人教版陕西省周至县高中数学 第一章 推理与证明 1.4 数学归纳法课件2 北师大选修22.ppt

1.4数学归纳法 2021/8/9 星期一1第一阶段:输入阶段创设问题情境，启动学生思维 不完全归纳法和完全归纳法对比引例 有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案大徒弟费了很大劲将花有粉衣包着，看谁先给出答案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生显然，二徒弟比大徒弟聪明仁的，总共不过一把花生显然，二徒弟比大徒弟聪明 这则故事对我们有什么重要启示？这则故事对我们有什么重要启示？事物都是一分为二的，我们应该辩证地看问题，要事物都是一分为二的，我们应该辩证地看问题，要学会灵活使用不完全归纳法。学会灵活使用不完全归纳法。2021/8/9 星期一2第一阶段:输入阶段回顾数学旧知，追溯归纳意识 这是不完全归纳法 这是完全归纳法 已知数列已知数列 前四项分别是前四项分别是 ,写出该数列的一个通项公式写出该数列的一个通项公式 利用判别式总结直线和椭圆位置关系时需要分哪几利用判别式总结直线和椭圆位置关系时需要分哪几种情况进行讨论？种情况进行讨论？需要分需要分 和和 三种情况进行讨论。三种情况进行讨论。2021/8/9 星期一3第一阶段:输入阶段借助数学史料,促使学生思辨 问题问题1 1 已知已知 ，(nN(nN*)。(1)(1)分别求分别求 ,.,.(2)(2)由此你能得到一个什么结论由此你能得到一个什么结论?这个结论正确吗这个结论正确吗?问题问题2 ,2 ,当当n nN N时，是否都为质数？时，是否都为质数？验证：验证：f f（0 0）4141，f f（1 1）4343，f f（2 2）4747，f f（3 3）5353，f f（4 4）6161，f f（5 5）7171，f f（6 6）8383，f f（7 7）9797，f f（8 8）113113，f f（9 9）131131，f f（1010）151151，f f（3939）1 6011 601 但是但是 f f（4040）1 6811 681 ，是合数，是合数 2021/8/9 星期一4第二阶段:新旧知识相互作用阶段搜索生活实例，激发学习兴趣 多米诺骨牌游戏成功的关键有两点：多米诺骨牌游戏成功的关键有两点：(1)(1)第一张牌被推倒；第一张牌被推倒；(2)(2)假如某一张牌倒下假如某一张牌倒下,则它的后一张牌必定倒下于是则它的后一张牌必定倒下于是,我们可以下结论：我们可以下结论：多米诺骨牌会全部倒下多米诺骨牌会全部倒下 搜索：搜索：再举几则生活事例：车棚里整齐排放的自行车被推倒再举几则生活事例：车棚里整齐排放的自行车被推倒,烽火台传递信息，早操排队对齐等烽火台传递信息，早操排队对齐等 2021/8/9 星期一5第二阶段:新旧知识相互作用阶段探究数学问题，领悟方法真谛探究数学问题，领悟方法真谛问题探究：不等式 对于哪些正整数n都成立？证明你的结论。（1 1）结论的发现：结论的发现：当当 时，原不等式成立。时，原不等式成立。（2 2）尝试证明：尝试证明：结论的发现要通过大量的实验，如何改进刚结论的发现要通过大量的实验，如何改进刚才无穷无尽的实验方法？比如才无穷无尽的实验方法？比如n=4n=4时的情况。时的情况。已知已知n=3时，不等式成立，即时，不等式成立，即 ,能否由此出发来证明不等式当能否由此出发来证明不等式当n=4时也成立即时也成立即 。等价于问题：已知。等价于问题：已知 ，求证：，求证：（不用直接计算）不用直接计算）2021/8/9 星期一6第二阶段:新旧知识相互作用阶段探究数学问题，领悟方法真谛探究数学问题，领悟方法真谛 现在已知现在已知n=4n=4时，不等式成立，以此出发来证明时，不等式成立，以此出发来证明当当n=5n=5时，不等式也成立。即已知时，不等式也成立。即已知 ，求证：求证：可以仿照刚才的证明那样，只要把可以仿照刚才的证明那样，只要把3 3改成改成4 4，把，把4 4改改成成5 5就可以了。就可以了。刚才的刚才的证明与实验的不同之处证明与实验的不同之处是什么？是什么？2021/8/9 星期一7第二阶段:新旧知识相互作用阶段探究数学问题，领悟方法真谛探究数学问题，领悟方法真谛不同之处是：试验一次与另一次的均不同，要做无穷多次，永远做不完。而现在做的，虽然也要做无穷多次，但都是类似的，本质上是相同的。做一次可以顶很多次了。那么能否把刚才的问题一般化？已知 ，求证：证明这个命题的意义是什么？