2021年高考数学总复习-提能拔高限时训练：单元检测—数列(练习+详细解析)大纲人教版2.doc

单元检测三单元检测三 数数 列列(总分值:150 分 时间:120 分钟)一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分)1.等差数列an中,a2+a88,那么该数列前 9 项和 S9等于()A.18B.27C.36D.45解析解析:在等差数列an中,a2+a88,a1+a98,那么该数列前 9 项和362)(9919aaS,选C.答案答案:C2.在 a 和 b(ab)两数之间插入 n 个数,使它们与 a、b 组成等差数列,那么该数列的公差为()A.nab B.1nabC.1nbaD.2nab解析解析:(特殊值法)令 n1,那么 ba+2d,2abd,排除 A、C、D,选 B.答案答案:B3.一个项数是偶数的等比数列,它的偶数项的和是奇数项和的 2 倍,又它的首项为 1,且中间两项的和为 24,那么此等比数列的项数为()A.12B.10C.8D.6解析解析:a2+a4+a2n2(a1+a3+a2n-1)q2,又 an+an+12n-1+2n24,n4.此数列的项数为 2n8.答案答案:C4.(理)等差数列an的公差为 d,前 n 项和为 Sn,当首项 a1和 d 变化时,a2+a8+a11是一个定值,那么以下各数中也为定值的是()A.S7B.S8C.S13D.S15解析解析:由题意,知 a2+a8+a113a1+18d3(a1+6d)3a7为定值,因此713113132)(13aaaS也为定值.答案答案:C(文)数列an是公差不为零的等差数列,并且 a5,a8,a13是等比数列bn中的相邻三项,假设 b25,那么 bn等于()A.5(35)n-1B.5(53)n-1C.3(53)n-1D.3(35)n-1解析解析:设公差为 d,公比为 q,那么(a1+7d)2(a1+4d)(a1+12d),而 d0,d2a1,an(2n-1)a1.又a5,a8,a13是等比数列bn中的相邻三项,359151158aaaaq,bnb2(35)n-25(35)n-23(35)n-1.答案答案:D5.(理)在等差数列an中,假设mnSnmSnm,(mn),那么 Sm+n的值()A.大于 4B.等于 4C.小于 4D.无法确定解析解析:设等差数列an的首项为 a1,公差为 d,那么,2)1(,2)1(11mndnnnaSnmdmmmaSnm即,121,12111mdnandmamnd2.dnmnmanmSnm2)1)()(14)11)(nmnm.答案答案:A(文)等差数列an中,a26,a515.假设 bna2n,那么数列bn的前 5 项和等于()A.30B.45C.90D.186解析解析:由题设知 a5a2+3d,d3,an3n.bna2n6n.b1+b2+b3+b4+b590230)(65.选 C.答案答案:C6.等差数列an的前 n 项和为 Sn,假设OCaOAaOB10051004,且 A、B、C 三点共线(该直线不过原点 O),那么 S2 008等于()A.1 004B.1 005C.2 008D.2 009解析解析:由 A、B、C 三点共线,知 a1 004+a1 0051,所以10042)(2008200812008aaS.答案答案:A7.(理)北京市为成功举办 2021 年奥运会,决定从 2021 年到 2021 年 5 年间更新市内现有全部出租车,假设每年更新的车辆数比前一年递增 10%,那么 2021 年底更新车辆数约为现有总车辆数的(参考数据 1.141.46,1.151.61)()A.10%B.16.4%C.16.8%D.20%解析解析:设2021年底更新车辆数为x,那么现有车辆数为x(1+1.1+1.12+1.13+1.14),11.11.01.111.111)1.11.11.11.11(55432xx16.4%.答案答案:B(文)数列an对任意的 p,qN*满足 ap+qap+aq,且 a2-6,那么 a10等于()A.-165B.-33C.-30D.-21解析解析:依题意,a2a1+a12a1,a121a2-3,an+1an+a1an-3,可知数列an是等差数列,a10a1+9d-3-93-30.选 C.答案答案:C8.设函数 f(x)(x-1)2+n(x-1,3,nN*)的最小值为 an,最大值为 bn,记 cnbn2-anbn,那么数列cn()A.