞬时变化率的必要性，认识和理解导数概念；加强对导数几何意义的认识和理解 体现“标准”让学生在经历过程中感受数学的思想，认识数学的本质，主动参与教学活动的基本理念 2、强调导数在研究事物的变化率、变化的快慢，研究函数的基本性质和优化问题中的应用，并通过与初等方法比较，感受和体会导数在处理上述问题中的一般性和有效性3、淡化计算 处理导数的计算时，首先对几个常见的函数，用导数定义求出它们的导数，然后直接给出其它基本初等函数的导数以及导数的运算法则，只要求学生会用基本初等函数的导数以及导数的运算法则来计算导数，要避免过量的形式化运算练习与选修系列1-1相比，选修系列2-2对运算的要求略有提高，如增加了求简单复合函数（仅限于形如f(ax+b)）的导数4、反复通过图形去认识和感受导数的几何意义，以及用导数的几何意义去解决问题，通过图形去认识和感受导数在研究函数性质中的作用从而加深对导数本质的认识和理解，体现数学中几何直观这一重要数学思想方法对于数学学习的意义和作用。5、关注算法思想的渗透，以及与信息技术的整合 本章共安排了1个“思考”、11个“探究”、2个“观察”、个“探究与发现”，还有2个“信息技术应用”和1个“实习作业”。充分体现了引导学生思维，真正研究数学的设计理念。实际背景平均变化率瞬时变化率导数四、教材分析与教学建议教材展开的线索高度关注导数概念的形成过程 世界充满着变化，有些变化几乎不被人们所察觉，而有些变化却让人们发出感叹与惊呼 某市2004年4月20日最高气温为33.4，而4月19日和4月18日最高气温分别为24.4和18.6，短短两天时间，气温陡增14.8，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！但是，如果我们将该市2004年3月18日最高气温3.5与4月18日最高气温18.6进行比较，我们发现两者温差为 15.1，甚至超过了14.8而人们却不会发出上述感叹这是什么原因呢？原来前者变化得太快，而后者变化得缓慢 用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢？这样的数学模型有哪些应用？t/d2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)OC(34,33.4)T/210 在本章引言的案例中，“气温陡增”的数学意义是什么呢？为了弄清这个问题，我们先来观察下面的气温曲线图（以3月18日作为第一天）.平均变化率平均变化率容易看出B，C之间的曲线较 A，B之间的曲线更加“陡峭”陡峭的程度反映了气温变化的快与慢 如何量化陡峭程度呢？例1 婴儿从出生到第24个月的体重变化(如图)，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率7.522.528.51224t(月月)W(kg)(kg)图图4-1-2甲甲乙乙图图4-1-3例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙(如图)，t秒钟后容器甲中水的体积为 V(t)=5e0.1t(单 位 cm3)，计算第一个10 秒内V 的平均变化率 例3 已知函数f(x)=x2，分别计算函数f(x)在区间1,3,1,2,1,1.1,1,1.001上的平均变化率 例4 已知函数 f(x)=2x+1，g(x)=2x，分别计算在区间3，1，0，5上函数 f(x)及g(x)的平均变化率思考思考 从例从例4的求解中，你能发现一次函数的求解中，你能发现一次函数ykxb在区间在区间 m,n 上的平均变化率有什么特点吗？上的平均变化率有什么特点吗？如何刻画变化的“快”与慢”？直观描述曲线的“陡峭”程度不同如何刻画“陡峭”程度数学对象：斜率平均变化率(1)从几何直观分析 切线斜率问题的讨论是将背景从数学外部移向数学内部 1.1.2 瞬时变化率瞬时变化率导数导数 如何精确地刻画曲线上一点处的变化趋势呢？