体现了什么数学思想？证明这个命题的意义是什么？体现了什么数学思想？意义在于将无穷多次重复的实验浓缩为一个具体步骤，体现了意义在于将无穷多次重复的实验浓缩为一个具体步骤，体现了递推思想。递推思想。2021/8/9 星期一8第二阶段:新旧知识相互作用阶段探究数学问题，领悟方法真谛探究数学问题，领悟方法真谛思考与交流思考与交流1 1：能否把刚才的思维过程能否把刚才的思维过程用关键性的几个用关键性的几个步骤表示出来？步骤表示出来？（1）验证当n=3时原不等式成立；（2）假设当 时不等式成立，即 。则当n=k+1时 所以根据（1），（2）不等式 对任何 都成立。2021/8/9 星期一9第二阶段:新旧知识相互作用阶段引导学生概括，形成科学方法引导学生概括，形成科学方法 通过刚才问题的探讨，相信给大家留下了深刻的印象，请同通过刚才问题的探讨，相信给大家留下了深刻的印象，请同学们类比刚才不等式问题的证明总结概括一下如何证明一个与正学们类比刚才不等式问题的证明总结概括一下如何证明一个与正整数整数n有关的数学命题？它有哪几个关键步骤？有关的数学命题？它有哪几个关键步骤？证明一个与正整数n有关的数学命题的关键步骤如下：（1）证明当n取第一个值 时命题成立；（2）假设当 时命题正确，证明当n=k+1 时命题也正确。完成这两个步骤后，就可以断定命题对从 开始的所有正整数n都正确。这种证明与正整数这种证明与正整数n n有关的命题的方法叫有关的命题的方法叫数学归纳法数学归纳法。2021/8/9 星期一10第三阶段:操作阶段方法初步应用，培养反思意识 例例1 1 证明：首项为证明：首项为 ，公差为，公差为d d的等差数列的等差数列 的前的前n n项和公式为项和公式为 证明：证明：（1 1）当）当n=1n=1时，时，命题显然成立；，命题显然成立；（2 2）假设当）假设当n=kn=k时命题成立，即时命题成立，即 则当则当n=k+1n=k+1时，时，由（由（1 1），（），（2 2）可知，对于任意的正整数）可知，对于任意的正整数n n有有2021/8/9 星期一11第三阶段:操作阶段方法初步应用，培养反思意识 思考与交流思考与交流2：有同学第二步采用下面的证法：假设n=k时命题成立，即 则当n=k+1时，因为 所以即当n=k+1时命题也成立。你认为这样证明正确吗？为什么？这样证明这样证明不正确不正确，因为在第二步，因为在第二步没有使用归纳假设没有使用归纳假设，所以不是数学归纳法的证明。所以不是数学归纳法的证明。2021/8/9 星期一12第四阶段:总结巩固阶段师生共同小结，完成概括提升本节课学习的主要内容是什么？什么叫归纳法？它分为哪几种类本节课学习的主要内容是什么？什么叫归纳法？它分为哪几种类型？各有什么特点？数学归纳法的基本原理是什么？使用要点是型？各有什么特点？数学归纳法的基本原理是什么？使用要点是什么？本节课主要涉及到哪些数学思想方法？什么？本节课主要涉及到哪些数学思想方法？2 2、归纳法是一种、归纳法是一种由特殊到一般由特殊到一般的推理方法，它可以分为的推理方法，它可以分为完全归纳完全归纳法和不完全归纳法法和不完全归纳法；完全归纳法完全归纳法只局限于只局限于有限个元素有限个元素，而，而不完全归不完全归纳法纳法得出得出的结论不一定的结论不一定具有具有可靠可靠性，性，数学归纳法属于完全归纳法数学归纳法属于完全归纳法。3 3、数学归纳法的基本原理是、数学归纳法的基本原理是递推（递归）思想递推（递归）思想，使用要点可概括，使用要点可概括为：为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设须用到，结论写两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设须用到，结论写明不能忘；明不能忘；1 1、本节课的主要内容是、本节课的主要内容是归纳法和数学归纳法归纳法和数学归纳法；4 4、本节课涉及到的数学思想方法有：、本节课涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想和辩证唯物主义思想。思想、归纳思想和辩证唯物主义思想。2021/8/9 星期一13第四阶段:总结巩固阶段布置课后作业，巩固延伸升华课本课本1919页习题页习题1 14 4第第1 1，3 3题题 补充作业：补充作业：已知数列已知数列 中，中，（1 1）计算）计算 的值，并推测通项的值，并推测通项 的公式；的公式；（2 2）用数学归纳法证明你的结论。）用数学归纳法证明你的结论。2021/8/9 星期一14