高中数学复习专题：函数及其表示.docx

§2.1函数及其表示最新考纲考情考向分析1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度.1函数与映射函数映射两个集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称f：AB为从集合A到集合B的一个映射函数记法函数yf(x)，xA映射：f：AB2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数知识拓展简单函数定义域的类型(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合；(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合；(4)若f(x)x0，则定义域为x|x0；(5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数ytan x的定义域为.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)对于函数f：AB，其值域就是集合B.(×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等(×)(3)函数f(x)的图象与直线x1最多有一个交点()(4)若AR，Bx|x>0，f：xy|x|，其对应是从A到B的映射(×)(5)分段函数是由两个或几个函数组成的(×)题组二教材改编2P74T7(2)函数f(x)log2(6x)的定义域是_答案3,6)3P25B组T1函数yf(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是_；值域是_；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是_答案3,02,31,51,2)(4,5题组三易错自纠4已知函数f(x)x|x|，若f(x0)4，则x0的值为_答案2解析当x0时，f(x)x2，f(x0)4，即x4，解得x02.当x<0时，f(x)x2，f(x0)4，即x4，无解，所以x02.5(2017·湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考)已知f(x)若f(a)2，则a的值为()A2 B1或2C±1或2 D1或2答案B解析当a0时，2a22，解得a2；当a<0时，a232，解得a1.综上，a的值为1或2.故选B.6已知函数f(x)ax32x的图象过点(1,4)，则a_.答案2解析由题意知点(1,4)在函数f(x)ax32x的图象上，所以4a2，则a2.题型一函数的概念1若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是()答案B解析A中函数的定义域不是2,2，C中图象不表示函数，D中函数值域不是0,2，故选B.2有以下判断：f(x)与g(x)表示同一函数；f(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数；若f(x)|x1|x|，则f0.其中正确判断的序号是_答案解析对于，由于函数f(x)的定义域为x|xR且x0，而函数g(x)的定义域是R，所以二者不是同一函数，故不正确；对于，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数，故正确；对于，由于f0，所以ff(0)1，故不正确综上可知，正确的判断是.思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同题型二函数的定义域问题命题点1求函数的定义域典例 (1)函数f(x)ln的定义域为()A(，42，) B(4,0)(0,1)C4,0)(0,1) D4,0)(0,1答案C解析由解得4x0或0x1，故函数f(x)的定义域为4,0)(0,1)，故选C.(2)若函数yf(x)的定义域是0,2 018，则函数g(x)的定义域是()A1,2 017 B1,1)(1,2 017C0,2 018 D1,1)(1,2 018答案B解析使函数f(x1)有意义，则0x12 018，解得1x2 017，故函数f(x1)的定义域为1，2 017所以函数g(x)有意义的条件是 解得1x1或1x2 017.故函数g(x)的定义域为1,1)(1,2 017引申探究本例(2)中，若将“函数yf(x)的定义域为0,2 018”，改为“函数f(x1)的定义域为0,2 018，”则函数g(x)的定义域为_答案2,1)(1,2 016解析由函数f(x1)的定义域为0,2 018得函数yf(x)的定义域为1,2 017，令则2x2 016且x1.所以函数g(x)的定义域为2,1)(1,2 016命题点2已知函数的定义域求参数范围典例 (1)(2018·衡水联考)若函数y的定义域为R，则实数m的取值范围是()A. B.C. D.(2)若函数f(x)的定义域为x|1x2，则ab的值为_答案(1)D(2)解析(1)要使函数的定义域为R，则mx24mx30恒成立，当m0时，显然满足条件；当m0时，由(4m)24m×30得0m，由得0m.(2)函数f(x)的定义域是不等式ax2abxb0的解集不等式ax2abxb0的解集为x|1x2，所以解得所以ab3.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍(2)求抽象函数的定义域：若yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出yf(g(x)的定义域；若yf(g(x)的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解跟踪训练 (1)(2017·江西九江七校联考)函数y的定义域是()A(1,3) B(1,3C(1,0)(0,3) D(1,0)(0,3答案D解析由题意得解得1x3且x0，函数的定义域为(1,0)(0,3(2)已知函数yf(x21)的定义域为，则函数yf(x)的定义域为_答案1,2解析yf(x21)的定义域为，x，x211,2，yf(x)的定义域为1,2(3)若函数y的定义域为R，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析由ax24ax2>0恒成立，得a0或解得0a<.题型三求函数解析式1已知fx2x2，则f(x)_.答案x22(x2或x2)解析f22，又2，f(x)x22(x2或x2)2已知f(x)是二次函数且f(0)2，f(x1)f(x)x1，则f(x)_.答案x2x2解析设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)2，得c2，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)2ax2bx2x1，即2axabx1，即f(x)x2x2.3已知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2f·1，则f(x)_.答案(x0)解析在f(x)2f·1中，将x换成，则换成x，得f2f(x)·1，由解得f(x).