是公差不为零的等差数列B.是公比不为 1 的等比数列C.是常数数列D.不是等差数列也不是等比数列解析解析:由题意,得 ann,bnf(-1)f(3)4+n,cn(4+n)2-n(4+n)(4+n)(4+n-n)4n+20+(n-1)4,即cn是以 20 为首项,4 为公差的等差数列.应选 A.答案答案:A9.两个等差数列an、bn的前 n 项和分别为 Sn和 Tn,且3457nnTSnn,那么使得nnba为整数的正整数 n 的个数是()A.5B.4C.3D.2解析解析:由等差数列性质知2)()12(2)()12(22121121121121nnnnnnbbnaanbbaaba11272238143)12(45)12(71212nnnnnTSnn.当 n 取 1、2、3、5、11 时符合条件.选 A.答案答案:A10.假设钝角ABC 三内角 A、B、C 的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比为 m,那么 m的取值范围是()A.(2,+)B.(0,2)C.1,2D.2,+)解析解析:设三角形的三边从小到大依次为 a,b,c,因为三内角的度数成等差数列,故可得B60.于是 b2a2+c2-ac,又因为ABC 为钝角三角形,故 a2+b2-c20,于是 2a2-ac0,2ac.答案答案:A11.如果数列an满足:首项 a11,2,21为偶数为奇数nanaannn那么以下说法中正确的选项是()A.该数列的奇数项 a1,a3,a5,成等比数列,偶数项 a2,a4,a6,成等差数列B.该数列的奇数项 a1,a3,a5,成等差数列,偶数项 a2,a4,a6,成等比数列C.该数列的奇数项 a1,a3,a5,分别加 4 后构成一个公比为 2 的等比数列D.该数列的偶数项 a2,a4,a6,分别加 4 后构成一个公比为 2 的等比数列解析解析:a11,2,21为偶数为奇数nanaannna22,a34,a48,a510,a620,那么 a2+46,a4+412,a6+424,a2n+42a2n-1+42a2n-2+82(a2n-2+4),所以该数列的偶数项a2,a4,a6,分别加4后构成一个公比为2的等比数列,选择 D.答案答案:D12.(理)设函数122xxnxxy(xR,且21nx,xN*)的最小值为 an,最大值为 bn.假设 cn(1-an)(1-bn),那么数列cn()A.是公差不等于零的等差数列B.是公比不等于 1 的等比数列C.是常数列D.不是等差数列也不是等比数列解析解析:由122xxnxxy得(y-1)x2+(y+1)x+(y-n)0,由(y+1)2-4(y-1)(y-n)0,an、bn是关于 y 的方程 3y2-(4n+6)y+(4n-1)0 的两根.343143641)(1,314,364nnbabacnbanbannnnnnnnn.答案答案:C(文)设 a1,a2,a50是 从-1,0,1 这 三 个 整 数 中 取 值 的 数 列,假 设 a1+a2+a50 9,且(a1+1)2+(a2+1)2+(a50+1)2107,那么 a1,a2,a50中是 0 的个数为()A.10B.11C.12D.13解析解析:设数列中有 a 个-1,b 个 0,c 个 1,那么根据题意可得出化简得,39,9caca解得,24,15cab50-a-c11,即有 11 个 0.答案答案:B二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分)13.等差数列an中,Sn是它的前 n 项和,S6S7,S7S8,那么数列公差 d0,S9S6,a7最大,S7是 Sn中的最大值.其中正确的选项是_.解析解析:由题意,知dadadada27882677267725661111d0,-6da1-7d,a10.数列为递减数列,a1最大,前 7 项为正,以后各项为负,S7最大,S9-S6a7+a8+a93a1+21d3(a1+7d)0.S9S6.答案答案:14.在数列an中,221nnnaaa且 a11,那么 an_.解析解析:21)1(211121111nnaaannn,12nan.答案答案:12n15.一凸多边形各内角的度数成等差数列,公差是 10,最小内角是 100,那么边数 n_.