P放大放大再放大再放大PP 如果将点 P 附近的曲线放大后进行观察我们发现，曲线在点 P 附近看上去有点像是直线 如果将点P附近的图形放大再放大，我们发现，曲线在点P附近的曲线看上去几乎成了直线事实上，如果继续放大，可以发现点P附近的曲线将接近（逼近）一条确定的直线 l，该直线 l 是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线1 1曲线上一点处的切线 因此，在点P附近我们可以用这条直线l来代替曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线，即在很小范围内以直代曲P放大放大再放大再放大PPP放大放大再放大再放大PP 既然点P附近的曲线被看作直线l，从而可用直线l的斜率刻画曲线经过点P时上升或下降的“变化趋势”一段上的变化率一点处的变化率P放大放大再放大再放大PP微积分的基本思想：以直代曲寻找这样的直线：yOxL1L2P探探探探 究究究究如图所示，直线l1，l2为经过曲线上一点P的两条直线（1）试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线；（2）在点P附近能作出一条比l1，l2更加逼近曲线的直 线l3吗？（3）在点P附近能作出一条比l1，l2，l3更加逼近曲线的 直线l4吗？割线切线怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线l 呢？如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，这时直线PQ称为曲线的割线随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线 利用这种合割线逼近切线的方法，我们来计算曲线上一点处切线的斜率yxOy=f(x)xxx+xPQf(x+x)f(x)切线割线 例1 已知f(x)=x2，求f(x)在x=2处的切线斜率割线斜率切线斜率逼近(极限思想)割线斜率逼近切线斜率是“以直代曲”的一种数量化 (2)用物理模型说明瞬时速度平均速度瞬时速度逼近(极限思想)瞬时速度的引入又将背景从数学内部移向数学外部由平均速度逼近瞬时速度的思想是理解瞬时速度的关键教学中应侧重对逼近思想的感悟，不要急于给出结论 现代信息技术用于数学探索(3)一般化：导数函数在某一点处的瞬时变化率导数定义几何解释 引入瞬时速度之后，应及时将割线斜率逼近切线斜率的思想方法与平均速度逼近瞬时速度的思想方法加以比较，找出它们的共同点，从而为导数的形式化定义作铺垫 重视过程 提出问题的过程；解决问题的过程；概念的形成过程揭示本质 没有极限概念的情况下讲导数；几何直观；有限对无限的逼近；借助已有经验；现代技术的合理运用本质：瞬时变化率导数教学中的三点注意导函数的概念特殊化：x=1、x=2、处的导数x=a处的导数导数是x的函数导函数 导数概念的建立基于“无限逼近”的过程中，这与初等数学所涉及的思想方法有本质的不同为此，教学中应做到：第一，根据学生的生活经验，通过实际背景，创设丰富的情境例如，比较变化的快与慢，只考虑y行不行？教学中不要直接灌输，应启发学生讨论、探索、感悟和体会，并由学生自己举例说明 第二，“局部以直代曲”归根到底是个哲学问题要引导学生用心体会无限逼近与“量变到质变”、“近似与精确”的哲学原理，不要急于给出形式化的定义应努力追求水到渠成的教学方式教材不用极限理论，主要也是担心过多的极限知识可能会冲淡甚至干扰对导数本质的理解 本章只要求学生根据定义求简单的函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=,y=的导数，然后直接给出其他基本初等函数的导数以及导数的运算法则注重求导运算中形式化训练的规范要求掌握导数的运算 在导数概念建立之后，要认真引导学生用定义推导几个初等函数的导数公式，要注重形式化训练中的规范要求，进而体会数学理论的自身特点及巨大价值所在，并从中领悟算法的基本思想(1)定义法 (流程图)(2)给出一些特殊函数的导数，建立导数运算的法则（求导公式）(3)函数的和、差、积、商的求导法则(4)与一次函数复合的函数的导函数公式若 y=f(x)，u=a x+b，则 y x=y u ux，即 y x=y u a在研究函数性质时的应用通过初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律p24“思考”的目的是通过实例告诉学生，由导数的正负，可以判断函数的单调性，但不能将条件与结论对调，对此不必深究 函数的极值应紧密联系单调性引入，强调极值是函数的局部性质，是函数在某点处的值与其附近“左、右”函数值的比较的结果 求f(x)在a,b上最值的两个步骤应由学生活动产生教学中可引导学生思考，把闭区间a,b改变为开区间(a,b)后，结果会有什么变化？