20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题11.3 证明（解析版）.docx

11.311.3 证明证明【套路秘籍】-始于足下始于足下始于足下始于足下一开门见山证明(1)定义：开门见山从原命题的条件逐步推得命题成破的证明方法(2)一般方法ABC此题结论(3)综合理定义：从已经清楚条件出发，以已经清楚的定义、公理、定理为按照，逐步下推，直到推出要证明的结论为止这种证明方法常称为综合理推证过程(4)分析法定义：从征询题的结论出发，追溯导致结论成破的条件，逐步上溯，直到使结论成破的条件跟已经清楚条件或已经清楚理想契合为止这种证明方法常称为分析法推证过程 二开门见山证明(1)常用的开门见山证明方法有反证法、一致法等(2)反证法的全然步伐反设假定命题的结论不成破，即假定原结论的反面为真归谬从反设跟已经清楚条件出发，经过一系列精确的逻辑推理，得出冲突结果存真由冲突结果，断定反设不真，从而确信原结论成破【修炼套路】-为君聊赋往日诗为君聊赋往日诗，努力请从往日始，努力请从往日始考向一综合理【例 1】已经清楚，且，求证：.【答案】证明看法析【分析】由,得，即，因而，因而，故原等式成破【举一反三】1已经清楚函数?ali b al?ilnla?耀i.1假定函数?ali在?i上是增函数，求负数?的取值范围；2事前?，设函数?ali的图象与x轴的交点为?，?，曲线?b?ali在?，?两点处的切线歪率分不为?，?，求证：?+?耀.【答案】1a耀?；2看法析.【分析】1?ali b al?ilnla?耀i，?ali bllnll?l，设?ali b llnl l?，?函数?ali在?i上是增函数，?ali b llnl l?耀 在?i上恒成破，即?llnl l在?i上恒成破，设?ali b llnl l，那么?ali b lnl?，?l?，?ali?，?ali b llnl l 在?i上是增函数，?ali?，由?llnl l 在?i上恒成破，得?，?耀，耀?，即?的取值范围是a耀?.2?，?由?ali b al?ilnl b 耀，得l?b?，l?b?，不妨设?a?耀i?a?耀i.?ali bllnll?l，?b?，?bln?，?+?bln?，设?ali b lnl?l?，那么?ali b?ll，?耀?l?时，?ali?耀，l?时，?ali?耀，因而 l b?为?ali b lnl?l?的极大年夜值点，因而?ali b lnl?l?的极大年夜值即最大年夜值为?a?i b耀，即?ali b lnl?l?耀，?耀 且?，?耀 且?，?a?i b ln?耀，?+?bln?耀.2假定a，b，c是不全相当的负数，求证：lglglglgalgblgc.【答案】看法析【分析】证明a，b，c(0，)，0，0，0.由于a，b，c是不全相当的负数，上述三个不等式中等号不克不迭同时成破，abc0 成破上式单方同时取常用对数，得lglg(abc)，lglglglgalgblgc.考向二分析法【例 2】11已经清楚，且，试用分析法证明不等式【答案】看法析【分析】要证，只需证，只需证，由于只需证，只需证，即证或，只需证，而由，可得，因而【举一反三】1 1已经清楚?耀，?耀，用分析法证明：?；2已经清楚 a?耀，用分析法证明：?【答案】1证明见试题分析；2证明见试题分析【分析】1要证?，只需证?，即证?耀，由于 a?耀，?耀，?与?同号，因而?耀 成破，因而?成破2要证?，只需证?由于 a?耀，故只需证?，即证?，从而只需证?，只需证?，即证?，而上述不等式显然成破，故?考向三反证法【例 3】设，且，用反证法证明：至多有一个大年夜于。【答案】见证明【分析】证明：反证法假定结论不成破，即，而这与相冲突故至多有一个大年夜于。【套路总结】【套路总结】使用反证法证明数学命题，一般有以下几多个步伐：第一步：分清命题“pq的条件跟结论；第二步：作出与命题结论q相反的假定綈q；【举一反三】1 1已经清楚，试用反证法证明：中至多有一个不小于 1；2已经清楚实数，称心，求证：，中至多有一个是负数【答案】1证明见试题分析；2证明见试题分析【分析】1假定均小于 1，即，那么有，而，与假定冲突，因而假定不成破，故中至多有一个不小于 12假定，这与相冲突，因而原假定不成破，故中至多有一个是负数考向四数学归纳法【例 4-1】用数学归纳法证明：(nN N*)【答案】看法析【分析】证明当n1 时，右边，右边，右边右边，因而等式成破假定nk(kN N*，k1)时等式成破，即有，那么当nk1 时，.