专题7.3 立体几何中的最值问题-2019届高三数学提分精品讲义.doc

一、考情分析立体多少多何中的最值征询题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类征询题多以规那么多少多何体为载体,涉及到多少多何体的结构特色以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,处置此类征询题一般可从两个方面考虑：一是函数法,即使用传统办法或空间向量的坐标运算,树破所求的目的函数,转化为函数的最值征询题求解；二是开门见山法,即按照多少多何体的结构特色或立体多少多何中的相关结论,开门见山揣摸最值.纵不雅观近多少多年高考对于组合体的调查,重点放在与球相关的外接与内切征询题上.恳求老师有较强的空间想象才能跟精确的打算才能,才能顺利解答.从理论教学来看,这部分知识是老师操纵最为含糊,看到就头疼的题目.分析缘故,除了这类题目的入手确实不易之外,要紧是老师不形成解题的方式跟套路,致使于遇到类似的题目便发作可怕心理二、阅历分享1.处置立体多少多何中的最值征询题稀有办法有：(1)树破函数法是一种常用的最值办法，特不多情况下，我们全然上把这类静态征询题转化成目的函数，最终使用代数办法求目的函数的最值.解题路途特不多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次数的配办法、公试法；有界函数界值法如三角函数等及高阶函数的拐点导数法等.(2)公理与定义法素日以公理与定义作按照，开门见山推理征询题的最大年夜值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短，分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的公垂线段为短.球面上任意两点间的连线中以过这两点与球心的立体所得圆的劣弧长为最短等.假设开门见山树破函数关系求之比较艰辛，而使用两异面直线公垂线段最短那么是处置征询题的捷径.(3)解不等式法是解最值征询题的常用办法、在立体多少多何中异常可使用不等式的性质跟一些变量的特不不等关系求解：如最小角定理所树破的不等关系等等.(4)展开体图法是求立体多少多何最值的一种特不办法，也是一种常用的办法，它可将多少多何题表面展开，也可将多少多何体内部的某些称心条件的部分面展开成立体，如斯能使求解征询题，变得特不直不雅观，由难化易.(5)变量分析法是我们要透过现象看本质，在多少多何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，要分析透彻，清晰它们之间的互相关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值总题的办法.除了上述 5 种常用办法外，尚有一些使用并不普遍的特不办法，可以让我们抵达求解最值征询题的目的，这确实是：列方程法、极限思办法、向量打算法等等其各法的特征与普遍性，大年夜伙儿可以通过实例感受其杰出内涵与思想办法所在.2.决定棱锥体积的量有两个，即底面积跟高，当研究其体积的最值征询题时，假设其中有一个量判定，那么只需另一个量的最值；假设两个量都不判定，可通过设变量法，将体积表示为变量的函数分析式，使用函数思想判定其最值；将空间征询题转化为立体征询题是转化思想的要紧表达，通过改变到一个立体内，使用两点之间距离最短求解3.处置多少多何体体积最值征询题的办法(1)按照条件树破两个变量的跟或积为定值,使用全然不等式求体积的最值；通过树破相关函数式,将所求的最值征询题转化为函数的最值征询题求解,此法使用最为普遍；由图形的特不位置判定最值,如垂直求解球与棱柱、棱锥的接、切征询题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间征询题转化为立体图形与圆的接、切征询题，再使用立体多少多何知识寻寻多少多何中元素间的关系求解4.解题时，素日应留心分析题目中所有的条件，起首该当在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定义开门见山处置题中征询题；假设不克不迭，再看是否可将征询题条件转化为函数，假设能写出判定的表意函数，那么可用树破函数法求解；再不克不迭，那么要考虑其中是否存在不等关系，看是否能使用解等不式法求解；还弗成那么应考虑是否可将其体图展开成立体，如斯依次从本文所标定的办法次第考虑，必能寻到解题的路途三、题型分析三、题型分析(一一)距离最值征询题距离最值征询题来源来源:学。