【备考2014】2013高考数学 （真题+模拟新题分类汇编） 推理与证明 理.DOC

推理与证明M1合情推理与演绎推理15B13，J3，M12013·福建卷 当xR，|x|<1时，有如下表达式：1xx2xn.两边同时积分得：01dx0xdx0x2dx0xndx0dx，从而得到如下等式：1××××ln 2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：C×C×2C×3C×_15.解析 (1x)nCCxCx2Cxn，两边同时积分得C01dxC0xdxC0x2dxC0xndx0(1x)ndx，得C×C×2C×3C×n1n11.14M12013·湖北卷 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为n2n，记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n，3)n2n，正方形数N(n，4)n2，五边形数N(n，5)n2n，六边形数N(n，6)2n2n，可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)_.141 000解析 观察得k每增加1，n2项系数增加，n项系数减少，N(n，k)n2(4k)，故N(10，24)1 000.16B7、M12013·山东卷 定义“正对数”：ln x现有四个命题：若a>0，b>0，则ln(ab)blna；若a>0，b>0，则ln(ab)lnalnb；若a>0，b>0，则lnlnalnb；若a>0，b>0，则ln(ab)lnalnbln 2.其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)16解析 中，当ab1时，b>0，a1，ln(ab)ln abbln ablna；当0<ab<1时，b>0，0<a<1，ln(ab)blna0，正确；中，当0<ab<1，且a>1时，左边ln(ab)0，右边lnalnbln a0ln a>0，不成立；中，当1，即ab时，左边0，右边lnalnb0，左边右边成立；当>1时，左边lnln aln b>0，若a>b>1时，右边ln aln b，左边右边成立；若0<b<a<1时，右边0, 左边右边成立；若a>1>b>0，左边lnln aln b>ln a，右边ln a，左边右边成立，正确；中，若0<ab<1，左边ln0，右边lnalnbln 2ln 2>0，左边右边；若ab1，lnln 2lnln 2ln，又a或b，a，b至少有1个大于1，lnln a或lnln b，即有lnln 2lnln 2lnlnalnb，正确14M12013·陕西卷 观察下列等式：1211222312223261222324210照此规律，第n个等式可为_1412223242(1)n1n2(1)n1解析 结合已知所给几项的特点，可知式子左边共n项，且正负交错，奇数项为正，偶数项为负，右边的绝对值为左边底数的和，系数和最后一项正负保持一致，故表达式为12223242(1)n1n2(1)n1.M2直接证明与间接证明20M2，D2，D3，D52013·北京卷 已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an1，an2，的最小值记为Bn，dnAnBn.(1)若an为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为4的数列(即对任意nN*，an4an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：dnd(n1，2，3，)的充分必要条件为an是公差为d的等差数列；(3)证明：若a12，dn1(n1，2，3，)，则an的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.20解：(1)d1d21，d3d43.(2)(充分性)因为an是公差为d的等差数列，且d0，所以a1a2an.因此Anan，Bnan1，dnanan1d(n1，2，3，)(必要性)因为dnd0(n1，2，3，)所以AnBndnBn.又因为anAn，an1Bn，所以anan1.于是，Anan，Bnan1.因此an1anBnAndnd，即an是公差为d的等差数列(3)因为a12，d11，所以A1a12，B1A1d11.故对任意n1，anB11.假设an(n2)中存在大于2的项设m为满足am>2的最小正整数，则m2，并且对任意1k<m，ak2.又因为a12，所以Am12，且Amam>2，于是，BmAmdm>211，Bm1minam，Bm>1.故dm1Am1Bm1<211，与dm11矛盾所以对于任意n1，有an2，即非负整数列an的各项只能为1或2.因为对任意n1，an2a1，所以An2.故BnAndn211.因此对于任意正整数n ，存在m满足m>n，且am1，即数列an有无穷多项为1.M3数学归纳法M4单元综合12013·黄山质检 已知n为正偶数，用数学归纳法证明12()时，若已假设nk(k2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n()时等式成立()Ak1 Bk2C2k2 D2(k2)1B解析 根据数学归纳法的步骤可知，则nk(k2为偶数)下一个偶数为k2，故答案为B.22013·石景山期末 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k，即k5nk|nZ，k0，1，2，3，4.给出如下四个结论：2 0133；22；Z01234；整数a，b属于同一“类”的充要条件是ab0其中，正确结论的个数为()A1 B2 C3 D42C解析 因为2 013402×53，所以2 0133，正确21×53，23，所以不正确因为整数集中的数被5除的余数可以且只可以分成五类，所以正确整数a，b属于同一“类”，则整数a，b被5除的余数相同，从而ab被5除的余数为0，反之也成立，故整数a，b属于同一“类”的充要条件是ab0，故正确所以正确的结论个数为3，选C.32013·汕头期末 已知2 ，3 ，4 ，若6 (a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则at_329解析 类比等式可推测a6，t35，则at29.42013·福州期末 已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数yax(a>1)的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方，因此有结论>a成立运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数ysin x(x(0，)的图像上的不同两点，则类似地有_成立4.<sin解析 函数ysin x在x(0，)的图像上任意不同两点A，B，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的下方，所以<sin.规律解读 类比推理中的结论要注意问题在变化之后的不同，要“求同存异”才能够正确解决问题52013·云南师大附中月考 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(3，4)，且法向量为n(1，2)的直线(点法式)方程为1×(x3)(2)×(y4)0，化简得x2y110.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n(1，2，1)的平面(点法式)方程为_5x2yz20解析 设B(x，y，z)为平面内的任一点，类比得平面的方程为(1)×(x1)(2)×(y2)1×(z3)0，即x2yz20.62013·黄山质检 已知数列an满足a11，anlogn(n1)(n2，nN*)定义：使乘积a1·a2··ak为正整数的k(kN*)叫作“简易数”则在1，2 012内所有“简易数”的和为_62 036解析 anlogn(n1)，a1·a2··ak1····log2(k1)，则“简易数”k使log2(k1)为整数，即满足2nk1，所以k2n1，则在1，2 012内所有“简易数”的和为2112212101101 023×2102 036.- 4 -