因而当nk1 时，等式也成破由可知，关于一切nN N*等式都成破【例 4-2】用数学归纳法证明不等式：1(nN N*且n1)【答案】看法析【分析】证明当n2 时，1 成破设nk(kN N*，k1)时，1 成破由于当k1 时，k2k10，即k(2k1)k22k1，那么当nk1 时，1111.综合可知，原不等式对nN N*且n1 恒成破【套路总结】【套路总结】1由一系列有限的特不现象得出一般性的结论的推理方法，素日叫做归纳法2用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步伐如下：(1)归纳奠基：证明取第一个自然数 n0时命题成破；【举一反三】1用数学归纳法证明：1(nN N*)【答案】看法析【分析】证明当n1 时，等式右边1右边，等式成破假定当nk(kN N*)时，等式成破，即 1，那么，当nk1 时，有 1，因而当nk1 时，等式也成破由知，等式对任何nN N*均成破2.求证：对一切正整数n,42n13n2都能被 13 整除【答案】看法析【分析】证明当n1 时，421131291 能被 13 整除假定当nk(kN N*)时，42k13k2能被 13 整除，那么当nk1 时，42(k1)13k342k1423k2342k1342k1342k1133(42k13k2)，42k113 能被 13 整除，42k13k2能被 13 整除，当nk1 时也成破，由可知，当nN N*时，42n13n2能被 13 整除【使用套路】-纸上得来终觉浅纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行绝知此事要躬行1用反证法证明命题：“，且，那么中至多有一个负数时的假定为A全都大年夜于等于 0B全为负数C中至多有一个负数D中至多有一个负数【答案】A【分析】由于原结论为“中至多有一个负数因而其否以为“中全都大年夜于等于 0因而选 A2使用反证法证明：假定，那么，假定为()A都不为 0B不都为 0C都不为 0，且D至多有一个为 0【答案】B【分析】的否以为，即，不都为 0，选 B.3用数学归纳法证明“能被 3 整除的第二步中，时，为了使用假定，应将变形为ABCD【答案】A【分析】假定时命题成破，即：被 3 整除事前，应选：A4用数学归纳法证明命题“时,在作归纳假定后,需要证明事前命题成破,即需证明()ABCD【答案】B【分析】将题目中的，改为，即，应选 B.5数学归纳法证明?n?n?nt?at?t?i，过程中由 t b?到 t b?时，右边增加的代数式为A?B?C?D?k?k?【答案】D【分析】事前 t b?，右边的代数式为?，事前 t b?，右边的代数式为?h?，故用 t b?时右边的代数式减去 t b?时右边的代数式的结果为：?b?，应选 D6 1求证2设 x，y 全然上负数，且 x+y2 证明：跟中至多有一个成破【答案】1看法析；2看法析【分析】1=13+2-13+4=，；2假定跟都不成破，即2 且2，x，y 全然上负数，1+x2y，1+y2x，1+x+1+y2x+2y，x+y2，这与已经清楚 x+y2 冲突，假定不成破，即跟中至多有一个成破7打算：，；因而；又打算：，；因而，1分析以上结论，试写出一个一般性的命题；2揣摸该命题的真假。假定为真，请用分析法给出证明；假定为假，请说明因由【答案】1；2真命题【分析】1一般性的命题：是正整数，那么2命题是真命题。由于由于因而.8已经清楚，求证：1；2.【答案】1详看法析；2详看法析.【分析】1由于，因而，因而得证.2欲证明成破，即证明成破，又即证明成破，即证明成破，即证明成破，即证明成破，即证明成破.故不等式成破得证.91用分析法证明；2已经清楚为正实数，请用反证法证明：与中至多有一个不小于 2【答案】1证明看法析；2证明看法析.【分析】1要证，只需证，即证，即证，即证 1418，而 1418 是成破的，2假定结论不成破，那么，即，即.即，冲突！故假定不成破，与中至多有一个不小于 210 1已经清楚，全然上负数，同时，求证：；2假定，全然上正实数，且，求证：与中至多有一个成破.