科。网学。科。网 Z。X。X。K1.空间中两点间距离的最值征询题空间中两点间距离的最值征询题【例 1】正方体的棱长为 1,、分不在线段与上,求的最小值.由正方体的棱长为 1 可得.贯串衔接,那么,因此为两异面直线与所成角.在正方形中,因此.过点作,垂足为,贯串衔接,那么,且.设,那么.在中,在中,.显然,事前,取得最小值 1,即的最小值为 1.【点评】空间中两点距离的最值,最全然的办法确实是使用距离公式树破目的函数,按照目的函数分析式的结构特色求解最值.对于分不在两个差异东西上的点之间距离的最值,可以按照这两个元素之间的关系,借助立体多少多何中相关的性质、定理等揣摸并求解呼应的最值.如【典例 1】中的两点分不在两条异面直线上,显然这两点之间距离的最小值即为两异面直线的公垂线段的长度.不的留心直线和立体的距离,两立体的距离等的敏锐使用.学科#网【小试牛刀】【2017 甘肃省天水市第一中学上学期期末】如以下列图,在空间直角坐标系中,是坐标原点,有一棱长为的正方体,跟分不是体对角线跟棱上的动点,那么的最小值为A.B.C.D.【答案】B2.多少多何体表面上的最短距离征询题多少多何体表面上的最短距离征询题【例 2】正三棱柱 ABCA1B1C1中,各棱长均为 2,M 为 AA1中点,N 为 BC 的中点,那么在棱柱的表面上从点M 到点 N 的最短距离是多少多?并求之.【分析】将正三棱柱的表面展开,即可转化为立体内两点间距离的最小值征询题求解.留心两种差异的展开办法的比较.【分析】(1)从正面到 N,如图 1,沿棱柱的侧棱 AA1剪开,并展开,那么.(2)从底面到 N 点,沿棱柱的 AC、BC 剪开、展开,如图 2.那么图1图2【点评】求解多少多何体表面上的最短距离征询题,屡屡需要将多少多何体的正面或表面展开,将征询题转化为立体图形中的最值,进而使用立体多少多何中的相关结论揣摸并求解最值.如【典例 2】中确实是使用了立体内两点间线段最短来判定最值,但要留心多少多何体表面的展开办法可以有多种,求解相关最值时,需要比较才能掉掉落精确结论.【小试牛刀】【2017 甘肃省天水市第一中学上学期期末】在侧棱长为的正三棱锥中,过作截面,交于,交于,那么截面周长的最小值为_【答案】6【分析】将棱锥的正面沿侧棱展开,如图,的长确实是截面周长的最小值,由题意,由等腰三角形的性质得.(二二)面积的最值面积的最值1.改变体中面积的最值改变体中面积的最值【例 3】一个圆锥轴截面的顶角为,母线为 2,过顶点作圆锥的截面中,最大年夜截面面积为.【分析】此题是截面征询题中的稀有题,应按照多少多何体的结构特色判定截面形状,然后求解截面的数字特色,进而判定其最值.【点评】由圆锥的性质可知,过圆锥顶点的截面肯定是等腰三角形,且腰长等于圆锥的母线长,该等腰三角形的顶角的最大年夜值为轴截面的顶角,因此截面面积的最大年夜值取决于轴截面顶角的取值范围,不克不迭误以为轴截面的面积确实是最大年夜值.【小试牛刀】圆柱轴截面的周长为定值,求圆柱正面积的最大年夜值.【分析】设圆柱的底面直径为,高为.那么由题意得：.因此.而圆柱的正面积为.由均值不等式可得,即当且仅事前等号成破.因此圆柱正面积为,即圆柱正面积的最大年夜值为.2.多面体中的面积最值多面体中的面积最值【例 4】如图中 1 所示,边长 AC3,BC4,AB5 的三角形浅近遮阳棚,其 A、B 是空中上南南倾向两个定点,正东倾向射出的太阳光辉与空中成 30角,试征询：遮阳棚 ABC 与空中成多大年夜角度时,才能保证所遮影面ABD 面积最大年夜?【分析】起首分析多少多何体的结构特色,清晰遮影面 ABD 中的定值AB,那么所求最值征询题转化为该边上的高的最值,进而按照已经清晰太阳光的照射角度将其与中 AB 上的高树破联系,从而判定最值.【点评】求解多少多何体中的面积最值,起重要清晰所求图形面积的表示式,区分该图形中的定值与变量,然后按照多少多何体的结构特色跟已经清晰条件判定变量的最值即可.如该题中抓住 QD 的变卦,树破与已经清晰太阳光的照射角的关系是精确判定最值的关键所在.学￥科网【小试牛刀】在三棱锥 ABCD 中,ABC 跟BCD 全然上边长为 a 的正三角形,求三棱锥的单方面积的最大年夜值.(三三)体积的最值征询题体积的最值征询题【例 5】如图 3,已经清晰在中,立体 ABC,于 E,于 F,当变卦时,求三棱锥体积的最大年夜值.