重视导数的应用生活中的优化问题举例1导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大（小）值问题，一般应先建立目标函数，建立好目标函数后，则问题转化为上一节的内容，解题中应注意实际意义2通过实际问题的研究，感受导数在解决实际问题中的应用，增强数学应用意识，进一步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值 促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高微积分的两个基本问题曲边梯形面积定积分一般化一般化微积分基本定理借助几何直观体会定积分的基本思想和内涵教材展开的线索从微积分的两个基本问题出发，提出课题 从特例情形(曲线为直线、折线)引入一般性问题：如果曲线不是直线也不是折线，你们如何求曲线下方的“曲边梯形”的面积呢？(1)提出问题及呈现方式 微 积分在几何上有两个基本问题，第一个是如何确定曲线上一点处切线的斜率，第二个是如何求曲线下方“曲边梯形”的面积(2)用以曲线代直的方法求曲边图形的面积算法思想极限思想具体操作步骤分割以直代曲（近似代替）作和逼近（取极限）1一般定积分的概念中，不要求等分区间a，b这 一点必须向学生讲解重点是借助几何直观体会定 积分的基本思想2引入定积分记号后，应结合前面问题的背景，运用 符号表示背景中的问题3一般定积分的几何意义中涉及“面积的代数和”，教学中应借助图形让学生感受并理解 (1)提出问题 按“分割、以直代曲、作和、逼近”求积分 繁琐繁琐 规律？在在定定积积分分计计算算中中，如如果果每每次次均均要要进进行行“分分割割、以以直直代代曲曲、作作和和、逼逼近近”的的操操作作是是不不现现实实的的，由由此此引出微积分基本定理引出微积分基本定理 直观了解微积分基本定理的含义(2)呈现方式 给出结论特例验证推导阅 读五、几点说明1、本章重点(1)导数的概念的形成过程导数的概念的形成过程(2)导数的运算导数的运算(3)导数的应用导数的应用(4)定积分及其应用定积分及其应用2、难点突破(1)导数的概念 直观、已有经验和扩展经验(3)直接给出，特例验证(2)从特殊到一般增量的观点：函数的变化率、直线的斜率等3数形结合思想 本章中无论是微分还是定积分，都十分重视数形结合通过几何直观去认识和感受导数与定积分，简化严格的推导过程，体会“无形不直观，无数不入微”的辨证思想这既减少了学生学习的困难，又有利于真正理解导数与定积分的本质，也体现出数形结合这一重要数学思想方法对数学学习的意义和作用4、数学知识、数学研究的一般结构导数定义法运算法则特殊函数的导数导数的运算运算法则特殊函数的定积分积分定义法微分与积分的关系定积分的运算(1)模式化数学的本质(观点之一)(2)模式化的方法导数抽象概括积分运用微分思想作一般性的建构(先分后“积”)模式化建构数学对象模式化建构算法程序5、文科内容与理科内容的区别1、没有复合函数的导数2、没有积分 这这部部分分内内容容分分别别在在选选修修系系列列1-11-1和和选选修修系系列列2-22-2中中学学习习其其中中，对对导导数数概概念念的的认认识识、导导数数在在研研究究函函数数性性质质中中的的应应用用，以以及及生生活活中中的的优优化化问问题题举举例例等等内内容容的的学学习习和和教教学学要要求求是是一一样样的的 选选修修系系列列2-2比比选选修修系系列列1-1增增加加的的地地方方：（1）关关于于导导数数的的运运算算中中，常常见见函函数数的的导导数数增增加加了了求求两两个个函函数数的的导导数数；增增加加了了求求简简单单复复合合函函数数导导数数（一一般般仅仅限限于于一一重重复复合合）（2）增增加加了了定定积积分分概概念念和和微微积积分分基基本本定定理理此此外外，对对运运算算的的要要求求略略有有提提高高理理由是考虑到理科对数学的实际要求要多、也高由是考虑到理科对数学的实际要求要多、也高学之道在于学之道在于“悟悟”教之道在于教之道在于“度度”