四川省成都市2012-2013学年高二数学下学期2月月考试题 理 新人教A版.doc
1高高 20142014 级级 2012201220132013 学年度下期学年度下期 2 2 月月考月月考数学（理）数学（理）一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 5050 分分.在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的.1某雷达测速区规定：凡车速大于或等于 70 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对 200 辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有()A30 辆B40 辆C60 辆D80 辆2已知直线01)10axyaxy 与直线(平行，则a=()A0B1C21D213已知3(0,)sin,2sin()254且则=()A15B15C75D754 点 E 是正四面体 ABCD 的棱 AD 的中点，则异面直线 BE 与 AC 所成的角的余弦值为()A36B33C63D565 设等差数列 na的前 n 项和为nS,若111a ,376aa,则当nS取最小值时,n 等于()A6B7C8D96设 A、B、C、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A.若 AC 与 BD 共面，则 AD 与 BC 共面B.若 AC 与 BD 是异面直线，则 AD 与 BC 是异面直线C.若 AB=AC,DB=DC,则 ADBCD.若 AB=AC，DB=DC,则 AD=BC7某单位员工按年龄分为 A，B，C 三组，其人数之比为 5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本，已知 C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是,451则该单位员工总数为()A110B100C90D808.某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为2 cm的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为2 cm的圆（包括圆心），则该零件的体积是()第 8 题图2A433cmB833cmC43cmD2033cm9阅读右侧的算法框图，输出的结果S的值为()A32B3C3D010四面体的四个面的面积分别为1S、2S、3S、4S，记其中最大的面积为S，则SSii341的取值范围是()A.231(,B.231,C.3432,D.(3432,二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2 25 5 分分.11圆222430 xyxy的圆心到直线1xy的距离为.12.已知递增的等比数列 na中,28373,2,aaaa则1310aa.13.如图，在正方体1111ABCDABC D中，点 P 是上底面1111ABC D内一动点，则三棱锥PABC的主视图与左视图的面积的比值为_.14在ABC中，60ABC，2AB，5BC，在BC上任取一点D，使ABD为钝角三角形的概率为.15空间三条直线中，任何两条不共面，且两两互相垂直，直线l与这三条直线所成的角都为，则tan=。三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，满分小题，满分 7575 分分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分 12 分）空气质量指数 PM2.5(单位：g/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：PM2.5 日均浓度035357575115115150150250250空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市 2012 年 3 月 8 日4 月 7 日(30 天)对空气质量指数 PM2.5 进行检测，获得数据后整理PDCBA1A1D1B1C左视主视3得到如下条形图：（）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取 2 个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率。