解析解析:由多边形的内角和(n-2)180n100+2)1(nn10n2-17n+720n8或 9.根据凸 n 边形各内角的度数小于 180,n9 舍去,边数 n8.答案答案:816.自然数列按如下所示规律排列,假设数 2 008 是第 m 行第 n 个数,那么mn_.解析解析:26463200826362,且55263622008.故数 2 008 是第 63 行第 55 个数,6355mn.答案答案:6355三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题总分值 10 分)等差数列an的前 n 项和记为 Sn,a1030,a2050.(1)求通项 an;(2)假设 Sn242,求 n.解解:(1)由 ana1+(n-1)d,a1030,a2050,得,5019,30911dada解得,2,121daan2n+10.(2)由dnnnaSn2)1(1,Sn242,24222)1(12nnn.解得 n11 或 n-22(舍去).n11.18.(本小题总分值 12 分)(理)(2021 安徽安庆第一学期高三质检,理 19数列an的前 n 项和为 Sn,且对任意 nN*，有 n,an,Sn成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列nan的前 n 项和 Tn.解解:(1)依题意,知 Sn2an-n,Sn+12an+1-(n+1)an+12an+1-2an-1an+12an+1an+1+12(an+1),又由 S1a12a1-1a11,故an+1是首项为 2,公比为 2 的等比数列,an+12nan2n-1.(2)Tn(121-1)+(222-2)+(n2n-n)(12+222+n2n)-(1+2+n),由错位相减法,得12+222+n2n(n-1)2n+1+2,又 1+2+n2)1(nn,所以 Tn(n-1)2n+1+2-2)1(nn.(文)一数列an的奇数项构成公差为-2 的等差数列,偶数项构成公比为 2 的等比数列,又 a110,a22,求:(1)数列an的通项 an;(2)求|a1|+|a2|+|a3|+|a22|之和.解解:(1)当 n 为奇数时,an11-n;当 n 为偶数时,22nna.所以.,2,112为偶数为奇数nnnann(2)|a1|+|a2|+|a3|+|a22|(|a1|+|a3|+|a21|)+(|a2|+|a4|+|a22|)121125821)21(2)52210(2.19.(本 小 题 总 分 值 12 分)数 列 an 中,a1 2,a2 3,其 前 n 项 和 Sn满 足 Sn+1+Sn-12Sn+1(n2,nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)设 bn4n+(-1)n-1na2(为非零整数,nN*),试确定的值,使得对任意 nN*,都有 bn+1bn成立.解解:(1)由,得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)1(n2,nN*),即 an+1-an1(n2,nN*),且 a2-a11,数列an是以 a12 为首项,公差为 1 的等差数列.ann+1.(2)ann+1,bn4n+(-1)n-12n+1,要使 bn+1bn恒成立.bn+1-bn4n+1-4n+(-1)n2n+2-(-1)n-12n+10 恒成立,即 34n-3(-1)n-12n+10 恒成立.(-1)n-12n-1恒成立.当 n 为奇数时,即2n-1恒成立,当且仅当 n1 时,2n-1有最小值为 1,1.当 n 为偶数时,即-2n-1恒成立,当且仅当 n2 时,-2n-1有最大值-2,-2,即-21.又为非零整数,那么-1.综上所述,存在-1,使得对任意 nN*,都有 bn+1bn.20.(本小题总分值 12 分)设数列an的前 n 项和为 Sn,a11 且满足 3Sn2an(3Sn-1),n2.(1)求证:nS1是等差数列;(2)设13 nSbnn,数列bn的前 n 项和为 Tn,求 Tn.(1)证明证明:当 n2 时,3Sn2an(3Sn-1),anSn-Sn-1.3Sn2(Sn-Sn-1)(3Sn-1).整理得1131nnnSSS,3111nnSS.因此数列nS1是等差数列.