图 3【分析】的变卦是由与的变卦引起的,恳求三棱锥 P-AEF 的体积,那么需寻到三棱锥 P-AEF 的底面积跟高,高为定值时,底面积最大年夜,那么体积最大年夜.【分析】因为立体 ABC,立体 ABC,因此又因为,因此立体 PAC,又立体 PAC,因此,又,因此立体 PBC,即.EF 是 AE 在立体 PBC 上的射影,因为,因此,即立体 AEF.在三棱锥中,因此,因为,因此因此,事前,取得最大年夜值为.学.科网【点评】多少多何体体积的最值征询题的处置,要按照多少多何体的结构特色判定其体积的求解办法,分清定量与变量,然后按照变量的取值情况,使用函数法或立体多少多何的相关结论揣摸呼应的最值.如该题中缀定三棱锥底面的面积最值是关键.【小试牛刀】【2017 安徽省黄山市上学期期末质量检测】在棱长为 6 的正方体中,是中点,点是面所在的立体内的动点,且称心,那么三棱锥的体积最大年夜值是A.36B.C.24D.【答案】B(四四)角的最值角的最值【例 6】如图,在四棱锥 SABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱 SA底面ABCD,AB 垂直于 AD 跟 BC,SA=AB=BC=2,AD=1M 是棱 SB 的中点求证：AM面 SCD；求面 SCD 与面 SAB 所成二面角的余弦值；设点 N 是直线 CD 上的动点,MN 与面 SAB 所成的角为,求 sin 的最大年夜值,【分析】开门见山按照多少多何体的结构特色树破空间直角坐标系,求出相关点的坐标跟向量坐标,使用向量运算停顿证明打算即可.【分析】当,即时,.【小试牛刀】在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,P 是 A1B1上的一动点,立体 PAD1和立体 PBC1与对角面 ABC1D1所成的二面角的立体角分不为、,试求+的最大年夜值跟最小值.分析：如图.对角面 A1B1CD对角面 ABC1D1,其交线为 EF.过 P 作 PQEF 于 Q,那么 PQ对角面 ABC1D1.分不连 PE、PF.EFAD1,PEAD1(三垂线定理).故由二面角的立体角定义知PFQ,学科&网五、迁移使用五、迁移使用1.【2018 北京市首师附高三理零模】在棱长为的正方体中,点分不是线段不包括端点上的动点,且线段平行于立体,那么周围体的体积的最大年夜值是A.B.C.D.【答案】A2.【2018 年江西省抚州市高三八校联考】如图，在长方体中，,，点是棱的中点，点在棱上，且称心，是正面四边形内一动点(含界线).假设立体，那么线段长度的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【分析】取中点，在上取点，使得，贯串衔接，那么立体立体，因为 是正面内的一动点含界线，立体，因此，3.如图，在棱长为 5 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，EF 是棱 AB 上的一条线段，且 EF2，Q 是 A1D1的中点，点 P 是棱 C1D1上的动点，那么周围体 PQEF 的体积()A.是变量且有最大年夜值 B.是变量且有最小值C.是变量且有最大年夜值跟最小值 D.是常量【答案】D【分析】因为 EF2，点 Q 到 AB 的距离为定值，QEF 的面积为定值，设为 S又 D1C1AB，D1C1立体 QEF，AB立体 QEF，D1C1立体 QEF，点 P 到立体 QEF 的距离也为定值，设为 d来源:周围体 PQEF 的体积为定值选 D学%科%网4.【2017 届甘肃省肃南裕固族自治县第一中学高三上学期期末】假设一条直线与一个立体成角,那么这条直线与谁人立体内通过歪足的直线所成角中最大年夜角等于A.B.C.D.【答案】B【分析】当谁人立体内通过歪足的直线与这条直线在谁人立体内射影垂直时,直线 与这条直线垂直,所成角为直角,而两直线所成角范围为,因此直线与这条直线所成角最大年夜值为,因此选 B.学科.网5.【2017 届云南省师范大年夜学从属中学高三高考适应性月考】三棱锥内接于半径为的球中,那么三棱锥的体积的最大年夜值为A.B.C.D.【答案】C6.【2017 学年安徽省黄山市高二上学期期末质量检测】在棱长为 6 的正方体中,是中点,点是面所在的立体内的动点,且称心,那么三棱锥的体积最大年夜值是A.36B.C.24D.