17（本小题满分 12 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，AB=AD=2，,xBAD BCD是正三角形（）将四边形 ABCD 的面积S表示为x的函数；（）求S的最大值及此时的x值18（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥ABCP 中，6ABBC，平面PAC平面ABC，ACPD 于点D，1AD，3CD，2PD（）求三棱锥ABCP 的体积；（）证明PBC为直角三角形BPACD419（本小题满分12分）已知以点2(,)C tt(tR,t 0)为圆心的圆与x轴交于点O,A，与y轴交于点O,B，其中O为原点（）求证：OAB的面积为定值；（）设直线24yx与圆C交于点M,N，若OM=ON，求圆C的方程20（本小题满分 13 分）如图，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形DCBA，其中A与A重合，且CCDDBB（）证明/AD平面CCBB，并指出四边形DCAB的形状；（）如果四边形DCAB中，2AD，5AB，正方形ABCD的边长为6，求平面ABCD与平面DCAB所成的锐二面角的余弦值CD)(AABCDB521（本小题满分 14 分）已知曲线1:xyC，过 C 上一点),(111yxA作斜率1k的直线，交曲线C于另一点),(222yxA，再过),(222yxA作斜率为2k的直线，交曲线 C 于另一点),(333yxA，过),(nnnyxA作斜率为nk的直线，交曲线 C 于另一点),(111nnnyxA，其中11x，)(41*2Nxxxxknnnn（I）求1nx与nx的关系式；（II）判断nx与 2 的大小关系，并证明你的结论；（III）求证：2|2|.|2|2|21nxxx.高 2014 届第四学期入学考试数学（理）答案一、选择题（每题 5 分，共 50 分）1某雷达测速区规定：凡车速大于或等于 70 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对 200 辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有(B)A30 辆B40 辆C60 辆D80 辆解析由题图可知，车速大于或等于 70 km/h 的汽车的频率为 0.02100.2，则将被处罚的汽车大约有 2000.240(辆)答案B2已知直线01)10axyaxy 与直线(平行，则a=（C）A0B1C21D213已知3(0,)sin,2sin()254且则=（B）A15B15C75D754 点 E 是正四面体 ABCD 的棱 AD 的中点，则异面直线 BE 与 AC 所成的角的余弦值为（A）6A36B33C63D565 设等差数列 na的前 n 项和为nS,若111a ,376aa,则当nS取最小值时,n 等于（A）A6B7C8D96设 A、B、C、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（D）A.若 AC 与 BD 共面，则 AD 与 BC 共面B.若 AC 与 BD 是异面直线，则 AD 与 BC 是异面直线C.若 AB=AC,DB=DC,则 ADBCD.若 AB=AC，DB=DC,则 AD=BC7某单位员工按年龄分为 A，B，C 三组，其人数之比为 5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本，已知 C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是451，则该单位员工总数为(B)A110B100C90D808.某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为2 cm的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为2 cm的圆（包括圆心），则该零件的体积是（C）A433cmB833cmC43cmD2033cm9阅读右侧的算法框图，输出的结果S的值为(D)A32B3C3D010 四面体的四个面的面积分别为1S、2S、3S、4S，记其中最大的面积为S，则SSii341的取值范围是(D)A.231(,B.231,C.3432,D.(3432,二、填空题（每题 5 分，共 25 分）11圆222430 xyxy的圆心到直线1xy的距离为2.第 8 题图712.已知递增的等比数列 na中,28373,2,aaaa则1310aa2.13.如图，在正方体1111ABCDABC D中，点 P 是上底面1111ABC D内一动点，则三棱锥PABC的主视图与左视图的面积的比值为_1_.14在ABC中，60ABC，2AB，3BC，在BC上任取一点D，使ABD为钝角三角形的概率为5215空间三条直线中，任何两条不共面，且两两互相垂直，直线l与这三条直线所成的角都为，则tan=2.三、解答题（共六道大题，75 分）16.（本小题满分 12 分）空气质量指数 PM2.5(单位：g/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重：PM2.5 日均浓度035357575115115150150250250空气质量级别一级二级三级四级五级六级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市 2012 年 3 月 8 日4 月 7 日(30 天)对空气质量指数 PM2.5 进行检测，获得数据后整理得到如下条形图：(1)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；(2)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取 2 个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率。