(2)解解:233)1(111nnSSn,)13)(23(113,231nnnSbnSnnn,13)131231()7141()411(31nnnn.21.(本小题总分值 12 分)(理)数列an中,a15,an2an-1+2n-1(nN*,且 n2).(1)假设数列nna2为等差数列,求实数的值;(2)求数列an的前 n 项和 Sn.解解:(1)因为 an2an-1+2n-1(nN*且 n2),所以nnnnnnnnaaa211221222111.显然,当且仅当021n,即-1 时,数列nna2为等差数列.(2)由(1)的结论知,数列nna21是首项为2211a,公差为 1 的等差数列,故有nna212+(n-1)1n+1,即 an(n+1)2n+1(nN*).因此,有 Sn22+322+423+(n+1)2n+n,2Sn222+323+424+(n+1)2n+1+2n,两式相减,得-Sn4+(22+23+2n)-(n+1)2n+1-n,整理,得 Snn(2n+1+1)(nN*).(文)数列an中,a15,an2an-1+2n-1(nN*且 n2).(1)求 a2、a3的值.(2)是否存在实数,使得数列nna2为等差数列?假设存在,求出的值;假设不存在,请说明理由.解解:(1)依题意,有 a22a1+22-110+4-113,a32a2+23-126+8-133.(2)因为 an2an-1+2n-1(nN*且 n2),所以nnnnnnnnaaa211221222111.显然,当且仅当021n,即-1 时,数列nna2为等差数列.22.(本 小 题 总 分 值 12 分)(理)(2021 北 京 东 城 高 三 第 一 学 期 期 末 检 测,理 20 点B1(1,y1),B2(2,y2),Bn(n,yn),(nN*)顺 次 为 直 线1214xy上 的 点，点 A1x1,0),A2(x2,0),An(xn,0),(nN*)顺次为 x 轴上的点，其中 x1a(0a1),对任意的nN*,点 An、Bn、An+1构成以 Bn为顶点的等腰三角形.(1)证明数列yn是等差数列;(2)求证:对任意的 nN*，xn+2-xn是常数，并求数列xn的通项公式；3在上述等腰三角形 AnBnAn+1中是否存在直角三角形，假设存在，求出此时 a 的值；假设不存在，请说明理由.(1)证明证明:依题意有1214nyn,于是 yn+1-yn41.所以数列yn是等差数列.(2)证明证明:由题意得nxxnn21,即 xn+xn+12n(nN*,所以有 xn+2+xn+12(n+1).由-,得 xn+2-xn2,可知 x1,x3,x5,;x2,x4,x6,都是等差数列，那么得x2k-1x1+2(k-1)2k+a-2,x2kx2+2(k-1)2-a+2(k-1)2k-a(kN*).故.,1为偶数为奇数nannanxn(3)解解:当 n 为奇数时,An(n+a-1,0),An+1(n+1-a,0),所以|AnAn+1|2(1-a);当 n 为偶数时,An(n-a,0),An+1(n+a,0),所以|AnAn+1|2a;作 BnCnx 轴,垂足为 Cn,那么1214|nCBnn,要使等腰三角形 AnBnAn+1为直角三角形,必须且只需|AnAn+1|2|BnCn|.当 n 为奇数时,有 2(1-a)2(1214n),即 12a11-3n.当 n1 时,32a;当 n3 时,61a;当 n5 时,式无解.当 n 为偶数时,有 12a3n+1.同理可求得127a.综上所述,上述等腰三角形 AnBnAn+1中存在直角三角形,此时 a 的值为32或61或127.(文)数列an的前 n 项和为 Sn(nN*).设m m(1,an),n n(2,n+Sn),且m m与n n平行.(1)证明an+1是等比数列;(2)求 an与 Sn的通项公式.解解:(1)证明:由m m与n n平行,得 1(n+Sn)-2an0,即 Sn-2an+n0.S1-2a1+10.a11.又 Sn-1-2an-1+(n-1)0(n2 且 nN*),将相减得 Sn-Sn-1-2an+2an-1+10.an2an-1+1.an+12(an-1+1).又 a11,an1(n2 且 nN*).2111nnaa(n2 且 nN*).an+1是等比数列.(2)由(1)得 an+122n-1,即 an2n-1.Sn(21-1)+(22-1)+(2n-1)(2+22+2n)-n2n+1-n-2.