高中数学复习专题：直线的方程.docx

§9.1直线的方程最新考纲考情考向分析1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角也是考查的重点题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在选择、填空题中出现.1直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的范围是0°，180°)2斜率公式(1)若直线l的倾斜角90°，则斜率ktan_.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1x2，则l的斜率k.3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐标系内的直线都适用题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率(×)(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大(×)(4)若直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.(×)(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等(×)(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()题组二教材改编2P86T3若过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A1 B4C1或3 D1或4答案A解析由题意得1，解得m1.3P100A组T9过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_答案3x2y0或xy50解析当截距为0时，直线方程为3x2y0；当截距不为0时，设直线方程为1，则1，解得a5.所以直线方程为xy50.题组三易错自纠4(2018·石家庄模拟)直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析由直线方程可得该直线的斜率为，又1<0，所以倾斜角的取值范围是.5如果A·C<0且B·C<0，那么直线AxByC0不通过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析由已知得直线AxByC0在x轴上的截距>0，在y轴上的截距>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限6过直线l：yx上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为_答案x2y20或x2解析若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；若直线m的斜率k0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；若直线m的斜率k0，设其方程为y2k(x2)，令y0，得x2，依题意有××22，即1，解得k，所以直线m的方程为y2(x2)，即x2y20.综上可知，直线m的方程为x2y20或x2.题型一直线的倾斜角与斜率典例 (1)直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是 ()A. B.C. D.答案B解析直线2xcos y30的斜率k2cos ，因为，所以cos ，因此k2cos 1， 设直线的倾斜角为，则有tan 1， 又0，)，所以，即倾斜角的取值范围是.(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_答案(，1，)解析如图，kAP1，kBP，k(， 1，)引申探究1若将本例(2)中P(1,0)改为P(1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围解P(1,0)，A(2,1)，B(0，)，kAP，kBP.如图可知，直线l斜率的取值范围为.2若将本例(2)中的B点坐标改为(2，1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围解如图，直线PA的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，由图象知l的倾斜角的范围为0°，45°135°，180°)思维升华 直线倾斜角的范围是0，)，根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论跟踪训练 已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为()A150° B135° C120° D不存在答案A解析由y，得x2y22(y0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的圆的一部分，其图象如图所示显然直线l的斜率存在，设过点P(2,0)的直线l为yk(x2)，则圆心到此直线的距离d，弦长|AB|22，所以SAOB××21，当且仅当(2k)222k2，即k2时等号成立，由图可得k，故直线l的倾斜角为150°.题型二求直线的方程典例 (1)求过点A(1,3)，斜率是直线y4x的斜率的的直线方程；(2)求经过点A(5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程解(1)设所求直线的斜率为k，依题意k4×.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即4x3y130.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为1，将(5,2)代入所设方程，解得a，所以直线方程为x2y10；当直线过原点时，设直线方程为ykx，则5k2，解得k，所以直线方程为yx，即2x5y0.故所求直线方程为2x5y0或x2y10.思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况跟踪训练 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (0<<)，从而cos ±，则ktan ±.故所求直线方程为y±(x4)即x3y40或x3y40.(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a.若a0，即l过(0,0)及(4,1)两点，l的方程为yx，即x4y0.若a0，则设l的方程为1，l过点(4,1)，1，a5，l的方程为xy50.综上可知，直线l的方程为x4y0或xy50.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x50；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y10k(x5)，即kxy(105k)0.由点到直线的距离公式，得5，解得k.故所求直线方程为3x4y250.综上可知，所求直线方程为x50或3x4y250.题型三直线方程的综合应用命题点1与基本不等式相结合求最值问题典例 (2018·济南模拟)已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当|·|取得最小值时直线l的方程解设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，直线l的方程为1，所以1.|·|·(a2，1)·(2，b1)2(a2)b12ab5(2ab)54，当且仅当ab3时取等号，此时直线l的方程为xy30.