【答案】1详看法析；2详看法析.【分析】1由于，全然上负数，因而，又，因而，因而，因而，即.2假定跟都不成破，即跟同时成破.且，.两式相加得，即.此与已经清楚条件相冲突，跟中至多有一个成破.11已经清楚函数及函数 gxbxa，b，cR，假定 abc 且 a+b+c01证明：fx的图象与 gx的图象肯定有两个交点；2请用反证法证明：；【答案】1看法析；2看法析【分析】1证明由得,有两个不相当的实数根，即两函数图像肯定由两个交点,2证明：假定结论不成破，那么-2 或-I由-2，结合1a0，得 c-2a，即 a+c-a，-b-aab 这与条件中 ab 冲突II再由-，得 2c-a，即 c-(a+c)=bbc 这与条件中 bc 冲突故假定不成破，原不等式成破12已经清楚，其前项跟为.1打算；2猜想的表达式，并用数学归纳法停顿证明.【答案】1；2，证明看法析.【分析】1打算，.2猜想.证明：事前，右边，右边，猜想成破.假定猜想成破，即成破，那么事前，而，故事前，猜想也成破.由可知，关于，猜想都成破.13已经清楚数列称心，()求的值，猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明；()令，求数列的前项跟.【答案】()看法析；()【分析】()事前，事前，事前，猜想，上面用数学归纳法证明事前，猜想成破，假定当()时，猜想成破，即那么事前，猜想成破综上所述，关于任意，均成破()由得由得：14已经清楚数列，且为该数列的前项跟.1写出数列的通项公式；2打算，猜想的表达式，并用数学归纳法证明；3求数列的前项跟的取值范围.【答案】1；2，证明见详解；3.【分析】1按照题意可得；2；可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n不合，分母可用项数n表示为.因而可以猜想.上面我们用数学归纳法证明谁人猜想.事前，右边，右边，猜想成破.假定事前猜想成破，即.因而，事前猜想也成破.按照1跟2，可知猜想对任何都成破.3由2知，由于，因而，那么，即，因而.15已经清楚，.1事前，分不比较与的大小开门见山给出结论；2由1猜想与的大小关系，并证明你的结论.【答案】1看法析；2见证明【分析】证明1事前，事前，事前，.2猜想：，即.上面用数学归纳法证明：事前，上面已证.假定事前，猜想成破，即，那么事前，.由于，因而，因而，事前猜想也成破.综上可知：对，猜想均成破.161用数学归纳法证明：；2已经清楚，且，求证：跟中至多有一个小于【答案】1看法析2看法析【分析】1事前，右边，右边，右边右边假定时等式成破，即，那么事前，即事前，等式成破综上，2假定，由于，因而，因而，故，这与冲突，因而原假定不成破，故跟中至多有一个小于17 1用数学归纳法证明 123252(2n1)2n(2n1)(2n1)(nN*)2命题 P：关于任意实数都有恒成破；命题 Q：关于的方程有实数根；假定命题为假命题，且命题为真命题，务虚数的取值范围【答案】1看法析；2(，0)【分析】1证明：事前，右边，右边，等式成破；假定事前，等式成破，即123252(2k1)2k(2k1)(2k1)(kN*)，那么当 n=k+1 时123252(2k1)2(2k1)2k(2k1)(2k1)(2k1)2(2k1)k(2k1)3(2k1)(k1)2(k1)12(k1)1,即事前等式也成破；由、可知对任意的 nN*等式都成破.2对任意实数 x 都有 ax2ax10 恒成破a0 或0a4.关于 x 的方程 x2xa0 有实数根14a0a.由题，P,Q 一真一假假定 P 精确，Q 不精确，有 0a，因而a4.假定 Q 精确，P 不精确，有 a0 或 a4，且 a，因而 a0.因而实数 a 的取值范围为(，0).17选择适当的证明方法证明以下征询题1设是公比为的等比数列且，证明数列不是等比数列.2设为虚数单位，为正整数，证明：.【答案】1详看法析；2详看法析.【分析】1用反证法：设是公比为的等比数列，数列是等比数列.当存在，使得成破时，数列不是等比数列.当，使得成破时，那么，化为.，故冲突.综上两种情况，假定不成破，故原结论成破.21事前，右边，右边，因而命题成破.2假定事前，命题成破，即，那么事前，.因而，事前，命题也成破.综上所述，为正整数成破.