思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)消去法：已知f(x)与f或f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)题型四分段函数命题点1求分段函数的函数值典例 已知f(x)则ff的值为()A. B C1 D1答案D解析ffff1cos cos 11.命题点2分段函数与方程、不等式问题典例 (1)(2018届东莞外国语学校月考)已知函数f(x)且f(a)3，则f(6a)等于()A BC D答案A解析函数f(x)且f(a)3，若a1，则2a123，即有2a11<0，方程无解；若a>1，则log2(a1)3，解得a7，则f(6a)f(1)2112.(2)(2017·广东汕头、河北石家庄二中联考)设函数f(x)g(x)为定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)x22x5，若f(g(a)2，则实数a的取值范围是()A(，10,21B1,21C(，1(0,3D1,3答案A解析g(x)是定义在R上的奇函数，g(0)0，若x>0，则x<0，g(x)x22x5，g(x)g(x)，g(x)x22x5，x>0，由题意，知f(2)2，f(g(a)2即为f(g(a)f(2)又f(x)g(a)2，或或a0，a1或0a21.故选A.思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路求函数值：当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来跟踪训练 设函数f(x)则使f(x)的x的集合为_答案解析由题意知，若x0，则2x，解得x1；若x>0，则|log2x|，解得x或x.故x的集合为.分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是()A. B0,1C. D1, )(2)(2017·全国)设函数f(x)则满足f(x)f1的x的取值范围是_思想方法指导(1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解；(2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围解析(1)令f(a)t，则f(t)2t，当t<1时，3t12t，令g(t)3t12t，得g(t)>0，g(t)<g(1)0，3t12t无解当t1时，2t2t成立，由f(a)1可知，当a1时，有3a11，a，a1；当a1时，有2a1，a0，a1.综上，a，故选C.(2)当x时，f(x)f2x2x1；当0x时，f(x)f2x12xx2x1；当x0时，f(x)fx112x，由f(x)f1，得2x1，即x，即x0.综上，x.答案(1)C(2)1下列图象可以表示以Mx|0x1为定义域，以Ny|0y1为值域的函数的是()答案C解析A选项中的值域不对，B选项中的定义域错误，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确2(2018·郑州调研)函数f(x)ln 的定义域为()A(0，) B(1，)C(0,1) D(0,1)(1，)答案B解析要使函数f(x)有意义，应满足解得x1，故函数f(x)ln 的定义域为(1，)3下列各组函数中，表示同一函数的是()Af(x)eln x，g(x)xBf(x)，g(x)x2Cf(x)，g(x)sin xDf(x)|x|，g(x)答案D解析A，B，C的定义域不同，所以答案为D.4(2017·湖南衡阳八中一模)已知f(x) 则f等于()A2 B3 C9 D9答案C解析flog32，ff(2)29.5已知f，则f(x)等于()A(x1)2 (x1) B(x1)2 (x1)Cx2x1 (x1) Dx2x1 (x1)答案C解析f21，令t(t1)，则f(t)t2t1，即f(x)x2x1(x1).6.如图，AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQAB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设APx(0<x<2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数yf(x)的大致图象是()答案A解析观察可知阴影部分的面积y的变化情况为：(1)当0<x1时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越快(2)当1<x<2时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越慢分析四个答案中的图象，只有选项A符合条件，故选A.7(2017·山东)设f(x)若f(a)f(a1)，则f等于()A2 B4 C6 D8答案C解析由当x1时f(x)2(x1)是增函数可知，若a1，则f(a)f(a1)，所以0a1，由f(a)f(a1)得2(a11)，解得a，则ff(4)2(41)6.8已知f(x)的值域为R，那么a的取值范围是()A(，1 B.C. D.答案C解析要使函数f(x)的值域为R，需使1a.即a的取值范围是.9已知f(1)x2，则f(x)_.答案x21(x1)解析令1t，则x(t1)2(t1)，代入原式得f(t)(t1)22(t1)t21，所以f(x)x21(x1)10已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)f(x)的定义域是_答案(2,8解析要使函数有意义，需f(x)>0，由f(x)的图象可知，当x(2,8时，f(x)>0.11设函数f(x)则使得f(x)2成立的x的取值范围是_答案(，8解析当x<1时，由ex12，得x1ln 2，x<1；当x1时，由2，得x8，1x8.综上，符合题意的x的取值范围是x8.12已知函数f(x)则f(f(3)_，f(x)的最小值是_答案023解析f(3)lg(3)21lg 101，f(f(3)f(1)0，当x1时，f(x)x323，当且仅当x时取等号，此时f(x)min23<0；当x1时，f(x)lg(x21)lg 10，当且仅当x0时，取等号，此时f(x)min0.f(x)的最小值为23.13设函数f(x)若f(f(a)3，则实数a的取值范围是()A(， B，)C， D(，答案D解析令f(a)t，则f(t)3等价于或解得t3，则f(a)3等价于或解得a，则实数a的取值范围是(，故选D.14已知函数f(x)满足对任意的xR都有ff2成立，则fff_.答案7解析由ff2，得ff2，ff2，ff2，又f×21，fff2×317.15已知定义在R上的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y，都有f(xy)f(x)y(y2x1)，且f(1)3，则函数f(x)的解析式为_答案f(x)x2x1解析令x0，yx，得f(x)f(0)x2x.把x1代入上式，得f(0)f(1)21，从而有f(x)x2x1.16(2018届全国名校第一次联考)定义新运算“”：当mn时，mnm；当m<n时，mnn2.设函数f(x)(2x)x(4x)，x1,4，则函数f(x)的值域为_答案2,0(4,60解析由题意知，f(x)当x1,2时，f(x)2,0；当x(2,4时，f(x)(4,60，故当x1,4时，f(x)2,0(4,60