【答案】B【分析】试题分析：因立体,那么,同理立体,那么,那么,那么,下面研究点在面的轨迹立体多少多何立体化,在立体直角坐标系内设,设,因为,因此,化简得：,该圆与的交点纵坐标最大年夜,交点为,三棱锥的底面的面积为18,要使三棱锥体积最大年夜,只需高最大年夜,当在上切时,棱锥的高最大年夜,.,此题应选.7.【2017 湖北省武汉市第二中学上学期期末】如图,在四棱锥中,正面是边长为 4 的正三角形,底面为正方形,正面底面,为底面内的一个动点,且称心,那么点到直线的最短距离为()A.B.C.D.【答案】C8【2017 届浙江省温州市高三第二次模拟检验】如图,在三棱锥中,立体立体,与均为等腰直角三角形,且,点是线段上的动点,假设线段上存在点,使得异面直线与成的角,那么线段长的取值范围是A.B.C.D.【答案】B【分析】9【2016 浙江省杭州二中】已经清晰各棱长均为 1 的周围体 ABCD 中,E 是 AD 的中点,P直线 CE,那么|BP|DP|的最小值为A1BCD【答案】B【分析】如图,将改变至与共面,贯串衔接,那么它与的交点,即为使|BP|DP|取最小值的点易知,在中由余弦定理得,从而由平方关系得,在中由余弦定理得,因此学%科&网10【2016 辽宁师大年夜附中】在长方体中,点为的中点,点为对角线上的动点,点为底面上的动点点、可以重合,那么的最小值为ABCD【答案】C11.已经清晰四棱锥的三视图如以下列图,那么四棱锥的四个正面中面积最大年夜的是ABCD【答案】C【分析】三棱锥如以下列图,12.两球 O1跟 O2在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1的内部,且互相外切,假设球 O1与过点 A 的正方体的三个面相切,球 O2与过点 C1的正方体的三个面相切,那么球 O1跟 O2的表面积之跟的最小值为()A(63 3)B(84 3)C(63 3)D(84 3)【答案】A13.【河北省石家庄市 2018 届高三下学期一模】一个直角三角形的三个顶点分不在底面棱长为 2 的正三棱柱的侧棱上，那么该直角三角形歪边的最小值为_【答案】【分析】Failedtodownloadimage:如图，不妨设在处，那么有由该直角三角形歪边故答案为.学%科%网14.【2017 届湖南省衡阳市高三上学期期末检验】表面积为的球面上有四点,且是边长为的等边三角形,假设立体立体,那么三棱锥体积的最大年夜值是_【答案】15【2016 届辽宁省沈阳市二中高三上学期期中】如图,在棱柱的侧棱上各有一个动点,且称心,是棱上的动点,那么的最大年夜值是【答案】16【2016 届广东省广州市荔湾区高三上学期调研】已经清晰直三棱柱中,正面的面积为,那么直三棱柱外接球表面积的最小值为【答案】【分析】按照题意,设,那么有,从而有其外接球的半径为,因此其比表面积的最小值为17【2016 届贵州省贵阳市六中高三元月月考】表面积为的球面上有四点且是等边三角形,球心 O 到立体 ABC的距离为,假设,那么棱锥体积的最大年夜值为来源:Z#xx#k.Com【答案】2718.如图,过半径为 R 的球面上一点 P 作三条两两垂直的弦 PA、PB、PC,(1)求证：PA2+PB2+PC2为定值；(2)求三棱锥 PABC 的体积的最大年夜值.【分析】(1)设过 PA、PB 的立体截球得O1,PAPB,AB 是O1的直径,连 PO1并延长交O1于 D,那么 PADB 是矩形,PD2PA2+PB2.设 O 为球心,那么 OO1立体O1,学&科&网PCO1立体,OO1PC,因此过 PC、PD 的立体通过球心 O,截球得大年夜圆,又 PCPD.CD 是球的直径.故 PA2+PB2+PC2PD2+PC2CD24R2定值.(2)设 PA、PB、PC 的长分不为 x、y、z,那么三棱锥 PABC 的体积 Vxyz,V2x2y2z2()3R6.VR3.即 V最大年夜R3.19.如图,平行四边形 ABCD 中,ABBD,AB2,BD 2,沿 BD 将BCD折起,使二面角 ABDC 是大小为锐角的二面角,设 C 在立体 ABD 上的射影为 O.(1)当为何值时,三棱锥 COAD 的体积最大年夜？最大年夜值为多少多？(2)当 ADBC 时,求的大小20.如图,ABC 内接于圆 O,AB 是圆 O 的直径,四边形 DCBE 为平行四边形,DC立体 ABC,AB2,EB 3.(1)求证：DE立体 ACD；(2)设 ACx,V(x)表示三棱锥 BACE 的体积,求函数 V(x)的分析式及最大年夜值来源:学科网