16.解：(1)16由条形监测图可知，空气质量级别为良的天数为天168=3015所以此次检测结果中空气质量为良的概率为6PDCBA1A1D1B1C左视主视8(2)4,;2,.(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)15样本中空气质量级别为三级的有 天，设其编号为样本中空气质量级别为四级的有 天，设其编号为则基本事件有：共个a b c de fa ba ca da ea fb cb db eb fc dc ec fd ed fe f(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)993=155其中至少有一天空气质量类别为中度污染的情况有：共 个，所以至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为a eb ec ed ea fb fc fd fe f1217（本小题满分 12 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，AB=AD=2，,xBAD BCD是正三角形（1）将四边形 ABCD 的面积S表示为x的函数；（2）求S的最大值及此时的x值2222217.(1)2cos222 2 2cos88cos.2ABDBDABADAB ADxxx 解（本小题满分12分）在中由余弦定理得分分的面积为3.cos3232)cos88(433sin2121xxBDSBCDxxADABSABDsin2sin212的面积为4 分),0(,xABDx的一内角为5 分),0(,sin2cos323221xxxSSSABCD的面积四边形6 分(2)2 32 3cos2sin4sin()2 3,(0,)3Sxxxx9 分3233),0(xx10 分9324,65,23maxSSxx取得最大时即当.12 分18（本小题满分12分）如图 5 所示，在三棱锥ABCP 中，6ABBC，平面PAC平面ABC，ACPD 于点D，1AD，3CD，2PD（1）求三棱锥ABCP 的体积；（2）证明PBC为直角三角形18（1）证明：因为平面PAC平面ABC，平面PAC 平面ABCAC，PD 平面PAC，ACPD，所以PD 平面ABC 1记AC边上的中点为E，在ABC中，因为ABBC，所以ACBE 因为6ABBC，4AC，所以2222622BEBCCE2所以ABC的面积12 22ABCSACBE3因为2PD，所以三棱锥ABCP 的体积13P ABCABCVSPD14 22 22334（2）证法 1：因为PD AC，所以PCD为直角三角形因为2PD，3CD，所以22222313PCPDCD6连接BD，在RtBDE中，因为90BEDo，2BE，1DE，所以2222213BDBEDE8由（1）知PD 平面ABC，又BD 平面ABC，所以PD BD在RtPBD中，因为90PDBo，2PD，3BD，图 5BPACDBPACDE10BPACDE所以2222237PBPDBD在PBC中，因为6BC，7PB，13PC，所以222BCPBPC所以PBC为直角三角形1219（本小题满分12分）已知以点2(,)C tt(tR,t 0)为圆心的圆与x轴交于点O,A，与y轴交于点O,B，其中O为原点（1）求证：OAB的面积为定值；（2）设直线24yx与圆C交于点M,N，若OM=ON，求圆C的方程19.解：（1）OC过原点圆，2224ttOC设圆C的方程是22224)2()(tttytx2令0 x，得tyy4,021；令0y，得txx2,02144|2|4|2121ttOBOASOAB，即：OAB的面积为定值8（2）,CNCMONOMOC垂直平分线段MN直线OC的方程是xy2822tt，无解，这样的圆不存在。12如果把题纠正过来了，答案如下：（2）,CNCMONOMOC垂直平分线段MN21,2ocMNkk，直线OC的方程是xy21tt212，解得：22tt或当2t时，圆心C的坐标为)1,2(，5OC，11此时C到直线42 xy的距离559d，圆C与直线42 xy相交于两点当2t时，圆心C的坐标为)1,2(，5OC，此时C到直线42 xy的距离559d圆C与直线42 xy不相交，2t不符合题意舍去圆C的方程为5)1()2(22yx20（本小题满分 13 分）如图，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形DCBA，其中A与A重合，且CCDDBB（1）证明/AD平面CCBB，并指出四边形DCAB的形状；（2）如果四边形DCAB中，2AD，5AB，正方形ABCD的边长为6，求平面ABCD与平面DCAB所成的锐二面角的余弦值20.