命题点2由直线方程解决参数问题典例 已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值解由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2a，直线l2在x轴上的截距为a22，所以四边形的面积S×2×(2a)×2×(a22)a2a42，当a时，四边形的面积最小思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值(2)求直线方程弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程(3)求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解跟踪训练已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求ABO的面积的最小值及此时直线l的方程解方法一设直线方程为1(a>0，b>0)，把点P(3,2)代入得12，得ab24，从而SAOBab12，当且仅当时等号成立，这时k，从而所求直线方程为2x3y120.方法二由题意知，直线l的斜率k存在且k<0，则直线l的方程为y2k(x3)(k<0)，且有A，B(0,23k)，SABO(23k)×(1212)12.当且仅当9k，即k时，等号成立即ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x3y120.求与截距有关的直线方程典例 设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.错解展示：现场纠错解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为0，a2，方程即为3xy0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0，直线方程可写为1，a2，即a11.a0，方程即为xy20.综上，直线l的方程为3xy0或xy20.(2)由(a2)，得a20或a11，a2或a2.纠错心得在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解1直线xya0(a为常数)的倾斜角为()A30° B60°C150° D120°答案B解析化直线方程为yxa，ktan .0°<180°，60°.2(2018·北京海淀区模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线yx1的倾斜角小的直线方程是()Ax2 By1 Cx1 Dy2答案A解析直线yx1的斜率为1，则倾斜角为，依题意，所求直线的倾斜角为，斜率不存在，过点(2,1)的直线方程为x2.3若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为()A. BC D.答案B解析依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得a5，b3，从而可知直线l的斜率为.4(2017·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：axyb0和直线l2：bxya0有可能是()答案B解析当a>0，b>0时，a<0，b<0.选项B符合5.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 ()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2答案D解析直线l1的倾斜角1是钝角，故k10，直线l2与l3的倾斜角2与3均为锐角且23，所以0k3k2，因此k1k3k2，故选D.6已知两点M(2，3)，N(3，2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是()Ak或k4 B4kC.k4 Dk4答案A解析如图所示，kPN，kPM4，要使直线l与线段MN相交，当l的倾斜角小于90°时，kkPN；当l的倾斜角大于90°时，kkPM，k或k4.7已知直线l：(a2)x(a1)y60，则直线l恒过定点_答案(2，2)解析直线l的方程变形为a(xy)2xy60，由解得x2，y2，所以直线l恒过定点(2，2)8若直线l的斜率为k，倾斜角为，而，则k的取值范围是_答案解析当<时，tan <1，k<1；当<时，tan <0，k<0.k，0).9已知三角形的三个顶点A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为_答案x13y50解析BC的中点坐标为，BC边上中线所在的直线方程为，即x13y50.10直线l过点(2,2)且与x轴、y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|b|，则直线l的方程为_答案xy0或xy40解析若ab0，则直线l过(0,0)与(2,2)两点，直线l的斜率k1，直线l的方程为yx，即xy0.若a0，b0，则直线l的方程为1，由题意知解得此时，直线l的方程为xy40.11已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(3,4)；(2)斜率为.解(1)由题意知，直线l存在斜率设直线l的方程为yk(x3)4，它在x轴、y轴上的截距分别为3,3k4，由已知，得(3k4)±6，解得k1或k2.故直线l的方程为2x3y60或8x3y120.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是yxb，则它在x轴上的截距是6b，由已知，得|6b·b|6，b±1.直线l的方程为x6y60或x6y60.12.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线yx上时，求直线AB的方程解由题意可得kOAtan 45°1，kOBtan(180°30°)，所以直线lOA：yx，lOB：yx.设A(m，m)，B(n，n)，所以AB的中点C，由点C在直线yx上，且A，P，B三点共线得解得m，所以A(，)又P(1,0)，所以kABkAP，所以lAB：y(x1)，即直线AB的方程为(3)x2y30.13已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x2y20的倾斜角的2倍，则直线l的方程为()A4x3y30 B3x4y30C3x4y40 D4x3y40答案D解析由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为，2，因为直线l0：x2y20的斜率为，则tan ，所以直线l的斜率ktan 2，所以由点斜式可得直线l的方程为y0(x1)，即4x3y40.14设点A(1,0)，B(1,0)，直线2xyb0与线段AB相交，则b的取值范围是_答案2,2解析b为直线y2xb在y轴上的截距，如图，当直线y2xb过点A(1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值2和最大值2.b的取值范围是2,215(2017·豫南九校联考)若是直线l的倾斜角，且sin cos ，则l的斜率为()A B或2C.或2 D2答案D解析sin cos ，(sin cos )21sin 2，2sin cos ，(sin cos )2，易知sin >0，cos <0，sin cos ，由解得tan 2，即l的斜率为2，故选D.16(2017·福建四地六校联考)已知函数f(x)asin xbcos x(a0，b0)，若ff，则直线axbyc0的倾斜角为()A. B.C. D.答案D解析由f f知，函数f(x)的图象关于x对称，所以f(0)f ，所以ab，则直线axbyc0的斜率为k1，又直线倾斜角的取值范围为0，)，所以该直线的倾斜角为，故选D.