证明：（1）依题意，BB平面DCAB，CC平面DCAB，DD平面DCAB，所以/DDCCBB2 分（法 1）在CC上取点E，使得DDCE，连结BE，ED，如图 51因为/DDCE，且DDCE，所以ECDD是平行四边形，DCED/，且DCED又ABCD是正方形，ABDC/，且ABDC，所以ABED/，且ABED，故ABED是平行四边形，3 分从而BEAD/，又BE平面CCBB，AD平面CCBB，所以/AD平面CCBB4 分四边形DCAB是平行四边形（注：只需指出四边形DCAB的形状，不必证明）5 分CD)(AABCDBE12（法 2）因为/CCDD，CC平面CCBB，DD平面CCBB，所以/DD平面CCBB因为ABCD是正方形，所以BCAD/，又BC平面CCBB，AD平面CCBB，所以/AD平面CCBB3 分而DD平面ADD，AD平面ADD，DADDD，所 以 平 面/ADD平 面CCBB，又AD平 面ADD，所 以/AD平 面CCBB 4 分四边形DCAB是平行四边形（注：只需指出四边形DCAB的形状，不必证明）5 分解：（2）依题意，在 RtABB中，1)5()6(2222ABABBB，在 RtADD中，2)2()6(2222ADADDD，所以3021AADDBBCC（注：或312BBDDECCECC）7 分连结AC，AC，如图 52，在 RtACC中，33)32(2222CCACAC所以222ABCBAC，故CBAC 8 分（法 1）延长CB，BC相交于点F，则31CCBBFCFB，而2CB，所以223FC连结AF，则AF是平面ABCD与平面DCAB的交线在平面DCAB内作AFGC，垂足为G，连结CG因为CC平面DCAB，AF平面DCAB，所以AFCC 从而AF平面GCC，AFCG 所 以CGC是 平 面ABCD与 平 面DCAB所 成 的 一 个 锐 二 面角10 分在 RtFAC中，553223)3(223322AFFCACGC，在 RtGCC中，530355332222GCCCCG25图CD)(AABCDBG13所以66coscosCGGCCGC，即 平 面ABCD与 平 面DCAB所 成 的 锐 二 面 角的 余 弦 值 为6613 分（法 2）以C为原点，AC为x轴，BC为y轴，CC为z轴，建立空间直角坐标系（如图 53），则平面DCAB的一个法向量)1,0,0(n设平面ABCD的一个法向量为),(zyxm，因为)0,0,3(A，)1,2,0(B，)3,0,0(C，所以)1,2,3(AB，)2,2,0(BC，而ABm，BCm，所以0ABm且0BCm，即022023zyzyx，取1z，则2y，3x，所以平面ABCD的一个法向量为)1,2,3(m（注：法 向 量 不 唯 一，可 以 是 与)1,2,3(m共 线 的 任 一 非 零 向量）10 分661001)2()3(|110203|,cos|cos222222nmnmnm|所 以 平 面ABCD与 平 面DCAB所 成 的 锐 二 面 角的 余 弦 值 为66 13 分（法 3）由题意，正方形ABCD在水平面上的正投影是四边形DCBA，所 以 平 面ABCD与 平 面DCAB所 成 的 锐 二 面 角的 余 弦 值ABCDDCABSS10 分35图CD)(AABCDByxz14而6)6(2ABCDS，632ACCBSDCAB，所以66cos，所 以 平 面ABCD与 平 面DCAB所 成 的 锐 二 面 角的 余 弦 值 为66 13 分21（本小题满分 14 分）已知曲线1:xyC，过 C 上一点),(111yxA作斜率1k的直线，交曲线C于另一点),(222yxA，再过),(222yxA作斜率为2k的直线，交曲线 C 于另一点),(333yxA，过),(nnnyxA作斜率为nk的直线，交曲线 C 于另一点),(111nnnyxA，其中11x，)(41*2Nxxxxknnnn（1）求1nx与nx的关系式；（2）判断nx与 2 的大小关系，并证明你的结论；（3）求证：2|2|.|2|2|21nxxx.21.21.解解：（1）由已知过),(nnnyxA斜率为nnnxxx412的直线为nyynnnxxx412)(nxx，直线交曲线 C 于另一点),(111nnnyxA所以nnyy1=nnnxxx412)(1nnxx2 分即nnxx111nnnxxx412)(1nnxx，nnxx10，所以)(14*1Nnxxxnnn4 分（2）解：当n为奇数时，2nx；当 n 为偶数时，2nx15因为1221421111nnnnnxxxxx，6 分注意到0nx，所以2nx与21nx异号由于211x，所以22x，以此类推，当)(12*Nkkn时，2nx；当)(2*Nkkn时，2nx8 分（3）由于0nx，131141nnnnxxxx，所以nx1（3,2,1n，）9 分所以1|2|12|2|1nnnnnxxxxx|2|21nx10 分所以|2|nx|2|211nx|2|2122nx11121|2|21nnx12 分所以|2|.|2|2|21nxxx12)21(.)21(211n2)21(21n14 分
